интегральный оператор

ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР - обобщение понятия матрицы на бесконечно-мерный случай. Матрица K_ij отображает векторы x_j из векторного пространства X в векторы y_i=K_ijx_j пространства Y. Простейший линейный И. о. определяется равенством
y(t)=K(t,s)x(s)ds,
и отображает ф-ции x(s) из функционального пространства X (области определения) в ф-ции y(t) из функционального пространства Y (область значений); ф-ция K(t, s) наз. ядром И. о. Чаще всего рассматривают И. о. на функциональных пространствах С (S)(непрерывных на замкнутом множестве S ф-ций) и L^p(S)(интегрируемых на S со степенью р ф-ций). Среди И. о. наиб, изучены (вполне непрерывные) фредгольмовы операторы. Ядро К при этом наз. фредгольмовым ядром. Напр., для И. о., действующего в C(S), ядро К фредгольмово, если ф-ция K(t, s)непрерывна в квадрате S3S. Для И. о. в L²(S)ядро фредгольмово, если выполнено неравенство:

Важным частным случаем фредгольмова оператора является оператор Гильберта-Шмидта (см. Интегральное уравнение ).Встречаются И. о. с полярным ядром (со слабой особенностью): где |t-s| - расстояние между точками s и t n-мерного пространства. Для ф-ций из С(S)И. о. с полярным ядром будет фредгольмовым, если ф-ция В (t, s)непрерывна на S3S; если В(t, s)ограничена всюду в квадрате S3S и

то И. о. с полярным ядром фредгольмов на L²(S). В матем. физике применяют разл. типы И. о., возникающих при интегральных преобразованиях. Лит.: Владимиров B.C., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1988: Интегральные уравнения, М., 1968; Рихтмацйер Р., Принципы современной математической физики, пер. с англ., М., 1982. С. В. Молодцов.

   <<      Предметный указатель      >>