интегральные функции

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ - неск. связанных между собой спец. ф-ций, родственных ф-ций второго рода Q₀(z), определяемых с помощью интегралов от элементарных ф-ций (интегральные экспоненты, синус, косинус и логарифм, интегралы вероятности и Френеля). Впервые введены Л. Эйлером (L. Euler) в 1768. В общем виде И. ф. можно получить, рассматривая дифференц. ур-ние гипергеом. типа

где s(z) и t(z) - полиномы не выше 2-й и 1-й степени. При l=l_n=-nt'-п(п-1)s''/2, (n=0, 1, ...) ур-ние (1) имеет решения в виде полиномов n-й степени:

к-рые ортогональны с весом p(z) на нек-ром интервале (а, b). Здесь В_п - нормировочная постоянная, ф-ция r(z) удовлетворяет ур-нию (sr)'=tr. Полиномы y_n(z) сводятся к классич. ортогональным полиномам (полиномам Якоби, Лагерра и Эрмита). Вторым линейно независимым решением ур-ния (1) при l=l_n являются ф-ции 2-го рода

где

полином степени n-1. С ф-циями 2-го рода Q₀(z) связаны И. ф. Ф-ция Q₀(z) для полиномов Якоби сводится к неполной бета-функции B_z(p, g), для полиномов Лагерра - к неполной гамма-функции Г(a, z), для полиномов Эрмита - к интегралу вероятности Ф(z). Ф-ции В_z(р, q), Г(а, z), Ф(z) определяются след, образом:

Неполную гамма-функцию Г(a, z) при а=0, -1, -2, ..., можно выразить через интегральные экспоненты

для к-рых справедливы рекуррентное соотношение и ф-ла дифференцирования:

, разложение в ряд:

(С=0,5772 - постоянная Эйлера) и асимптотич. представление:

, где Г(n) - гамма-функция. Наряду с Е₁(z)употребляются родственные ей интегральная показательная функция E_i(z), связанная с Е₁(z) соотношением E_i(z)=-E_i(-z), и ф-ции

к-рые наз. интегральным синусом и интегральным косинусом. При z>0

справедливы разложения в степенные ряды:

и асимптотич. представления:

где

Ряд (2) определяет интегральный синус как однозначную аналитич. ф-цию во всей комплексной плоскости z, а ряд (3) определяет интегральный косинус как однозначную аналитич. ф-цию в комплексной плоскости z с разрезом вдоль отрицат. действительной полуоси, причём Ci(x6i0)=Ci(-x)bip. Интегральный логарифм, определяемый для z>0 ф-лой

(при z>l следует использовать гл. значение интеграла), связан с ф-цией Ei(z) соотношением li(z) = Ei(lnz). Ряд

определяет ф-цию li(z) как однозначную аналитич.

ф-цию в комплексной плоскости z с разрезом вдоль действит. оси для z<0 и z>l, причём При x''0 li(x)~xln^-1(x^-1). Интеграл вероятности (интеграл ошибок) Ф (z) можно разложить в степенной ряд:

это целая ф-ция комплексной переменной z. Асимптотич. представление

справедливо при z'':, Re z>0. С интегралом вероятности тесно связаны Френеля интегралы

при z>0 имеем

Графики функций Еi(x), li(x), Si(x), Ci(x) приведены на рис. Лит.: Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., [т. 2], М., 1974; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Специальные функции математической физики, 2 изд., М., 1984. .4. Ф. Никифоров.

   <<      Предметный указатель      >>