катастроф теория

КАТАСТРОФ ТЕОРИЯ - совокупность приложений теории особенностей дифференцируемых (гладких) отображений X. Уитни (Н. Whitney) и теории бифуркаций А. Пуанкаре (Н. Poincare) и А. А. Андронова. Назв. введено Р. Томом (R. Thorn) в 1972. К. т. применяется к геом. и физ. оптике, гидродинамике, устойчивости кораблей, а также к исследованию биений сердца, эмбриологии, социологии, лингвистике, эксперим. психологии, экономике, геологии, теории элементарных частиц и моделированию деятельности мозга и психич. расстройств и т. п. Поскольку гладкие отображения встречаются повсеместно, неудивительно, что повсеместно встречаются и их особенности. Когда явление описывается гладким отображением и нет причин для нетипичности (напр., симметрии), применение теории особенностей оправдано и полезно (в оптике, теории упругости и др.), тогда как в нек-рых из описанных Томом и Э. К. Зиманом (Е. Ch. Zeeman) приложений сомнительно уже существование изучаемого отображения (в биологии, лингвистике, социологии). Теория особенностей обобщает исследование экстремумов ф-ций на случай нескольких ф-ций любого числа переменных. Критич. точкой ф-ции у наз. точка, в к-рой все первые частные производные равны нулю, Ру/Рх_i=0; критич. точка наз. невырожденной, если матрица Р²у/РхРх_j невырождена, т. е. её определитель отличен от нуля. У типичной ф-ции все критич. точки невырождены. Любая гладкая ф-ция в окрестности каждой невырожденной критич. точки приводится к одной из т. н. нормальных форм Морса, y=bx₁²b...bx_n²+C, гладкой заменой независимых переменных. Эти невырожденные особенности устойчивы: напр., всякая ф-ция, достаточно близкая к у=х² (с производными), имеет в подходящей точке вблизи нуля подобную же особенность (невырожденную точку минимума). Все более сложные особенности неустойчивы. Напр., вырожденная критич. точка ф-ции у=х³ в нуле распадается на две при возмущении, превращающем х³ в х³-ex. Типичные отображения поверхности на плоскость (R²''R²) также имеют лишь устойчивые особенности, а именно, складку (y₁=x_l², у₂=х₂) либо сборку Уитни (y₁=x₁³+x₁x₂, y₂=x₂). Сборка есть особенность проектирования поверхности y_l=x₁³+x₁x₂ из пространства (x₁, х₂, у₁) на плоскость (y₁ x₂) (рис. 1). Списки типичных особенностей отображений R³''R³ и R⁴''R⁴ таковы: 1) у₁=х₁², y_i=x_i(i>1); 2) y₁=x₁³+x₁x₂, y_i=x_i(i>1); 3) y₁=x₁⁴+x₁²x₂+x₁x₃, y_i=x_i(i>1); 4) y₁=x₁²6x₂²+x₁x₂+x₂x₄, y₂=x₁x₂, y_З=x_З, y₄=х₄. Отображение R²''R³ обычно имеет особенностями лишь "зонтики Уитни - Кэли" (рис. 2; y₁=x_l², у₂=х₁х₂, у₃=х₂).

При переходе к высшим размерностям списки типичных особенностей растут и даже становятся континуальными (напр., не всякое отображение Rⁿ''Rⁿ при n>8 аппроксимируется устойчивым). Число классов топологически различных особенностей остаётся конечным при любых размерностях. В теории бифуркаций рассматривается динамическая система ,описываемая ур-нием x=q(x, e), с заданным векторным полем q в n-мерном фазовом пространстве {х}. Поле зависит от k-мерного параметра e. Множество состояний равновесия определяет в (n+k)-мерном пространстве {х, e} k-мерную поверхность q(х, e)=0. В типичном случае эта поверхность гладкая, но её проекция на пространство "управляющих параметров" {e} может иметь особенности. Если рассматривать значения {e} как ф-ции на поверхности состояний равновесия, то точки, в к-рых якобиан этих ф-ций равен 0, наз. бифуркационными, а значения ф-ций в этих точках - бифуркац. значениями параметров e. При подходе управляющих параметров к бифуркац. значениям положения равновесия "бифурцируют" (рождаются или умирают). Знание геометрии типичных особенностей позволяет описывать происходящие при этом явления, напр, скачкообразный переход системы к далёкому состоянию равновесия при плавном изменении параметров. Такие скачки способны разрушить систему (механическую, упругую, электрическую, биологическую, химическую и т. п.), откуда и название К. т. Наиб. успех достигнут в приложениях К. т. к оптике, где даже типичные особенности каустик и перестройки волновых фронтов в трёхмерном пространстве не были известны. Рассмотрим возмущение (свет, звук, ударную волну, эпидемию и др.), распространяющееся с единичной скоростью из области, ограниченной гладким фронтом. Чтобы построить фронт через время t. нужно отложить отрезок длины t на каждом луче нормали. Через нек-рое время на движущемся фронте появляются особенности в точках каустики (огибающей семейства лучей) исходного фронта. Напр., при распространении возмущения внутрь эллипса на плоскости особенности фронта скользят по каустике, имеющей 4 точки возврата (рис. 3). Эти особенности устойчивы (не исчезают при малой деформации исходного фронта). Типичные особенности фронтов в трёхмерном пространстве - это самопересечения, рёбра возврата (нормальная форма х²=у³) и ласточкины хвосты [рис. 4; эта поверхность образована точками (а, b, с), для к-рых многочлен х⁴+ах²+bх+с имеет кратный корень]. Каустики в трёхмерном пространстве имеют особенности ещё двух видов (пирамида и кошелёк; рис. 5). Почти все особенности волновых фронтов (или Лежандра преобразований)можно описать как множества бифуркац. значений параметра m, при к-рых возникают особенности отображения (х, m)''m. гиперповерхности F(х, m)=0 в пространство m, где F - типичное семейство гладких ф-ций вектора х и векторного параметра m. Типичные особенности каустик (или градиентных отображений x''РS/Рx, или отображений Гаусса, сопоставляющих точке поверхности направление нормали) можно описать как множества бифуркац. значений параметра m, при к-рых ф-ция F(x, m) переменной x имеет вырожденную критич. точку. Ласточкин хвост, пирамида и кошелёк получаются при

F=x⁵+m₁x²+m₂x² + m₃x; F=x₁²x₂bx₂³+m₁x₂²+m₂x₂+m₃x_1.

Особенностям каустик и фронтов геом. оптики соответствуют в волновой теории особенности асимптотик осциллирующих интегралов в методе стационарной фазы или многомерном перевала методе при слиянии неск. стационарных точек. По порядку величины интеграл при подходе к точке каустики возрастает в l^-v раз, где l - длина волны, а показатель v равен ¹/₆ для общей точки каустики (A₂, особенность Эйри); ¹/₄ для общей точки ребра возврата (А₃, особенность Пирси); ³/₁₀ для ласточкина хвоста (особенность A₄); ¹/з Для кошелька и пирамиды (особенности D₄). Эти особенности связаны с простыми группами Ли A_k~SU(k+1), D_k~O(2k), а также с правильными многогранниками [конечными подгруппами группы SU (2)].

Показатель v определяет интенсивность света вблизи каустики и её особенностей, разрушение среды интенсивной волной, скопление частиц при движении пылевидной среды с потенц. полем скоростей (с иным значением v) и т. п. Универсальность геометрии бифуркац. диаграмм позволяет использовать их для одновременного моделрования многих различных по своему физическому смыслу явлений. Лит.: Постон Т., Стюарт И., Теория катастроф и её приложения, пер. с англ., М., 1980; Арнольд В. И,, Теория катастроф, 2 изд., М., 1983; его же. Особенности, бифуркации и катастрофы, "УФН", 19S3, т. 141, с. 569; Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М., Особенности дифференцируемых отображений, [т. 1-2]. М., 1982-84; Гилмор Р., Прикладная теория катастроф, пер. С англ., кн. 1-2, М., 1984. В. И. Арнольд.

   <<      Предметный указатель      >>