дуальное преобразование

ДУАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ (от лат. dualis - двойственный) - преобразование от переменных параметра порядка (ПП) к переменным параметра беспорядка (ПБ) в решёточной модели статистич. физики (см., напр., Двумерные решёточные модели ).Флуктуации ПП малы при низких темп-pax, а флуктуации ПБ малы при высоких темп-pax. Д. п. существует для моделей с локальным взаимодействием, инвариантным относительно абелевой группы симметрии. Введено X. Крамерсом (Н. Kramers) и Г. Ванье (G. Wannier) в 1941. Переменные ПП (условно наз. спинами) - двумерные единичные векторы S(r)={cos q(r), sin q(r)}, заданные в узлах решётки r. Для простоты рассматривается квадратная решётка при d=2 и кубическая при d=3 (d - размерность пространства). Углы q(r)принимают непрерывный ряд значений 0[q(r)[2p в U(1)-модели и дискретные значения q(r)=2pp(r)/q, р = 0, 1, ... , q-1 в Z_q-модели. Взаимодействуют спины, находящиеся в соседних узлах. Энергия парного взаимодействия спинов в узлах r и r+m (m - базисный вектор решётки) зависит от разности углов в этих узлах (решёточного градиента) д_mq(r)= q(r+m)-q(r) с точностью до слагаемого, кратного 2p. Система полностью характеризуется набором парных статистич. весов (ПСВ) w [д_mq(r)]=ехр{-e [д_mq(r)]/Т}, где e [д_mq(r)] - энергия парного взаимодействия, Т - темп-pa в энергетич. единицах. ПСВ не меняются при одинаковом повороте всех спинов на произвольный угол q для группы U(1) и угол q, кратный 2p/q, для группы Z_q. ПСВ как периодич. функцию рёберной переменной q_m(r)=д_mq(r) можно разложить в ряд Фурье на группе U (1):

Ряд Фурье на группе Z_q кончен:

где q_m = 2pр_m/q Переход в статистич. сумме к целочисл. рёберным переменным n_m(r) приводит к условию равенства нулю их дивергенции в каждом узле решётки. Этому условию удовлетворяет след. представление: n_m(r) = e_mvд_vт (R), d=2; п_m (r)=e_mvl д_vт_l(R), d=3, где e - символы Леви-Чивиты. Переменные т (R), d=2 и т_l(R), d=3 и есть переменные ПБ. При d=2 m(R)расположены в узлах R дуальной решётки (центрах граней исходной). При d=3 т_l(R)расположены на рёбрах дуальной решетки, узлы к-рой находятся в центрах ячеек исходной. Переменные ПБ в U(1)-модели принимают все целочисл. значения (группа Z), в Z_q-модели переменные ПБ принимают значения 0,1,. . ., q-1 (группа Z_q). При d=3 n_m(r)не меняется при калибровочном преобразовании m_l(R)''m_l(R)+д_lm(R), исходная спиновая модель дуальна калибровочной решёточной модели. В квантовой теории поля рассматривают решёточные калибровочные модели при d=4. Калибровочные переменные ПП q_m(r) задаются на рёбрах. Локальный ста-тистич. вес задаётся на гранях и зависит только от комбинации q_mv(r) = д_mq_v (r)-д_v q_m(r). Как и в случае спиновых моделей, можно перейти к суммированию по переменным разложения Фурье n_mv(r)с условием нулевой дивергенции д_mn_mv(r) = 0. Поэтому вводят переменные ПБ т_a(R)на рёбрах дуальной решётки: n_ml(r) = e_mlabд_am_b(R). Спиновые Z_q-модели при d=2 наз. самодуальными, если ПСВ w (р_m) и связанные преобразованием Фурье (2), имеют одинаковый вид. В этом случае Д. п. сводится к замене переменных ПП на переменные ПБ и нелинейному преобразованию темп-ры, то же справедливо для калибровочных моделей при d=4. В табл. приведены ПСВ самодуальных моделей и указаны преобразования темп-ры этих моделей: Т '' Т*. Уд. свободная энергия f(Т)самодуальных моделей при Д. п. изменяется след. образом: f(T)=f(T*) где - перенормировка ПСВ. Точки неаналитичности свободной энергии (критич. точки) могут либо быть стационарными точками Д. п.: Т_с=Т_с^*, либо переходить одна в другую (если их несколько). В модели Изинга и ферромагн. моделях Поттса Т_с=Т_с^* - единств. точка фазового перехода, в моделях Березинского - Виллэна две критич. точки. В калибровочной модели Изинга темп-pa перехода также определяется соотношением самодуальности. Лит.: S a v i t R., Duality in field theory and statistical systems, "Rev. Mod. Phys.", 1980, v. 52, №2, pt 1, p. 453: Б э к с т е р Р., Точно решаемые модели в статистической механике, пер. с англ., М., 1985. С. В. Покровский.

   <<      Предметный указатель      >>