Стартовая Предметный указатель Новости науки и техники
Новости науки и техники
Интернет — как это было
1961 год, США, министерство обороны этой страны поручает компании Advenced Research Agensy приступить к выполнению проекта, цель которого — создание экспериментальной сети, данная сеть получила название — ARPANET Далее...

ARPANET

квазиклассическое приближение

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ квантовой механики (Венцеля - Крамерса - Бриллюэна метод, ВКБ метод) - приближённый метод нахождения волновой ф-ции и уровней энергии квантовой системы при условии, что длина волны де Бройля l частиц системы много меньше характерных размеров R изменения потенциала. В условиях К. п. квантовое неопределённостей соотношение позволяет построить волновой пакет ,в к-ром неопределённости координаты и импульса гораздо меньше самих этих величин. Такой пакет будет двигаться, подчиняясь законам классич. механики с точностью до малых величин порядка l/R. В простейшем случае точечной частицы массы m с заданной энергией E, движущейся по законам классич. механики во внеш. поле с потенциалом U(r), модуль импульса р(r) в данной точке пространства r равен p(r)-[2m(S-U(r))]l/2. Длина волны связана с импульсом соотношением де Бройля l(r)=h/p(r). Критерий применимости К. п. таков:
013-57.jpg
Движение квантовой частицы в тех же условиях определяется Шрёдингера уравнением:
013-58.jpg
где y - волновая ф-ция частицы. В одномерном случае (потенциал и волновая ф-ция зависят лишь от одной координаты х) приближённые решения ур-ния (2) в классически доступной области E>U(x) имеют вид
013-59.jpg
где С - постоянная. Решения (3) представляют собой простейшее обобщение плоской волны 013-60.jpg на случай медленно меняющегося р(х). Предэкспоненц. множитель обеспечивает закон сохранения числа частиц, т. е. независимость потока числа частиц
013-61.jpg
от координаты (звёздочка означает комплексное сопряжение). Решения (3) с той же точностью справедливы и в классически недоступной области E<U(x), Однако в этом случае величина р(х) становится чисто мнимой. Поэтому одно из решений экспоненциально убывает, а другое растёт по мере удаления в классически недоступную область. Эти решения описывают чисто квантовый эффект подбарьерного проникновения частиц. Критерий (1) не выполняется вблизи классич. точек поворота х0, где U(х0)=E. Если U(х) регулярен в точке х0, то вблизи неё ур-ние Шрёдингера можно приближённо заменить ур-нием с линейным потенциалом U(x)=U'(х0)(х-х0), к-рое сводится к ур-нию Эйри (см. Эйри функция). Его решения:
013-62.jpg
где Z1/3(x) - любое решение ур-ния Бесселя с индексом 1/3 (см. Цилиндрические функции
013-63.jpg
Замена точного ур-ния Шрёдингера приближённым вблизи нулей и особенностей ф-ции р2(х) носит назв. метода эталонных ур-ний. Так, вблизи простого нуля ф-ции р2(х) эталонным является ур-ние Эйри; если близкими оказываются два простых нуля, то эталонным является ур-ние параболич. цилиндра (см. Параболического цилиндра функции); при сближении простого нуля и полюса эталонным оказывается вырожденное гипергеом. ур-ние (см. Вырожденная гипергеометрическая функция ).Во всех этих случаях известны аналитич. свойства решений эталонных ур-ний. Возможны и более сложные эталонные ур-ния, решения к-рых пока не исследованы. Решения эталонного ур-ния (4) плавно сшиваются с квазиклассич. решениями (3), определяя тем самым правила перехода через точки поворота. В частности, то из решений (3), к-рое экспоненциально убывает в классически недоступной области, в разрешённой области ведёт себя как
013-64.jpg
где х0 - классич. точка поворота. Если классически доступная область ограничена обычными точками поворота x1 х2, то уровни энергии определяются правилами квантования Бора - Зоммерфельда:
013-65.jpg
Здесь n - квантовое число, нумерующее уровни. При переходе к классич. механике величина n играет роль адиабатического инварианта. Если одна или обе границы классич. движения близки к особенностям потенциала, то в правой части ур-ния (6) вместо слагаемого 1/2 появляется не зависящая от п постоянная g, значение к-рой определяется характером особенности. В 1913 Н. Бор (N. Bohr) постулировал правила квантования (6) и с их помощью впервые интерпретировал эксперим. спектры поглощения атомов водорода. В силу спец. симметрии квазиклассич. уровни энергии атома водорода совпадают с точными. Пусть потенциал U(х) таков, что в нём имеется две области классически разрешённого движения, одна из к-рых ограничена (рис.).
013-66.jpg
Классич. частица, находящаяся в потенц. яме, не сможет покинуть её. Но квантовая частица имеет отличную от нуля волновую ф-цию и в подбарьерной области. Выход частицы из потенц. ямы сквозь барьер является квантовым эффектом, наз. туннелированием (туннельным проникновением; см. Туннельный эффект). Вероятность туннелирования за единицу времени определяется ур-нием
013-67.jpg
где v(E) - классич. частота движения частиц в потенц. яме. Множитель v(E) возникает из условия нормировки волновой ф-ции в классически доступной области. Представление о квантовом туннелировании и его количеств, выражение (7) были впервые применены Г. А. Гамовым (G. Gamov) для объяснения альфа-распада. Другим сугубо квантовым эффектом является oтражение потенц. барьером частицы с энергией, большей высоты барьера. Если потенциал является аналитич. ф-цией х, то в К. п. коэф. надбарьерного отражения (доля отраженных частиц) равен
013-68.jpg
Интегрирование в показателе экспоненты происходит вдоль контура в комплексной плоскости х, идущего из ближайшей к веществ, оси комплексной точки поворота 013-69.jpg в ниж. полуплоскости к комплексно сопряжённой точке поворота х0. Ф-лы (7) и (8) применимы в том случае, когда показатели экспонент велики. Надбарьерное отражение является частным случаем процесса, запрещённого классич. механикой. В квантовой механике такие процессы, вообще говоря, возможны, но имеют экспоненциально малую вероятность. Классич. траектория такого процесса, т. е. решение вариационного ур-ния dS=0, существует, но оказывается комплексной. Комплексно и действие S вдоль траектории. Вероятность классически запрещённого перехода определяется ф-лой
013-70.jpg
где действие взято вдоль классич. пути с мин. мнимой частью ImS. Вычисление предэкспоненц. множителя требует конкретизации задачи. Задача о переходах в квантовой системе часто решается методом адиабатического приближения, сходным с квазиклассическим. Необходимым условием применимости адиабатич. приближения является возможность разделения движений на быстрые и медленные. Так, в случае атомных соударений движение ионов можно считать медленным, а движение электронов быстрым. Если система помещена в переменное внеш. поле, его частоты должны быть малы по сравнению с характерными частотами системы. В адиабатич. приближении уровни энергии Ei квантовой системы можно считать параметрически зависящими от времени t. Условие адиабатичности нарушается при пересечении любых двух уровней E1 и E2 (см. Пересечение уровней). В небольшом интервале времени около момента пересечения двух термов происходят переходы между ними. Вблизи точки пересечения справедлива эталонная система двух ур-ний для амплитуд состояний, являющаяся аналогом ур-ния Эйри. Вероятность перехода определяется ф-лой
013-71.jpg
где действие 013-72.jpg, a t0 - момент пересечения термов,находящийся, вообще говоря, в комплексной плоскости. При двукратном прохождении точки пересечения вероятность перехода равна w2=2w1(1- w1). Возмущение V, приводящее к переходу между термами невозмущённой системы, приводит к отталкиванию уровнен и невозможности их пересечения при веществ, временах. Если возмущение V мало по сравнению с характерной разностью энергий вдали от точки пересечения, то момент t0 недалёк от веществ. оси. В этом случае
013-73.jpg
где E'1, E'2 - производные от невозмущённых уровней энергии в точке пересечения. В случае, когда медленным является относит, движение двух ионов в молекуле, E'i=vFi, где v - скорость движения ядер вблизи точки пересечения термов, Fi - сила, действующая на ядра, когда электроны находятся в состоянии с номером i. Подставляя (9) и (10) в выражение для w2, получаем ф-лу Ландау - Зинера:
013-74.jpg
Если один из уровней принадлежит непрерывному спектру, то ф-ла (11) описывает явление предиссоциации молекулы. К. п. с известными оговорками обобщается на случай движения в многомерном пространстве. Волновую ф-цию в этом случае можно записать в виде
013-75.jpg
Здесь S(r) - классич. действие, подчиняющееся Гамильтона - Якоби уравнению: (СS)2 = p2(r); величина А-1(r) - относит, площадь сечения бесконечно тонкого пучка классич. траекторий, проведённого нормально к импульсу 013-76.jpg; суммирование в (12) проводится по всем классич. траекториям, проходящим через заданную точку r. Решение (12) обеспечивает закон сохранения числа частиц. Ф-ция А(r) удовлетворяет ур-нию 013-77.jpg, эквивалентному ур-нию непрерывности для пучка частиц. Аналогичное построение в оптике наз. методом эйконала или геометрической оптики методом .Площадь сечения пучка траекторий пропорц. произведению гл. радиусов кривизны поверхности волнового фронта S=const. Поверхности, на к-рых А-1(r) обращается в нуль, наз. каустиками. Они являются огибающими классич. траекторий, отделяющими классически доступные области от недоступных, подобно точкам поворота в одномерной задаче. В классически недоступной области волновая ф-ция по-прежнему имеет вид (12), но S(r) становится чисто мнимым, так что волновая функция экспоненциально убывает. Вблизи каустик, но вдали от их особых точек волновая ф-ция сравнительно быстро меняется по нормали и медленно в касательной к каустике плоскости. Приближённое решение вблизи каустик, как и в одномерном случае, подчиняется эталонным уравнениям, простейшим и наиболее типичным из к-рых является уравнение Эйри. Решение эталонных уравнений позволяет "сшить" квазиклассич. волновые ф-ции по обе стороны каустики. Построение квазиклассич. волновых ф-ций, данное выше, обобщается на случай системы мн. частиц, а также на случай произвольной зависимости энергии от импульса, что важно в теории твёрдого тела. К. п. в многомерном случае, данное ур-нием (12), осмысленно только при конечном и не слишком большом числе траекторий, проходящих через данную точку. Для этого необходимо, чтобы классич. движение было устойчивым хотя бы в нек-рых областях. Др. словами, нек-рая часть фазового пространства должна расслаиваться на инвариантные торы (см. Гамильтонова система ),по к-рым движется классич. система. Тогда правила квантования Бора - Зоммерфельда принимают вид
013-78.jpg
где р - обобщённый импульс, q - обобщённая координата, интегрирование в (13) ведётся по одной из независимых замкнутых кривых на торе, вообще говоря, не совпадающей с классич. траекторией, gi - число, зависящее от того, сколько раз кривая Сi касается каустики. Если известна, хотя бы приближённо, к--н. замкнутая устойчивая классич. траектория, то в её окрестности правила квантования (13) позволяют найти большое число уровней. Соответствующие волновые ф-ции локализованы в узком канале вокруг классич. траектории, площадь канала s@ЦRl, где R - характерный линейный размер траектории. Наиб. просто квазиклассич. правила квантования применяются для высоковозбуждённых состояний систем с почти разделяющимися переменными. Если невозмущённая система невырождена, т. е. частоты wi=013-79.jpg несоизмеримы (S0(n) - энергия невозмущённой системы, ni - квантовые числа), то энергия изменяется на величину <V> возмущения V, усреднённого по всем фазовым переменным, а волновая ф-ция сосредоточена в окрестности 013-80.jpg около фиксированных значений n0i. Если нек-рые из частот соизмеримы, напр., две частоты w1 и w2 равны друг другу, то разность соответствующих угл. переменных j1-j2 медленно меняется, а квантовое число k=n1- n2 изменяется в широком интервале. Усреднённое по быстрым фазам возмущение V является гамильтонианом для медленных переменных. Правила перехода от квантовых к классич. величинам таковы. Классич. частоты определяют расстояния между соседними уровнями. Матричные элементы физ. величин переходят в фурье-компоненты соответствующих классич. величин. Наконец, перестановочным соотношениям операторов в квантовой механике соответствуют классические Пуассона скобки ,помноженные на 013-81.jpg Общепринято представление о том, что в случае, когда классич. движение хаотично, квантовая система демонстрирует нерегулярное поведение высоковозбуждённых уровней. Их ср. плотность r(E) определяется, как и в случае свободных частиц, производной по энергии от объёма классически доступной области в фазовом пространстве. Напр., для частицы, движущейся в потенц. поле U(r) в трёхмерном пространстве
013-82.jpg
Но расстояния между уровнями флуктуируют. Задача о распределении расстояний между уровнями не решена, намечены только нек-рые подходы к ней. Мало известно о статистич. характеристиках волновых ф-ций. Численные методы и теоретич. соображения показывают, что квадрат модуля волновой ф-ции максимален вблизи периодич. классич. траекторий, даже если они неустойчивы. Энергия системы на такой траектории соответствует максимуму плотности состояний. Для вычисления вероятности туннелирования в многомерном случае необходимо найти траекторию, проходящую в классически недоступной области, вдоль к-рой минимален модуль мнимого действия. Вероятность туннелирования в основном определяется экспоненциально малым фактором ехр(013-83.jpg ), где S - мнимое действие вдоль туннельной траектории. Предэкспоненц. множитель находится с помощью правил сшивки на каустике по известной волновой ф-ции внутри потенц. ямы. К. п. легко обобщается на нестационарный случай, если в ф-ле (12) подразумевать под S зависящее от времени действие, подчиняющееся нестационарному ур-нию Гамильтона - Якоби. К. п. можно получить из представления Фейнмана волновой ф-ции в виде интеграла по всем путям (см. Функционального интеграла метод), если считать013-84.jpg малой величиной. Тогда осн. вклад в интеграл вносит малая окрестность путей, вдоль к-рых действие минимально, т. е. классич. траекторий. К. п. можно использовать в чисто матем. целях для вычисления асимптотич. вида решений обыкновенных линейных дифференц. ур-ний второго порядка: y''+q2(x)y=0 [ср. с ур-нием (2)]. К такому виду приводятся ур-ния для гипергеометрических функций и нек-рых важных частных случаев этих ф-ций (ф-ций Бесселя, Лежандра, Лагерра и др.). Асимптотич. решения этих ур-ний имеют общий вид
013-85.jpg
и подчиняются эталонным ур-ниям вблизи разл. особых точек. Если q2(х) - аналитич. ф-ция, то такие решения можно продолжить в комплексную плоскость х. Однако на нек-рых линиях в комплексной плоскости, наз. линиями Стокса, коэф. А и В могут резко меняться. В частности, из каждой точки поворота х0, в к-рой g2(x0)=0, выходят три линии Стокса под углом 120°. Решение у0, к-рое ведёт себя как ехр (013-86.jpg) на биссектрисе одного из углов (убывающая экспонента), приходит с неизменным коэф. на линии Стокса, ограничивающие этот угол. Но на третьей линии Стокса появляется вторая экспонента с коэф. bi. Матрица, преобразующая коэф. А, В при переходе с одной линии Стокса на другую, наз. матрицей монодромии. Знание этой матрицы позволяет "сшивать" квазиклассич. асимптотики в разных областях без детального исследования эталонных уравнений. В частности, приведённое правило изменения коэффициентов в окрестности точки поворота эквивалентно правилу сшивки (4).
Историчегкая справка. Как метод решения дифференц. ур-ний К. п. впервые применялось Ж. Лиувиллем (J. Liouville) в 1837. Дальнейшее развитие К. п. нашло в трудах Рэлея (J. Rayleigh, 1912) и X. Джефриса (Н. Jeffreys, 1923). В связи с задачами квантовой механики К. п. было вновь изобретено Г. Венцелем (G. Wentzel), X. Крамерсом (Н. A. Kramers) и Л. Бриллюэном (L. N. Brillouin) в 1926, вследствие чего оно часто и наз. методом ВКБ (WKB или JWKB). Крамере, в частности, установил правила сшивки вблизи точки поворота. Квазиклассич. правила квантования были угаданы Н. Бором (N. Bohr) в 1913, за 13 лет до создания регулярной квантовой механики. Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика, 3 изд., М., 1974; Мигдал А. Б., Качественные методы в квантовой теории, М., 1975; Маслов В. П., Федорюк М. В., Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики, М., 1976. В. Л. Покровский.

  Предметный указатель