инвариантное интегрирование

ИНВАРИАНТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ - вид интегрирования для ф-ций, аргументом к-рых являются элементы группы или точки однородного пространства (любую точку такого пространства можно перевести в другую заданным действием группы). И. и. согласовано с действием группы: значение интеграла не меняется при заменах переменных, отвечающих этому действию, а якобиан замены равен 1. И. и.- стандартный приём для построения функционального интеграла, служащего эфф. средством изучения калибровочных полей, разл. моделей квантовой теории поля. Если пространство аргументов X является многообразием (т. е. допускает введение локальных координат x₁, ...,х_п), И. и. функции f(x)сводится к вычислению интеграла от дифференциальной формы f.w, где ; явная ф-ла для r(х)приводится ниже. Условие согласования имеет вид
;
здесь T_g означает оператор сдвига на X с помощью gОG: T_gf(x)=f(g^-1x). Пусть X=G - топология, группа, действующая на себе левыми сдвигами. И. и. существует тогда и только тогда, когда G локально компактна (в частности, на бесконечномерных группах И. и. не существует). Для подмножества И. и. характеристич. ф-ции c_A (равной 1 на A и 0 вне А)задаёт левую меру Xаара m(A). Определяющим свойством этой меры является её инвариантность при левых сдвигах: m(g^-1A)=m(А)для всех gОG. Левая мера Хаара на группе определена однозначно с точностью до положит, скалярного множителя. Если известна мера Хаара m, то И. и. ф-ции f даётся ф-лой . Аналогичными свойствами обладает правая мера Хаара. Существует непрерывный гомоморфизм (отображение, сохраняющее групповое свойство) D_G группы G в группу (относительно умножения) положит. чисел, для к-рого

где dm_r и dm_i - правая и левая меры Хаара. Ф-цию D_G(g) наз. модулем группы G. Если , то группа G наз. унимодулярной; в этом случае правая и левая меры Хаара совпадают. Компактные, полупростые и нильпотентные (в частности, коммутативные) группы унимодулярны. Если G - n-мерная группа Ли и q₁, ...,q_n - базис в пространстве левоинвариантных 1-форм на G, то левая мера Хаара на G задаётся n-формой . В локальных координатах для вычисления

форм q_i можно воспользоваться любой матричной реализацией группы G: матричная 1-форма g^-1dg левоинвариантна, а её коэф. являются левоинва-риантными скалярными 1-формами, из к-рых и выбирается искомый базис. Напр., полная матричная группа GL(n, R)унимодулярна и мера Хаара на ней задаётся формой. Пусть X=G/H - однородное пространство, для к-рого локально компактная группа G является группой преобразований, а замкнутая подгруппа Н - стабилизатором нек-рой точки. Для того чтобы на X существовало И. и., необходимо и достаточно, чтобы для всех hОH выполнялось равенство D_G(h)=D_H(h). В частности, это верно в случае, когда Н компактна или полупроста. Полной теории И. и. на бесконечномерных многообразиях не существует. Отд. примеры см. в статьях Функциональный интеграл, Винеровский функциональный интеграл, Калибровочные поля. Лит.: Вейль А., Интегрирование в топологических группах и его применения, пер. с франц., М., 1950; Кириллов А. А., Элементы теории представлений, 2 изд., М., 1978; Славное А. А., Фаддеев Л. Д., Введение в квантовую теорию калибровочных полей, 2 изд., М., 1988. А. А. Кириллов.

   <<      Предметный указатель      >>