квантовая теория гравитации

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ - квантово-полевая теория гравитационного взаимодействия. Поскольку гравитац. взаимодействие универсально (в нём одинаково участвуют все виды материи, независимо от их конкретных свойств), то считается, что построение полной, законченной К. т. г. неотделимо от построения единой квантовой теории всех физ. полей. Такая единая теория ещё не создана, и в настоящее время под общим термином "К. т. г." объединяют несколько более частных и относительно самостоят. направлений: квантовую теорию собственно гравитации, теорию негравитац. квантовых полей в искривлённом пространстве-времени, квантовую космологию и квантовую теорию черных дыр, квантовую супергравитацию и многомерные единые теории поля. Предполагается, что эти направления в будущем сольются и станут частями полной К. т. г. Особенностью развития К. т. г. является то, что она носит пока чисто теоретич. характер и не опирается на лаб. эксперименты или астр. данные. Это обусловлено тем, что в наблюдаемых процессах во Вселенной и в лаб. условиях квантовые эффекты, связанные с гравитацией, чрезвычайно малы. К. т. г. строится по образу квантовой теории др. полей материи, в особенности Янга - Миллса полей, и исходя из условия согласованности с ними.
Квантовая теория собственно гравитации (обычно наз. К. т. г.) основана на квантовании классич. теории гравитац. взаимодействия - общей теории относительности Эйнштейна (ОТО). Наиб. ясность достигнута в случае, когда гравитац. поле слабое. При этом метрич. тензор искривлённого пространства-времени, определяющий все его геом. свойства, имеет вид
g_mn=h_mn+h_mn,
где m, n = 0, 1, 2, 3; h_mn=diag (1, -1, -1, -1) - метрич. тензор Минковского пространства-времени, |h_mn|<<1. Тогда в первом приближении ОТО сводится к релятивистской теории свободного безмассового поперечного тензорного поля h_mn - гравитационных волн - в плоском пространстве-времени. В квантовой теории величины g_mn и h_mn становятся операторами. Стандартная процедура квантования показывает, что гравитац. волны можно рассматривать как поток квантов - гравитонов, представляющих собой нейтральные частицы с нулевой массой покоя и со спином 2 (в единицах h). Спиральность гравитона (проекция его спина на направление движения) всегда равна 62. Гравитоны подчиняются Бозе - Эйнштейна статистике и могут неограниченно накапливаться в одном квантовом состоянии, образуя когерентный конденсат, к-рый представляет собой классич. гравитац. волну. Аналогично вектор-потенциалу эл--магн. поля h_mn является калибровочным полем: ур-ния поля не изменяются при замене

где а_m- произвольное векторное поле. Калибровочная инвариантность теории классич. слабого гравитац. поля есть следствие общей ковариантности ОТО (см. Тяготение ).Соответственно требование калибровочной инвариантности накладывается на квантовую теорию гравитонов, а также (после надлежащего ковариантного обобщения преобразования (2)) на К. т. г. в целом. Нелинейность ОТО приводит к нелинейности К. т. г.; в след. порядке теории возмущений по h_mn гравитоны начинают взаимодействовать друг с другом и со всеми остальными квантовыми частицами. Типичный процесс - рассеяние гравитона на гравитоне: g+g''g+g; его сечение

s ~ l²_Рl (E/m_Pl c²)², (3)

где m_Pl=(hс/G)^1/2~10^-5 г, m_Pl с²~10¹⁹ ГэВ, G - гравитац. постоянная, l_Pl=h/m_Pl с~10^-33 см, E - полная энергия гравитонов в системе центра инерции (E<< m_Pl с²). Величины l_Pl и m_Pl наз. соответственно планковскими длиной и массой, поскольку их впервые ввёл М. Планк (М. Planck), исходя из соображений размерности. Ввиду крайней малости l_Pl это сечение ничтожно мало в подавляющем большинстве процессов во Вселенной. Др. процессами такого типа, к-рые интересны с принципиальной точки зрения, являются двухгравитонное рождение пары частица-античастица любого негравитац. квантового поля и обратный процесс двухгравитонной аннигиляции пары: Если E>>m_Nс², где m_N - масса покоя частицы N, то сечение обоих процессов также даётся ф-лой (3). Т. о., на квантовом уровне обнаруживается взаимопревращаемость всех видов материи, включая гравитац. поле. Из-за наличия калибровочной симметрии поле h_mn содержит лишние степени свободы, соответствующие нефиз. значениям спиральности 0, 61. Поэтому, как и в случае эл--магн. поля, возможны два способа квантования: каноническое и ковариантное. В первом случае для построения К. т. г. используется нековариантный гамильтонов формализм .При этом релятивистская ковариантность теории нарушается путём выбора некрой системы отсчёта и расщепления единого четырёхмерного пространства-времени на отдельные пространство и время [т. н. (3+1)-расщепление], после чего все нефиз. степени свободы в принципе могут быть исключены. Доказывается, однако, независимость всех физ. результатов от выбора системы отсчёта. Это направление в К. т. г. известно также под назв. квантовой геометродинамики, а его осн. ур-ние, представляющее собой обобщение Шрёдингера уравнения на случай гравитац. поля с бесконечным числом степеней свободы, наз. Уилера - де Витта уравнением. При ковариантном квантовании гравитац. поля используется лагранжев формализм ,к-рый позволяет сохранить релятивистскую ковариантность на всех этапах вычислений. Нефиз. степени свободы не исключаются явно, но их вклад во все физ. процессы компенсируется введением вспомогат. полей (т. н. Фаддеева - Попова духов), обладающих неправильной связью спина со статистикой. Доказана формальная эквивалентность канонич. и ковариантного квантования во всех порядках по h_mn. Однако практич. расчёт физ. процессов в высших порядках теории возмущений по h_mn, для к-рых Фейнмана диаграммы содержат более одной замкнутой гравитонной петли (замкнутая петля изображает пару виртуальных гравитонов), оказывается невозможным из-за н е п е р е н о р м и р у е м о с т и К. т. г., основанной на лагранжиане ОТО. Причина этой фуцдам. трудности в том, что в лагранжиан ОТО (после его деления на h) входит размерная константа l^-2_Pl. Поэтому диаграммы, содержащие всё большее кол-во гравитонных петель, формально приводят к появлению бесконечного числа расходящихся радиационных поправок к лагранжиану ОТО, к-рые нельзя устранить перенормировкой. Если ограничиваться расчётом только тех диаграмм Фейнмана, в к-рых внеш. гравитонные линии лежат на массовой поверхности, т. е. соответствуют реальным гравитонам (удовлетворяющим классич. ур-ниям Эйнштейна в пустоте R_mn=0, где R_mn - т. н. Риччи тензор ,выражающийся через g_mn и его первые и вторые производные по координатам), то диаграммы, содержащие только одну гравитонную петлю, оказываются конечными ввиду обращения в нуль всех возможных общековариантных контрчленов в данном порядке. Поэтому К. т. г. на массовой поверхности конечна в однопетлевом приближении. Начиная с диаграмм Фейнмана, имеющих две гравитонные петли, К. т. г. не является конечной даже на массовой поверхности. В настоящее время рассматриваются три подхода к проблеме неперенормируемости К. т. г. Первый из них связан с переходом к квантовой супергравитации и с надеждой найти такую теорию, к-рая, несмотря на наличие размерной константы в лагранжиане, окажется конечной на массовой поверхности. Из-за наличия дополнит. симметрии число расходимостей в квантовой супергравитации уменьшается. В частности, уже простейшая её разновидность - т. н. N=1 супергравитация, содержащая в дополнение к гравитону безмассовую фермионную спиральную частицу со спином ³/₂ (гравитино ),оказывается конечной на массовой поверхности в двухпетлевом приближении (вследствие обращения в нуль всех возможных обще- и суперковариантных контрчленов). Пока не удалось построить ни одного варианта квантовой супергравитации, для к-рого была бы доказана конечность в трёхпетлевом приближении. Осн. надежды здесь связываются с наиб. симметричным и богатым физ. полями вариантом - N=8 супергравитацией. Другой, альтернативный подход основан на видоизменении ОТО путём добавления в её лагранжиан квадратичных по тензору Риччи общековариантных членов. Коэффициенты при этих членах оказываются безразмерными, так что эта процедура ведёт к построению перенормируемой К. т. г. Как и в др. перенормируемых квантовых теориях, для констант связи этого варианта К. т. г. можно написать ур-ния ренормализационной группы. Возникающая в результате этого зависимость констант связи от энергии отвечает (при соответствующем выборе знака констант) случаю асимптотической свободы (как и для полей Янга - Миллса), т. е. константы логарифмически убывают с ростом энергии E при E>>т_Pl с². В такой К. т. г., помимо обычного гравитона, содержатся ещё две массивные универсально взаимодействующие частицы: со спином 0 и со спином 2 (на классич. уровне это соответствует тому, что ур-ния теории представляют собой дифференц. ур-ния четвёртого порядка для g_mn). Массы покоя этих частиц порядка т_Pl, умноженной на безразмерные константы связи. Учёт радиац. поправок приводит к нестабильности массивных частиц: они могут распадаться на пару гравитонов или пару частица-античастица любых квантовых негравитац. полей. Массивная частица со спином 2 представляет собой осн. трудность для данного подхода: она является или тахионом (масса покоя мнимая), или, при др. знаке соответствующей константы связи, духом, а именно её масса действительна (если пренебречь возможностью распада), но энергия отрицательна. Пока неизвестно, ведёт ли существование такой частицы к к--л. неприемлемым физ. следствиям. Третий подход связан с идеей построения квантовой теории всех взаимодействий (включая гравитационное) без ультрафиолетовых расходимостей на основе нелокальных фундам. объектов - суперструн. Доказано, что в низкоэнергетическом (E<<т_Pl с²) пределе теории суперструн возникает ОТО с гравитонами. Квантовые поправки к ОТО, к-рые должны вытекать из теории суперструн, ещё не рассчитаны количественно. В любом варианте К. т. г. следует ожидать, что на масштабах порядка l_Pl относит. квантовые флуктуации метрич. тензора g_mn становятся порядка единицы, в результате чего понятие классич. геометрии пространства-времени теряет смысл. В этих условиях, возможно, испытывает сильные флуктуации также и топология пространства-времени (в классич. ОТО топология задаётся как нач. условие и не изменяется с течением времени). При усреднении по масштабам l>>l_Pl эти флуктуации сглаживаются.
Теория негравитационных квантовых полей в искривлённом пространстве-времени. Это направление в К. т. г. занимается исследованием методов квантования негравитац. полей на фоне классич. гравитац. поля (к-рое описывается метрич. тензором g_mn искривлённого пространства-времени), а также связанных с этим квантовых физ. процессов в сильных гравитац. полях. Гравитац. ноле приводит к изменению свойств физ. вакуума квантовых полей; возникают эффекты поляризации вакуума и (за исключением нек-рых частных случаев) рождения пар частица-античастица. Эти эффекты не являются специфически гравитационными; аналогичные эффекты имеют место, напр., для электронно-позитронного вакуума во внеш. классич. эл--магн. поле; разница связана лишь с универсальностью взаимодействия гравитац. поля со всеми физ. квантовыми полями. Важнейшей величиной, характеризующей оба этих эффекта, является ср. значение оператора тензора энергии - импульса квантового поля по нек-рому вектору состояния |Y>, к-рый задаётся нач. условиями. Выбор |Y> зависит от конкретной задачи. Если пространство-время было плоским при t''-: или его можно считать таковым, то в качестве |Y> обычно берут физ. вакуум в пространстве-времени Минковского (при t№-: это состояние в общем случае уже не является вакуумом из-за эффекта рождения частиц). Для вычисления необходимо провести регуляризацию расходящихся интегралов (как и обычно в квантовой теории поля; см. Регуляризация расходимостей ).Доказано, что для произвольного |Y> эта регуляризация может быть проведена общековариантным образом и в случае невзаимодействующих квантовых полей сводится к перенормировке четырёх констант в (обобщённом) лагранжиане гравитац. поля: т. н. космологич. постоянной А (аддитивной константы в лагранжиане), гравитац. постоянной G и двух безразмерных констант, стоящих перед двумя общековариантными выражениями, квадратичными по тензору Риччи R_mn. Теории взаимодействующих квантовых полей, перенормируемые в плоском пространстве-времени, остаются перенормируемыми и в искривлённом классич. пространстве-времени. Перенормировка приводит к изменению структуры по сравнению с тензором энергии-импульса классич. теории. В частности, возникает т. н. конформная аномалия: тензор может иметь ненулевой след, даже если след классич. тензора энергии - импульса был равен нулю. Поскольку гравитац. постоянная G не входит в ур-ния движения физ. полей в искривлённом пространстве-времени, то она не входит и в Поэтому характерной длиной для квантовой теории полей в искривлённом пространстве-времени является нe l_Pl, a связанная с интенсивностью гравитац. поля длина l_g=(R_mnrsR^mnrs)^-1/4. где R_mnrs - Римана кривизны тензор .В большинстве интересных для приложений случаев (сюда относятся, в частности, метрики космологич. моделей и метрики чёрных дыр в окрестности их гравитационного радиуса)масштаб, на к-ром гравитац. поле существенно изменяется, также ~l_g. Тогда условие l_g<<l_Pl есть условие возможности классич. описания гравитац. поля. Вклад в от эффектов поляризации вакуума и рождения пар частиц в общем случае разделить нельзя; как показывает расчёт, типичная величина плотности вакуумной энергии квантовых полей с массой покоя частиц m<<h/cl_g (в т. ч. безмассовых) оказывается порядка

Если рождение частиц не подавлено к--л. спец. симметрией пространства-времени, то при m<<h/cl_g энергия рождающихся частиц E~h/cl_g, а локальная скорость изменения плотности числа частиц (п) за счёт их рождения (при усреднении по пространственно-временным масштабам, много большим l_g) равна

В противоположном случае m>>h/cl_g рождение частиц экспоненциально подавлено, а вакуумный тензор энергии-импульса определяется только поляризацией вакуума, e_вак~h³/cm²l⁶_g. Методы теории квантовых полей в искривлённом пространстве-времени находят практич. приложение для расчёта физ. эффектов в квантовой космологии и квантовой теории чёрных дыр. Квантовая космология представляет собой применение К. т. г. (гл. обр. теории негравитац. квантовых полей в искривлённом пространстве-времени) к нач. стадиям расширения Вселенной вблизи сингулярности. Наиб. важным достижением квантовой космологии является построение конкретных моделей (сценариев) т. н. инфляционной (раздувающейся) В с е л е н н о й, в к-рых Вселенная на раннем этапе своей эволюции проходила через стадию экспоненц. расширения (называемой также де-ситтеровской, поскольку метрика пространства-времени при этом приближённо совпадает с метрикой де Ситтера, описывающей пространство-время постоянной кривизны; см. Де Ситтера пространство-время ).Сценарий раздувающейся Вселенной позволяет объяснить осн. крупномасштабные свойства наблюдаемой в настоящее время части Вселенной (в частности, высокую степень её однородности и изотропии, см. Космология), исходя только из гипотезы о прохождении Вселенной через де-ситтеровскую стадию в прошлом. Радиус четырёхмерной кривизны l_g на этой стадии либо постоянен, либо медленно изменяется от значения l_Рl до величины порядка 10⁵ l_Рl в конце стадии. Согласно этому сценарию, в настоящее время кривизна трёхмерного пространства практически равна нулю, так что наблюдаемая часть Вселенной с большой точностью (~10^-4) находится как раз на границе между открытой и закрытой моделями Фридмана. Полная плотность энергии материи e должна равняться критической: e_кр=3с²H²/8pG, где Н - Хаббла постоянная. Эффекты К. т. г. проявляются в сценарии раздувающейся Вселенной двояким образом. Во-первых, само существование де-ситтеровской стадии может быть обязано квантовым поправкам к ОТО (др. возможная причина экспоненц. расширения - гравитац. отталкивание, вызванное потенц. энергией нек-рого скалярного поля, возникающего в супергравитац. теориях). Во-вторых, разновидностью эффекта рождения частиц является эффект усиления вакуумных квантовых флуктуации того эфф. скалярного поля, к-рое ответственно за существование де-ситтеровской стадии (см. Первичные флуктуации в горячей Вселенной). Этот эффект приводит к стохастич. эволюции эфф. скалярного поля и метрики пространства-времени на де-ситтеровской стадии, зависимости продолжительности этой стадии от пространств. координат и к генерации возмущении метрики пространства-времени (отклонений от однородности и изотропии), к-рые обусловливают образование галактик и их скоплений. Общее предсказание простейших вариантов сценария раздувающейся Вселенной - независимость среднеквадратичной амплитуды возмущений метрики от длины волны возмущения l (с точностью до степеней lnl) на стадии, когда l>>l_g. Эти возмущения приводят также к появлению малой анизотропии темп-ры реликтового излучения (см. Микроволновое фоновое излучение)DТ(q,j)/T~10^-5 в мультиполях, начиная с квадруполя и выше (q,j - углы на небесной сфере). Эта анизотропия, в отличие от наблюдаемой дипольной анизотропии (~10^-3), не связана с собств. движением Солнца и нашей Галактики. В настоящее время наблюдат. верхний предел на такую анизотропию составляет прибл. 3.10^-5. Расчёт показывает, что зависимость среднеквадратичной амплитуды анизотропии DT/T от номера мультиполя l должна иметь вид (после суммирования по всем сферич. гармоникам с данным l)

что является решающим тестом на правильность сценария раздувающейся Вселенной (с одним эфф. скалярным полем, ответственным за возникновение де-ситтеровской стадии). Кроме того, эффект рождения гравитонов на де-ситтеровской стадии приводит к возникновению изотропного нетеплового фона стохастич. гравитац. волн со спектральной плотностью энергии de_g/dn=Be_g/n в интервале частот 10^-16<<n(Гц) << 10¹⁰,B = constх10^-10, где e_g - полная плотность энергии реликтового эл--магн. излучения в настоящее время. Эти гравитац. волны генерируют дополнит. анизотропию DT/T, мультипольная зависимость к-рой также должна приближённо иметь вид (6) (с погрешностью [20%). Квантовая теория чёрных дыр занимается гл. обр. исследованием эффектов рождения частиц и поляризации вакуума в гравитац. поле чёрных дыр (ЧД). Осн. результат состоит в том, что невращающаяся ЧД массы М излучает рождённые кванты как термодинамически равновесное (не абсолютно чёрное) тело с темп-рой Т_ЧД (масса М выражена в г):

kТ_ЧД = hc³/8pGM ~ k.10²⁶ M^-1K~10¹⁶ M^-1 MэB (7)

и в результате "испаряет" в окружающее пространство свою массу - энергию [эффект Хокинга (S. Hawking), 1974]. Рождение частиц происходит из-за существования горизонта событий ЧД и нестатичности метрики пространства-времени под горизонтом. Излучение рождённых частиц чёрной дырой подчиняется Кирхгофа закону. Спектр излучения ЧД близок к чернотельному; отличие связано с тем, что ЧД не является абсолютно поглощающей для падающего на неё излучения (или квантовых частиц) с длиной волны а гравитац. радиуса ЧД (излучение частично рассеивается внеш. гравитац. полем ЧД). Для ЧД с массой порядка массы Солнца (2.10³³ г) эффект количественно ничтожен, но важен в принципиальном отношении, т. к. приводит к конечности времени существования ЧД t_ЧД~10^-27 М³ (г) (в секундах). Эффект Хокинга мог бы быть наблюдаем непосредственно для ЧД с малой массой M~10¹⁵ г, находящихся достаточно близко от Земли. Такие ЧД не могут возникнуть в результате коллапса звёзд, но они могли образоваться на ранних стадиях эволюции Вселенной (т. н. первичные ЧД). Первичные ЧД с нач. массой M~10¹⁵ г должны были испариться к настоящему моменту, более массивные ЧД остаются практически неизменными. ЧД с M~10¹⁵ г в стационарном режиме испарения являются источниками g-излучения и ультрарелятивистских электронов и позитронов с характерными энергиями E~5kТ_ЧД~50 МэВ. Мощность, излучаемая таким объектом в виде фотонов, должна быть равна P_g~6.10⁸ (M/10¹⁵ г)^-2 Вт, а в виде е⁶ - в 5 раз больше. С течением времени, вследствие уменьшения массы ЧД, скорость её испарения возрастает. Процесс завершается "квантовым взрывом" ЧД, когда за последнюю секунду её жизни выделяется энергия 10²³ Дж. Для вращающейся ЧД кроме эффекта Хокинга существует и др. эффект рождения частиц, связанный с наличием у неё эргосферы. Как показывает расчёт, излучение рождённых частиц вращающейся ЧД под суммарным действием обоих эффектов сохраняет тепловой характер с эффективной темп-рой Т_ЧД, к-рая получается из (7) заменой М на a=Jc/GM<M, где J - полный угл. момент ЧД. Квантовые гравитац. эффекты приводят также к кардинальной перестройке внутр. строения вращающихся или электрически заряженных ЧД под их горизонтом событий (при этом исчезают т. н. Коши горизонты ),к запрету на образование белых дыр во Вселенной и к существованию нижнего предела массы у ЧД (в том числе у первичных ЧД): М>т_Pl. Возможно, что при M~m_Pl возникают объекты, промежуточные по своим свойствам между ЧД и элементарными частицами, напр. максимоны М. А. Маркова. В настоящее время поиски анизотропии реликтового эл--магн. излучения с мультипольной зависимостью (6) или излучения от первичных ЧД (если они существуют) являются наиб. перспективными с точки зрения обнаружения первых наблюдаемых следствий эффектов К. т. г.
Многомерные единые теории поля. К К. т. г. непосредственно примыкают многомерные единые теории всех взаимодействий, включая гравитационное. Объединение пространственно-временной симметрии с внутренними (см. Внутренняя симметрия)и калибровочными симметриями сильного, эл--магн. н слабого взаимодействий достигается в этих теориях путём введения искривлённого пространства-времени размерности 4+d, где d - натуральное число (одна координата является временной, остальные - пространственными). Предполагается, что дополнительные d измерений к--л. образом компактифицируются в замкнутое d-мерное пространство (в простейшем случае - в d-мерную сферу) с характерными размерами порядка l_Pl. Симметрия этого d-мерного пространства определяет симметрию сильного, эл--магн. и слабого взаимодействий. С точки зрения макроскопич. наблюдателя в четырёхмерном мире, такие теории содержат бесконечное число квантовых полей. При этом кванты тех полей, к-рые не зависят от координат d-мерного пространства, имеют массу покоя т<<т_Pl , а остальные являются очень тяжёлыми (т/ m_Pl) и не проявляются поэтому в лаб. экспериментах. Первый, простейший вариант такой теории (d=1) рассматривался ещё в 20-е гг. Т. Калуцой (Th. Kaluza) и О. Клейном (О. Klein). В настоящее время наиб. интерес представляет 10-мерная теория (d=6), к-рая возникает в низкоэнергетич. (E[m_Plс²) пределе более фундам. теории двумерных объектов - суперструн (см. Калуцы-Клейна теория). Она является конечной в однопетлевом приближении при определ. выборе группы симметрии великого объединения сильного, эл--магн. и слабого взаимодействий и может быть конечной во всех петлях. Лит.: Зельдович Я. Б., Новиков И. Д., Строение и эволюция Вселенной, М., 1975; Общая теория относительности, под ред. С. Хокинга, В. Израэля, пер. с англ., М., 1983; Биррелл Н., Девис П., Квантованные поля в искривленном пространстве-времени, пер. с англ., М., 1984; Линде А. Д., Раздувающаяся Вселенная, "УФН", 1984, т. 144, с. 177; Новиков И. Д., Фролов В. П., Физика чёрных дыр, М., 1986. А. А. Старобинский.

   <<      Предметный указатель      >>