интегральное уравнение

ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ - ур-ние, содержащее неизвестную ф-цию под знаком интеграла. Их принято разделять на две большие группы: линейные и нелинейные И. у. Линейным И. у. наз. ур-ние вида

где А, К, f - заданные ф-ции, j - неизвестная ф-ция, D - область евклидова пространства. Ф-ция К наз. ядром И. у., ф-ция f - свободным членом. Интегрирование в (1) производится по всему объёму области D, ds - элемент объёма. Если свободный член f=0, то ур-ние (1) наз. однородным, в противном случае - неоднородным. Кроме того, И. у. различают по типу. Если A(x)=0 в области D, то ур-ние (1) наз. И. у. 1-го рода; если A(x)№0 для всех точек области D,- И. у. 2-го рода; если А(х)обращается в нуль на нек-ром подмножестве области D,- И. у. 3-го рода. Аналогично записывают систему линейных И. у., когда А, К - матрицы-функции, а f и j - вектор-функции. И. у. появились в нач. 19 в., общая теория построена в кон. 19 - нач. 20 вв. в работах В. Вольтерры (V. Volterra), Э. Фредгольма (Е. Fredholm), Д. Гильберта (D. Hilbert) и Э. Шмидта (Е. Schmidt). В одномерном случае на отрезке [а, b] И. у. 1-го и 2-го рода записывают в виде

Число l наз. параметром И. у. Налагая дополнит, ограничения на известные ф-ции И. у., в частности на ядро К, выделяют класс Фредгольма уравнений. Напр., к ур-ниям Фредгольма приводит свойство квадратичной интегрируемости ядра, свободного члена и искомой ф-ции, т. е.

Комплексное значение параметра l, при к-ром ур-ние (3) с нулевым свободным членом (f=0) имеет решение, наз. характеристическим или собственным числом (значением) ядра К или И. у. Ненулевое решение ур-ния (3) при f=0 наз. характеристической или собственной функцией ядра К или И. у., принадлежащей собств. числу l. Если l не является собств. значением ядра К, то его наз. правильным (регулярным) значением (числом) ядра К. Если ядро К(х, s)обращается в нуль при x<s (т. н. ядро Вольтерры), то ур-ния (2), (3) перепишутся в виде

и наз. Вольтерры уравнениями 1-го и 2-го рода соответственно. И. у. Фредгольма 2-го рода

где - эрмитово сопряжённое ядро, * означает комплексное сопряжение, наз. союзным к ур-нию (3). Для ур-ний Фредгольма с непрерывным ядром доказана совокупность теорем, дающих общие сведения о решениях. Из этих теорем следует, что множество собств. значений непрерывного ядра не более чем счётно и не имеет конечных предельных точек. (Непрерывные ядра Вольтерры вообще не имеют собств. чисел.) Кроме того, каждому собств. числу l, соответствует конечное число (наз. к.ратностью собств. значения) линейно независимых собств. ф-ций. В терминах собств. чисел и собств. ф-ций результаты Фредгольма формулируют в след, форме. Пусть l_k и r_k/(k=1, 2, ...) - собств. числа и соответств. этим собств. числам кратности. Если l№l_k, то И. у. (3) и (4) однозначно разрешимы при любых свободных членах. Если l=l_k, то однородные И. у., соответствующие ур-ниям (3) и (4), имеют одинаковое (конечное) число r_k линейно независимых решений: собств. ф-ций j_k, j_k+1,...,j_k+rk-1 ядра К и собств. ф-ций y_k, y_k+1, ..., y_k+rk-1 ядра , соответствующих собств. значениям l_k и l_k^*. Если l=l_k, то для разрешимости ур-ния (3) необходимо и достаточно, чтобы (f, y_k+i)=0, i= 0, 1, . . ., r_k-1. При достаточно малых l решение ур-ния Фредгольма можно найти методом последоват. приближений, решение записывают в виде ряда Неймана. Результаты Фредгольма распространяются на И. у. с полярным ядром , где L(х,s) - непрерывное ядро, a<1. Ядро К(х, s)И. у. наз. вырожденным, если оно представимо в виде суммы: В этом случае И. у. Фредгольма

2-го рода сводится к системе линейных алгебраич. ур-ний для m неизвестных. Для И. у. с веществ, симметричным ядром К (х, s) = K(s, х)справедлива теория Гильберта - Шмидта. При f=0 ур-ние (3) имеет, по крайней мере, одно собств. число, собств. числа действительны; каждая пара собств. ф-ций j₁(х)и j₂(x), соответствующих разл. собств. числам l₁№l₂, ортогональна, т. е.

; ввиду действительности ядра можно выбирать и действит. собств. ф-ции; в каждом конечном интервале оси l находится конечное число собств. чисел, каждому собств. числу l_k соответствует конечное число r_k линейно независимых собств. ф-ций. Множество всех собств. чисел ур-ния (3) наз. спектром этого ур-ния. Собств. ф-ции и собств. числа можно расположить в виде последовательностей l₁, l₂, . . ., l_m, . . .; j₁, j₂,. . ., j_m, ... в порядке возрастания абс. величины собств. чисел |l_k|[|l_k+1|. Собств. число l_k повторяется в последовательности r_k раз, последовательность {j_m} можно выбрать ортонормированной. Ядро можно разложить по системе собств. ф-ций {j_m} ядра К(х, s) в билинейный ряд

Для решения неоднородного ур-ния (3) имеются след. теоремы: если l не совпадает ни с одним собств. числом ядра К, то ур-ние (3) имеет единств, решение j, к-рое даётся ф-лой

где l_k - собств. число,
- коэф. Фурье ф-ции f относительно ортонормиров. системы собств. ф-ций {j_m}; если же X совпадает с одним из собств. чисел, напр. l=l_k, ранга r_k, то ур-ние (3) разрешимо лишь в том случае, если выполняются r_k условий:

т. е. если ф-ция f ортогональна собств. ф-циям j_m, принадлежащим собств. числу l_k. В этом случае ур-ние (3) имеет бесконечно много решений, к-рые содержат r_k произвольных постоянных и выражаются ф-лой

l_k№l_j, где с₀, c₁, ..., c_rk-1 - произвольные постоянные. Для вырожд. ядер (не обязательно симметричных) , ряды (5), (6) содержат лишь конечное

число членов. Ф-лы (5), (6) наз. формулами Шмидта. Теорию Гильберта-Шмидта можно распространить с нек-рыми изменениями и на комплекснозначные ф-ции. Аналогом симметричного ядра становится эрмитово ядро К(х, s)=K*(s, x). Существует также обобщение этой теории на случай полярного ядра К(х, s)=L(x,s)|x-s|^-a, где L(x, s) - непрерывное ядро, a<1. Краевые задачи и задачи на собств. значения для эрмитовых дифференц. операторов сводятся к И у. с симметричными ядрами. Поэтому теория Гильберта - Шмидта важна для квантовой механики, она позволяет исследовать спектры разл. операторов, используется в теории рассеяния, даёт возможность найти решения ур-ния Шрёдингера для нек-рых потенциалов. При решении И. у., ядро к-рых зависит от разности аргументов (И. у. типа свёртки), эффективным оказывается применение интегральных преобразований (Фурье или Лапласа) и основанного на них Винера-Хопфа метода. Для И. у. вида

удобно применять Меллина преобразование .Во всех указанных случаях И. у. приводится к алгебраич. ур-нию, а решение фактически сводится к задаче обращения интегрального преобразования. Для И. у. 1-го рода нет общей теории, однако в нек-рых частных случаях их решение может быть найдено, напр, ур-ния Вольтерры 1-го рода удаётся свести к ур-ниям Вольтерры 2-го рода. Линейные И. у. с ядрами, не являющимися ядрами Фредгольма, наз. сингулярными интегральными уравнениями. В этом случае теория Гильберта-Шмидта, вообще говоря, не применима. Однако для нек-рых конкретных классов сингулярных ур-ний удаётся получить важные общие результаты (см., напр., Гильберта преобразование). И. у., содержащие неизвестную ф-цию нелинейно, наз. нелинейными интегральными уравнениями. Для нек-рых типов нелинейных И. у. разработана достаточно полная теория. Исследовано ветвление решений нелинейных И. у.: найдена зависимость решения от параметров И. у., получены значения параметров, при к-рых решение разветвляется, найдено число ветвей и представление каждой ветви как ф-ции параметров. Важность И. у. для матом, физики определяется тем, что краевые задачи и задачи на собств. значения для дифференц. ур-ний можно свести при помощи Грина функций к И. у. Лит.: Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968; Три коми Ф., Интегральные уравнения, пер. с англ., М., 1960; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1988; Интегральные уравнения, М., 1968; Вайнберг М. М., Треногий В. А., Теория ветвления решений нелинейных уравнений, М., 1969. С. В. Молодцов.

   <<      Предметный указатель      >>