квантовая теория поля.

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ.

Содержание:

1. Квантовые поля ................. 300

2. Свободные поля и корпускулярно-волновой дуализм .................... 301

3. Взаимодействие полей .........302

4. Теория возмущений ............... 303

5. Расходимости и перенормировки ......... 304

6. УФ-асимптотики и ренормгруппа ......... 304

7. Калибровочные поля .............. 305

8. Общая картина ................ 307

9. Перспективы и проблемы ............ 307

Квантовая теория поля (КТП) - квантовая теория релятивистских систем с бесконечно большим числом степеней свободы (релятивистских полей), являющаяся теоретич. основой описания микрочастиц, их взаимодействий и взаимопревращений.

1. Квантовые поля Квантовое (иначе - квантованное) поле представляет собой своеобразный синтез понятий классич. поля типа электромагнитного и поля вероятностей квантовой механики. По совр. представлениям, квантовое поле является наиболее фундаментальной и универсальной формой материи, лежащей в основе всех её конкретных проявлений. Представление о классич. поле возникло в недрах теории электромагнетизма Фарадея - Максвелла и окончательно выкристаллизовалось в процессе создания спец. теории относительности, потребовавшей отказа от эфира как материального носителя эл--магн. процессов. При этом поле пришлось считать не формой движения к--л. среды, а специфич. формой материи с весьма непривычными свойствами. В отличие от частиц, классич. поле непрерывно создаётся и уничтожается (испускается и поглощается зарядами), обладает бесконечным числом степеней свободы и не локализуется в определ. точках пространства-времени, но может распространяться в нём, передавая сигнал (взаимодействие) от одной частицы к другой с конечной скоростью, не превосходящей скорости света с. Возникновение квантовых идей привело к пересмотру классич. представлений о непрерывности механизма испускания п поглощения света и к выводу, что эти процессы происходят дискретно - путём испускания п поглощения квантов эл--магн. поля - фотонов. Возникшую противоречивую с точки зрения классич. физики картину, когда с эл--магн. полем сопоставлялись фотоны и одни явления поддавались интерпретации лишь в терминах волн, а другие - только с помощью представления о квантах, называли корпускулярно-волновым дуализмом. Это противоречие разрешилось последоват. применением к полю идей квантовой механики. Динамич. переменные эл--магн. поля - потенциалы А, j и напряжённости электрич. и магн. поля E, Н - стали квантовыми операторами, подчиняющимися определ. перестановочным соотношениям и действующими на волновую ф-цию (амплитуду, или вектор состояния)системы. Тем самым возник новый физ. объект - квантовое поле, удовлетворяющее ур-ниям классич. электродинамики, но имеющее своими значениями квантовомеханич. операторы. Вторым истоком общего понятия квантового поля явилась волновая ф-ция частицы y (x, t), к-рая является не самостоятельной физ. величиной, а амплитудой состояния частицы: вероятности любых, относящихся к частице физ. величин выражаются через билинейные по y выражения. Т. о., в квантовой механике с каждой материальной частицей оказалось связано новое поле- поле амплитуд вероятностей. Релятивистское обобщение y-ф-ции привело П. А. М. Дирака (Р. А. М. Dirac) к четырёхкомпонентной волновой ф-ции электрона y_a (a=1, 2, 3, 4), преобразующейся по спинорному представлению Лоренца группы. Вскоре было осознано, что и вообще каждой отд. релятивистской микрочастице следует соотнести локальное поле, осуществляющее нек-рое представление группы Лоренца и имеющее физ. смысл амплитуды вероятности. Обобщение на случай мн. частиц показало, что если они удовлетворяют принципу неразличимости (тождественности принципу ),то для описания всех частиц достаточно одного поля в четырёхмерном пространстве-времени, являющегося оператором в смысле квантовой механики. Это достигается переходом к новому квантовомеханич. представлению - представлению чисел заполнения (или представлению вторичного квантования). Вводимое таким путём операторное поле оказывается совершенно аналогичным квантованному эл--магн. полю, отличаясь от него лишь выбором представления группы Лоренца и, возможно, способом квантования. Подобно эл--магн. полю, одно такое поле соответствует всей совокупности тождественных частиц данного сорта, напр., одно операторное Дирака поле описывает все электроны (и позитроны!) Вселенной. Так возникает универсальная картина единообразного строения всей материи. На смену полям и частицам классич. физики приходят единые физ. объекты - квантовые поля в четырёхмерном пространстве-времени, по одному для каждого сорта частиц или (классич.) полей. Элементарным актом всякого взаимодействия становится взаимодействие неск. полей в одной точке пространства-времени, или - на корпускулярном языке - локальное и мгновенное превращение одних частиц в другие. Классич. же взаимодействие в виде сил, действующих между частицами, оказывается вторичным эффектом, возникающим в результате обмена квантами поля, переносящего взаимодействие.
2. Свободные поля и корпускулярно-волвовой дуализм В соответствии с кратко очерченной выше общей физ. картиной в систематич. изложении КТП можно отправляться и от полевых, и от корпускулярных представлений. В полевом подходе надо сначала построить теорию соответствующего классич. поля, затем подвергнуть его квантованию [по образцу квантования эл--магн. поля В. Гейзенбергом (W. Heisenberg) и В. Паули (W. Pauli)] и, наконец, разработать для получающегося квантованного поля корпускулярную интерпретацию. Основным исходным понятием здесь будет поле и^а(х) (индекс а нумерует компоненты поля), определённое в каждой пространственно-временной точке x=(ct,x) и осуществляющее к--л. достаточно простое представление группы Лоренца. Дальнейшая теория строится проще всего с помощью Лагранжева формализма; выбирают локальный [т. е. зависящий лишь от компонент поля и^а(х) и их первых производных д_m и^а(х)=дu^a/дx_m = и^а_m(х) (m=0, 1, 2, 3) в одной точке х] квадратичный пуанкаре-инвариантный (см. Пуанкаре группа) лагранжиан L(x) = L(u^a, д_mu^b) и из наименьшего действия принципа получают уравнения движения. Для квадратичного лагранжиана они линейны - свободные поля удовлетворяют принципу суперпозиции. В силу Нётер теоремы из инвариантности действия S относительно каждой однопараметрич. группы следует сохранение (независимость от времени) одной, явно указываемой теоремой, интегральной ф-ции от и^а и д_mu^b. Поскольку сама группа Пуанкаре 10-параметрична, в КТП обязательно сохраняются 10 величин, к-рые иногда называют фундам. динамич. величинами: из инвариантности относительно четырёх сдвигов в четырёхмерном пространстве-времени следует сохранение четырёх компонент вектора энергии-импульса Р_m, а из инвариантности относительно шести поворотов в 4-пространстве следует сохранение шести компонент момента - трёх компонент трёхмерного момента импульса M_i=¹/₂E_ijkM_jk и трёх т. н. бустов N_i=c^-lM_0i (i, j, k=1, 2, 3, E_ijk - единичный полностью антисимметричный тензор; по дважды встречающимся индексам подразумевается суммирование). С матем. точки зрения десять фундам. величин - Р_m , М_i, N_i - суть генераторы группы Пуанкаре. Если действие остаётся инвариантным и при выполнении над рассматриваемым полем нек-рых других, не входящих в группу Пуанкаре непрерывных преобразований симметрии - преобразований внутр. симметрии,- из теоремы Нётер следует тогда существование новых сохраняющихся динамич. величин. Так, часто принимают, что ф-ции поля комплексны, налагают на лагранжиан условие эрмитовости (см. Эрмитов оператор)и требуют инвариантности действия относительно глобального калибровочного преобразования (фаза a не зависит от х) и^а(х)''е^iaи^а(х), и*^а(х)''е^-iaи*^а(х). Тогда оказывается (как следствие теоремы Нётер), что сохраняется заряд

Поэтому комплексные ф-ции и^a можно использовать для описания заряж. полей. Той же цели можно достичь, расширяя область значений, пробегаемых индексами а, так, чтобы они указывали и направление в изотопич. пространстве, и требуя от действия инвариантности относительно вращений в нём. Заметим, что заряд Q - не обязательно электрич. заряд, это может быть любая, не связанная с группой Пуанкаре сохраняющаяся характеристика поля, напр., лептонное число, странность, барионное число и т. п. Каноническое квантование ,согласно общим принципам квантовой механики, состоит в том, что обобщённые координаты [т. е. (бесконечный) набор значений всех компонент поля u¹, . . ., u^N во всех точках x пространства в нек-рый момент времени t (при более ухищрённом изложении - во всех точках нек-рой пространственноподобной гиперповерхности s] и обобщённые импульсы p^b(x, t)=дL/дu^b(x, t) объявляют операторами, действующими на амплитуду состояния (вектор состояния) системы, и налагают на них перестановочные соотношения:

причём знаки "+" или "-" соответствуют квантованию по Ферми - Дираку или Бозе - Эйнштейну (см. ниже). Здесь d^аb - Кронекера символ ,d(х-у) - дельта-функция Дирака. Из-за выделенной роли времени и неизбежного обращения к конкретной системе отсчёта перестановочные соотношения (1) нарушают явную симметрию пространства и времени, и сохранение релятивистской инвариантности требует спец. доказательства. Кроме того, соотношения (1) ничего не говорят о коммутац. свойствах полей во времениподобных парах точек пространства-времени - значения полей в таких точках причинно зависимы, и их перестановки можно определить, только решая ур-ния движения совместно с (1). Для свободных полей, для к-рых ур-ния движения линейны, такая задача разрешима в общем виде и позволяет установить - и притом в релятивистски симметричной форме - перестановочные соотношения полей в двух произвольных точках х и у.

Здесь D_т - перестановочная функция Паули - Йордана, удовлетворяющая Клейна - Гордона уравнению P^аb - полином, обеспечивающий удовлетворение правой частью (2) ур-ний движения по х и по у, - Д-Аламбера оператор, т - масса кванта поля (здесь и далее используется система единиц h=с = 1). В корпускулярном подходе к релятивистскому квантовому описанию свободных частиц векторы состояния частицы должны образовывать неприводимое представление группы Пуанкаре. Последнее фиксируется заданием значений операторов Казимира (операторов, коммутирующих со всеми десятью генераторами группы Р_m М_i и N_i), к-рых у группы Пуанкаре два. Первый - оператор квадрата массы m²=Р^mР_m. При m²№0 вторым оператором Казимира служит квадрат обычного (трёхмерного) спина, а при нулевой массе - оператор спиральности (проекции спина на направление движения). Спектр m² непрерывен - квадрат массы может иметь любые неотрицат. значения, m²/0; спектр спина дискретен, он может иметь целые или полуцелые значения: 0, ¹/₂, 1, ... Кроме того, надо задать ещё поведение вектора состояния при отражении нечётного числа координатных осей. Если никаких других характеристик задавать не требуется, говорят, что частица не имеет внутр. степеней свободы и наз. истинно нейтральной частицей. В противном случае частица обладает зарядами того или иного сорта. Чтобы фиксировать состояние частицы внутри представления, в квантовой механике надо задать значения полного набора коммутирующих операторов. Выбор такого набора неоднозначен; для свободной частицы удобно взять три составляющих её импульса р и проекцию s спина l_s на к--л. направление. Т. о., состояние одной свободной истинно нейтральной частицы полностью характеризуется заданием чисел т, l_s, р_х, p_y, р_z, s, первые два из к-рых определяют представление, а следующие четыре - состояние в нём. Для заряж. частиц добавятся другие квантовые числа; обозначим их буквой t. В представлении чисел заполнения состояние совокупности одинаковых частиц фиксируется числами заполнения n_p,s,t всех одночастичных состояний (индексы, характеризующие представление, в целом, не выписаны). В свою очередь вектор состояния |n_p,s,t> записывают как результат действия на вакуумное состояние |0> (т. е. состояние, в к-ром вовсе нет частиц) операторов рождения а⁺ (р, s, t):

Операторы рождения а⁺ и эрмитово сопряжённые им операторы уничтожения а^- удовлетворяют перестановочным соотношениям

где знаки "+" и "-" отвечают соответственно Ферми - Дирака и Бозе - Эйнштейна квантованию, а числа заполнения являются собств. значениями операторов числа частиц Т. о., вектор состояния системы, содержащей по одной частице с квантовыми числами p₁, s₁, t₁; p₂, s₂, t₂; . . ., записывается как

Чтобы учесть локальные свойства теории, надо перевести операторы а^b в координатное представление. В качестве ф-ций преобразования удобно использовать классич. решения ур-ний движения подходящего свободного поля с тензорными (или спинорными) индексами а и индексом внутренней симметрии q. Тогда операторами рождения и уничтожения в координатном представлении будут:

Эти операторы, однако, ещё непригодны для построения локальной КТП: как их коммутатор, так и антикоммутатор пропорциональны не ф-ции Паули - Иордана D_т, а её положительно- и отрицательно-частотным частям D⁶_m(x-y)[D_m=D⁺_m+D^-_m], к-рые для пространственноподобных пар точек х и у не обращаются в нуль. Чтобы получить локальное поле, надо построить суперпозицию операторов рождения и уничтожения (5). Для истинно нейтральных частиц это можно сделать непосредственно, определяя локальное лоренц-ковариантное поле как
u^a(x)=u^a(+) (х) + и^а(^-)(х). (6)
Но для заряж. частиц так поступать нельзя: операторы а⁺_t и a^-_t в (6) будут один увеличивать, а другой - уменьшать заряд, и их линейная комбинация не будет обладать в этом отношении определ. свойствами. Поэтому для образования локального поля приходится привлекать в пару к операторам рождения а⁺_t операторы уничтожения не тех же частиц, а новых частиц (пометили их сверху значком "тильда"), реализующих то же представление группы Пуанкаре, т. е. обладающих в точности теми же массой и спином, но отличающихся от первоначальных знаком заряда (знаками всех зарядов t), и писать:

Из Паули теоремы следует теперь, что для полей целого спина, полевые функции к-рых осуществляют однозначное представление группы Лоренца, при квантовании по Бозе - Эйнштейну коммутаторы [и(х), и(у)]_ или [и(х), v*(у)]_ пропорц. ф-ции D_m(x-у) и исчезают вне светового конуса, в то время как для осуществляющих двузначные представления полей полуцелого спина то же достигается для антикоммутаторов [и(х), и(у)]₊ (или [v(x), v* (y)]₊) при квантовании по Ферми - Дираку. Выражаемая ф-лами (6) или (7) связь между удовлетворяющими линейным ур-ниям лоренц-ковариантными ф-циями поля и или v, v* и операторами рождения и уничтожения свободных частиц в стационарных квантовомеханич. состояниях есть точное матем. описание корпускулярно-волнового дуализма. Новые, "рождаемые" операторами частицы, без к-рых нельзя было построить локальные поля (7), наз.- по отношению к первоначальным - античастицами. Неизбежность существования античастицы для каждой заряж. частицы - один из гл. выводов квантовой теории свободных полей.
3. Взаимодействие полей Решения (6) и (7) ур-ний свободного поля пропорц. операторам рождения и уничтожения частиц в стационарных состояниях, т. е. могут описывать лишь такие ситуации, когда с частицами ничего не происходит. Чтобы рассмотреть также и случаи, когда одни частицы влияют на движение других либо превращаются в другие, нужно сделать ур-ния движения нелинейными, т. е. включить в лагранжиан, кроме квадратичных по полям членов, ещё и члены с более высокими степенями. С точки зрения развитой пока теории такие лагранжианы взаимодействия L_int могли бы быть любыми ф-циями полей и их первых производных, удовлетворяющими лишь ряду простых условий: 1) локальности взаимодействия, требующей, чтобы L_int(x) зависел от разл. полей и^а(х) и их первых производных только в одной точке пространства-времени х; 2) релятивистской инвариантности, для выполнения к-рой L_int должен быть скаляром относительно преобразований Лоренца; 3) инвариантности относительно преобразований из групп внутренних симметрии, если таковые имеются у рассматриваемой модели. Для теорий с комплексными полями сюда, в частности, входят требования эрмитовости лагранжиана и инвариантности относительно допустимых в таких теориях калибровочных преобразований. Кроме того, можно требовать инвариантности теории относительно нек-рых дискретных преобразований, таких, как пространственная инверсия Р, обращение времени Т и зарядовое сопряжение С (заменяющее частицы на античастицы). Доказано (теорема СРТ ),что всякое взаимодействие, удовлетворяющее условиям 1)-3), обязательно должно быть инвариантным относительно одноврем. выполнения этих трёх дискретных преобразований. Многообразие лагранжианов взаимодействия, удовлетворяющих условиям 1)-3), столь же широко, как, напр., многообразие ф-ций Лагранжа в классич. механике, и на определ. этапе развития КТП казалось, что теория не даёт ответа на вопрос о том, почему именно одни из них, а не другие осуществляются в природе. Однако после возникновения идеи перенормировок УФ-расходимостей (см. ниже раздел 5) и блестящей её реализации в квантовой электродинамике (КЭД) выделился преимущественный класс взаимодействий - перенормируемых. Условие 4) - перенормируемости оказывается весьма ограничительным, и его добавление к условиям 1)-3) оставляет допустимыми лишь взаимодействия с L_int вида полиномов невысокой степени по рассматриваемым полям, причём поля сколько-нибудь высоких спинов вообще исключаются из рассмотрения. Т. о., взаимодействие в перенормируемой КТП не допускает - в разительном отличии от классич. и квантовой механики - никаких произвольных ф-ций: как только выбран конкретный набор полей, произвол в L_int ограничивается фиксированным числом констант взаимодействия (констант связи). Полную систему ур-ний КТП со взаимодействием (в Гейзенберга представлении)составляют получающиеся из полного лагранжиана ур-ния движения (связанная система дифференц. ур-ний в частных производных с нелинейными членами взаимодействия и самодействия) и канонич. перестановочные соотношения (1). Точное решение такой задачи удаётся найти лишь в небольшом числе физически малосодержат. случаев (напр., для нек-рых моделей в двумерном пространство-времени). С другой стороны, канонич. перестановочные соотношения нарушают, как уже говорилось, явную релятивистскую симметрию, что становится опасным, если вместо точного решения довольствоваться приближённым. Поэтому практич. ценность квантования в форме (1) невелика. Наиб. распространение в КТП получил метод, основанный на переходе к взаимодействия представлению, в к-ром поля и^а(х)удовлетворяют линейным ур-ниям движения для свободных полей, а всё влияние взаимодействия и самодействия переведено на временную эволюцию амплитуды состояния Ф, к-рая теперь не постоянна, а изменяется в соответствии с ур-нием типа ур-ния Шрёдингера:

причём гамильтониан взаимодействия H_int(t) в этом представлении зависит от времени через поля и^а(х), подчиняющиеся свободным ур-ниям и релятивистски-ковариантным перестановочным соотношениям (2); т.о., оказывается ненужным явное использование канонич. коммутаторов (1) для взаимодействующих полей. Для сравнения с опытом теория должна решить задачу о рассеянии частиц, в постановке к-рой принимается, что асимптотически, при t''-:(+:) система пребывала в стационарном состоянии (придёт в стационарное состояние) Ф__:(Ф_+:), причём Ф_b: таковы, что частицы в них не взаимодействуют из-за больших взаимных расстояний (см. также Адиабатическая гипотеза ),так что всё взаимное влияние частиц происходит только при конечных временах вблизи t=0 и преобразует Ф__: в Ф_+: = SФ__:. Оператор S наз. матрицей рассеяния (или S-матрицей); через квадраты его матричных элементов

выражаются вероятности переходов из данного нач. состояния Ф_i в нек-рое конечное состояние Ф_f, т. е. эфф. сечения разл. процессов. Т. о., S-матрица позволяет находить вероятности физ. процессов, не вникая в детали временной эволюции, описываемой амплитудой Ф(t). Тем не менее S-матрицу обычно строят, исходя из ур-ния (8), к-рое допускает формальное решение в компактном виде:
.
с помощью оператора Т хронологич. упорядочения, располагающего все операторы полей в порядке убывания времени t=x⁰ (см. Хронологическое произведение ).Выражение (10), однако, есть скорее символич. запись процедуры последоват. интегрирования ур-ния (8) от -: до +: по бесконечно малым интервалам времени (t, t+Dt), а не пригодное для использования решение. Это видно хотя бы из того, что для беспрепятственного вычисления матричных элементов (9) необходимо представить матрицу рассеяния в форме не хронологического, а нормального произведения, в к-ром все операторы рождения стоят слева от операторов уничтожения. Задача преобразования одного произведения в другое и составляет истинную трудность и в обшем виде решена быть не может.
4. Теория возмущений По этой причине для конструктивного решения задачи приходится прибегать к предположению о слабости взаимодействия, т. е. малости лагранжиана взаимодействия L_int. Тогда можно разложить хронологич. экспоненту в выражении (10) в ряд возмущений теории, и матричные элементы (9) будут в каждом порядке теории возмущений выражаться через матричные элементы не хронологич. экспоненты, а простых хронологич. произведений соответствующего числа лагранжианов взаимодействия:

(п - порядок теории возмущений), т. е. надо будет преобразовывать к нормальной форме не экспоненты, а простые полиномы конкретного вида. Эта задача практически выполняется с помощью техники Фейнмана диаграмм и Фейнмана правил. В фейнмановой технике каждое поле и^а(х)характеризуется своей причинной функцией Грина (пропагатором или функцией распространения), D_c^aa'(х-у), изображаемой на диаграммах линией, а каждое взаимодействие - константой связи и матричным множителем из соответствующего слагаемого в L_int, изображаемых на диаграмме вершиной. Популярность техники диаграмм Фейнмана, помимо простоты использования, обусловлена их наглядностью. Диаграммы позволяют как бы воочию представить процессы распространения (линии) и взаимопревращения (вершины) частиц - реальных в нач. и конечных состояниях и виртуальных в промежуточных (на внутренних линиях). Особенно простые выражения получаются для матричных элементов любого процесса в низшем порядке теории возмущений, к-рым соответствуют т. н. древесные диаграммы, не имеющие замкнутых петель,- после перехода к импульсному представлению в них вовсе не остаётся интегрирований. Для осн. процессов КЭД такие выражения для матричных элементов были получены на заре возникновения КТП в кон. 20-х гг. и оказались в разумном согласии с опытом (уровень соответствия 10^-2-10^-3, т. е. порядка постоянной тонкой структуры a). Однако попытки вычисления радиационных поправок (т. е. поправок, связанных с учётом высших приближений) к этим выражениям, напр., к Клейна - Нишины - Тамма ф-ле (см. Клейна - Нишины формула)для комптоновского рассеяния, наталкивались на специфич. трудности. Таким поправкам отвечают диаграммы с замкнутыми петлями из линий виртуальных частиц, импульсы к-рых не фиксированы законами сохранения, и полная поправка равна сумме вкладов от всех возможных импульсов. Оказалось, что в большинстве случаев возникающие при суммировании этих вкладов интегралы по импульсам виртуальных частиц расходятся в УФ-области, т. е. сами поправки оказываются не только не малыми, но бесконечными. По соотношению неопределённостей, большим импульсам отвечают малые расстояния. Поэтому можно думать, что физ. истоки расходимостей лежат в представлении о локальности взаимодействия. В этой связи можно говорить об аналогии с бесконечной энергией эл--магн. поля точечного заряда в классич. электродинамике.
5. Расходимости и перенормировки Формально математически появление расходимостей связано с тем, что пропагаторы D_c(x)являются сингулярными (точнее, обобщёнными) ф-циями, обладающими в окрестности светового конуса при x²~0 особенностями типа полюсов и дельта-функций по х². Поэтому их произведения, возникающие в матричных элементах, к-рым на диаграммах отвечают замкнутые петли, плохо определены с матем. точки зрения. Импульсные фурье-образы таких произведений могут не существовать, а - формально - выражаться через расходящиеся импульсные интегралы. Так, напр., фейнмановский интеграл
(где р - внеш. 4-импульс, k - импульс интегрирования), отвечающий простейшей однопетлевой диаграмме с двумя внутр. скалярными линиями (рис.), не существует.

Он пропорц. фурье-образу квадрата пропагатора D_c(x)скалярного поля и логарифмически расходится на верхнем пределе (т. е. в УФ-области виртуальных импульсов |k|'':, так что, напр., если обрезать интеграл на верхнем пределе при |k|=L, то

где I_кон(р) - конечное выражение.
Проблема УФ-расходимостей была решена (во всяком случае с точки зрения получения конечных выражений для большинства физически интересных величин) во 2-й пол. 40-х гг. на основе идеи о перенормировках (ренормировках). Суть последней состоит в том, что бесконечные эффекты квантовых флуктуации, отвечающих замкнутым петлям диаграмм, могут быть выделены в факторы, имеющие характер поправок к исходным характеристикам системы. В итоге массы и константы связи g меняются за счёт взаимодействия, т. е. перенормируются. При этом из-за УФ-расходимостей ренормирующие добавки оказываются бесконечно большими. Поэтому соотношения перенормировок

m₀''m=m₀ +Dm=m₀Z_m (. ..),

g₀''g = g₀+Dg = g₀Z_g(. ..)

(где Z_m, Z_g - факторы перенормировки), связывающие исходные, т. н. затравочные массы m₀ и затравочные заряды (т. е. константы связи) g₀ с физическими т, g, оказываются сингулярными. Чтобы не иметь дело с бессмысленными бесконечными выражениями, вводят ту или иную вспомогат. регуляризацию расходимостей (наподобие использованного в (13) обрезания при |k|=L. В аргументах (обозначенных в правых частях (14) многоточиями) радиац. поправок Dm, Dg, так же как и факторов перенормировок Z_i, помимо т₀ и g₀, содержатся сингулярные зависимости от параметров вспомогат. регуляризации. Устранение расходимостей происходит путём отождествления перенормированных масс и зарядов m и g с их физ. значениями. Практически для устранения расходимостей часто используют также приём введения в исходный лагранжиан контрчленов и выражают т₀ и g₀ в лагранжиане через физические m и g формальными соотношениями, обратными к (14). Разлагая (14) в ряды по физ. параметру взаимодействия:

т₀ = т + gM₁ + g²М₂+ ..., g₀ = g + g²G₁ + g³G₂+ ...,

подбирают сингулярные коэффициенты М_l, G_l т. о., чтобы в точности скомпенсировать расходимости, возникающие в фейнмановских интегралах. Класс моделей КТП, для к-рых такую программу можно последовательно провести во всех порядках теории возмущений и в к-рых, т. о., все без исключения УФ-расходимости удаётся "убрать" в факторы перенормировки масс и констант связи, наз. классом перенормируемых теорий. В теориях этого класса все матричные элементы и ф-ции Грина оказываются в результате выраженными несингулярным образом через физ. массы, заряды и кинематич. переменные. В перенормируемых моделях можно поэтому при желании совершенно абстрагироваться от затравочных параметров и УФ-расходимостей, рассматриваемых по отдельности, и полностью характеризовать результаты теоретич. расчётов заданием конечного числа физ. значений масс и зарядов. Матем. основу этого утверждения представляет Боголюбова - Парасюка теорема о перенормируемости. Из неё следует достаточно простая рецептура получения конечных однозначных выражений для матричных элементов, формализованная в виде т. н. R-операции Боголюбова. В то же время в неперенормируемых моделях, примером к-рых может служить теперь уже отошедшая в прошлое формулировка слабого взаимодействия в виде четырёхфермионного локального лагранжиана Ферми, не удаётся "собрать" все расходимости в "агрегаты", перенормирующие массы и заряды. Перенормируемые модели КТП характеризуются, как правило, безразмерными константами связи, логарифмически расходящимися вкладами в перенормировку констант связи и масс фермионов и квадратично расходящимися радиац. поправками к массам скалярных частиц (в случае их наличия). Для подобных моделей в итоге проведения процедуры перенормировки получают перенормированную теорию возмущений, к-рая и служит основой практич. расчётов. В перенормируемых моделях КТП важную роль играют перенормированные ф-ции Грина (одетые пропагаторы) и вершинные части, включающие в себя эффекты взаимодействия. Они могут быть представлены бесконечными суммами членов, отвечающих всё более усложняющимся диаграммам Фейнмана с фиксированным числом и типом внеш. линий. Для подобных величин можно дать формальные определения либо через вакуумные средние хронологич. произведений полевых операторов в представлении взаимодействия и S-матрицы (что эквивалентно вакуумным средним от T-произведений полных, т. е. гейзенберговых, операторов), либо через функциональные производные от производящего функционала Z(J), выражаемого через т.н. расширенную матрицу рассеяния S(J), функционально зависящую от вспомогат. классич. источников J_а(х)полей и^а(х). Формализм производящих функционалов в КТП является аналогом соответствующего формализма статистич. физики. Он позволяет получить для полных ф-ций Грина и вершинных ф-ций ур-ния в функциональных производных - Швингера уравнения ,из к-рых в свою очередь можно получить бесконечную цепочку интегродифференц. ур-ний - -Дайсона уравнений. Последние подобны цепочке ур-ний для корреляц. ф-ций статистич. физики.
6. УФ-асимптотики и ренормгруппа С УФ-расходимостями в КТП тесно связаны высокоэнергетич. асимптотики перенормированных выражений. Напр., логарифмич. расходимости (12) простейшего фейнмановского интеграла I(р)отвечает логарифмич. асимптотика

конечного регуляризованного интеграла (13), а также соответствующего перенормированного выражения. Поскольку в перенормируемых моделях с безразмерными константами связи расходимости имеют в основном логарифмич. характер, УФ-асимптотики l-петлевых интегралов, как правило (исключение представляет случай дважды логарифмической асимптотики), имеют здесь типичную структуру (gL)^l, где L = ln(- р²/m²), p - "большой" импульс, а m - нек-рый параметр размерности массы, возникающий в процессе перенормировки. Поэтому при достаточно больших значениях |р²| рост логарифма компенсирует малость константы связи g и возникает задача определения произвольного члена ряда вида

и суммирования такого ряда (a_lm - численные коэффициенты). Решение этих задач облегчается использованием метода ренормализационной группы, в основе к-рой лежит групповой характер конечных преобразований, аналогичных сингулярным ф-лам перенормировки (14) и сопровождающих их преобразований ф-ций Грина. Этим путём удаётся эффективно просуммировать нек-рые бесконечные наборы вкладов фейнмановских диаграмм и, в частности, представить двойные разложения (15) в виде одинарных:

где ф-ции f_l имеют характерный вид геом. прогрессии или комбинации прогрессии с её логарифмом и экспонентой. Весьма существенным здесь оказывается то, ято условие применимости ф-л типа (15), имеющее вид g<<1, gL<<1, заменяется на значительно более слабое: - т. н. инвариантный заряд ,к-рый в простейшем (однопетлевом) приближении имеет вид суммы геом. прогрессии по аргументу gL: (b₁ - численный коэф.). Напр., в КЭД инвариантный заряд пропорциональный поперечной части фотонного пропагатора d, в однопетлевом приближении оказывается равным

причём при k²/m²>0 L=ln(k²/m²)+ip (k - 4-импульс виртуального фотона). Это выражение, представляющее собой сумму гл. логарифмов вида a(aL)ⁿ, обладает т. н. призрачным полюсом при k²=-m²е^3p/a, называемым так потому, что его положение и особенно знак вычета противоречат ряду общих свойств КТП (выражаемых, напр., спектральным представлением для фотонного пропагатора). С наличием этого полюса тесно связана проблема т. н. нуля-заряда ,т. е. обращения перенормированного заряда в нуль при конечном значении "затравочного" заряда. Трудность, связанная с появлением призрачного полюса, иногда трактовалась даже как доказательство внутр. противоречивости КЭД, а перенос этого результата на традиц. перенормируемые модели сильного взаимодействия адронов - как указание на противоречивость всей локальной КТП в целом. Однако такие кардинальные заключения, сделанные на основе ф-л гл. логарифмич. приближения, оказались поспешными. Уже учёт "следующих за главными" вкладов ~a²(aL)^m, приводящий к ф-ле двупетлевого приближения, показывает, что положение полюса заметно сдвигается. Более общий анализ в рамках метода ренормализац. группы приводит к заключению о применимости ф-лы (16) лишь в области т. е. о невозможности доказать или опровергнуть существование "полюсного противоречия" на основе того или иного пересуммирования ряда (15). Т. о., парадокс феномена призрачного полюса (или обращения перенормированного заряда в нуль) оказывается призрачным - решить, действительно ли эта трудность появляется в теории, можно было бы только в случае, если бы мы умели получать недвусмысленные результаты в области сильной связи До тех пор остаётся лишь тот вывод, что - в применении к спинорной КЭД - теория возмущений пе является, несмотря на безусловную малость параметра разложения a, логически замкнутой теорией. Для КЭД, впрочем, эту проблему можно было считать чисто академической, поскольку, согласно (16), даже при гигантских энергиях ~(10¹⁵-10¹⁶) ГэВ, рассматриваемых в совр. моделях объединения взаимодействий, условие не нарушается. Гораздо серьёзнее выглядело положение в квантовой мезодинамике - теории взаимодействия псевдоскалярных мезонных полей с фермионными полями нуклонов, представлявшейся к нач. 60-х гг. единств. кандидатом на роль перенормируемой модели сильного взаимодействия. В ней эффективная константа связи была велика при обычных энергиях, а - явно неправомочное - рассмотрение по теории возмущений приводило к тем же трудностям нуль-заряда. В результате всех описанных исследований сложилась несколько пессимистич. точка зрения на дальнейшие перспективы перенормируемых КТП. С чисто теоретич. точки зрения казалось, что качеств. разнообразие таких теорий ничтожно: для любой перенормируемой модели все эффекты взаимодействия - для малых констант связи и умеренных энергий - ограничивались ненаблюдаемым изменением характеристик свободных частиц и тем, что между состояниями с такими частицами возникали квантовые переходы, к вероятностям низшего приближения к-рых теперь можно было вычислять (малые) поправки высших. К большим же константам связи или асимптотически большим энергиям имевшаяся теория - опять независимо от конкретной модели - была неприменима. Единственным (правда блестящим) удовлетворяющим этим ограничениям приложением к реальному миру оставалась КЭД. Такое положение способствовало развитию негамильтоновых методов (таких, как аксиоматическая квантовая теория поля, алгебраический подход в КТП, конструктивная квантовая теория поля). Большие надежды возлагались на дисперсионных соотношений метод и исследование аналитич. свойств S-матрицы. Мн. исследователи стали искать выхода из трудностей на путях ревизии осн. положений локальной перенормирусмой КТП с помощью развития неканонич. направлений: существенно нелинейных (т. е. неполиномиальных), нелокальных, недефинитных (см. Неполиномиальные квантовые теории поля, Нелокальная квантовая теория поля, Индефинитная метрика)и т. п. Источником новых взглядов на общее положение в КТП явилось открытие новых теоретич. фактов, связанных с неабелевыми калибровочными полями. 7. Калибровочные поля Калибровочные поля (в том числе неабелевы Янга - Миллса поля)связаны с инвариантностью относительно нек-рой группы G локальных калибровочных преобразований. Простейшим примером калибровочного поля служит эл--магн. поле A_m в КЭД, связанное с абелевой группой U(l). В общем случае ненарушенной симметрии поля Янга - Миллса имеют, как и фотон, нулевую массу покоя. Они преобразуются по присоединённому представлению группы G, несут соответствующие индексы B^ab_m(x) и подчиняются нелинейным ур-ниям движения (линеаризующимся только для абелевой группы). Их взаимодействие с полями материи будет калибровочно инвариантным, если получать его удлинением производных (см. Ковариантная производная): в свободном лагранжиане поля и с той же безразмерной константой g, к-рая входит в лагранжиан поля В. Подобно эл--магн. полю, поля Янга - Миллса являются системами со связями. Это, как и видимое отсутствие в природе безмассовых векторных частиц (помимо фотонов), ограничивало интерес к таким полям, и более 10 лет их рассматривали скорее как изящную модель, не имеющую отношения к реальному миру. Положение изменилось ко 2-й пол. 60-х гг., когда их удалось проквантовать методом функционального интегрирования (см. Функционального интеграла метод)и выяснить, что как чистое безмассовое поле Янга - Миллса, так и поле, взаимодействующее с фермионами, перенормируемы. Вслед за тем был предложен способ "мягкого" введения масс в эти поля с помощью эффекта спонтанного нарушения симметрии. Основанный на нём Хиггса механизм позволяет сообщить массу квантам полей Янга - Миллса, не нарушая перенормируемости модели. На этой основе в кон. 60-х гг. была построена единая перенормируемая теория слабого и эл--магн. взаимодействий (см. Электрослабое взаимодействие ),в к-рой переносчиками слабого взаимодействия выступают тяжёлые (с массами ~ 80-90 ГэВ) кванты векторных калибровочных полей группы электрослабой симметрии (промежуточные векторные бозоны W⁶ и Z⁰, экспериментально наблюдённые в 1983). Наконец, в нач. 70-х гг. было обнаружено замечат. свойство неабелевых КТП - асимптотическая свобода .Оказалось, что, в отличие от всех до сих пор исследованных перенормируемых КТП, для поля Янга - Миллса, как чистого, так и взаимодействующего с огранич. числом фермионов, гл. логарифмич. вклады в инвариантный заряд имеют суммарный знак, противоположный знаку таких вкладов в КЭД:

Поэтому в пределе |k²|'': инвариантный заряд и при переходе к УФ-пределу трудностей не возникает. Этот феномен самовыключения взаимодействия на малых расстояниях (асимптотич. свобода) позволил естественно объяснить в калибровочной теории сильного взаимодействия - квантовой хромодинамике (КХД) партонную структуру адронов (см. Партоны ),проявившуюся к тому времени в опытах по глубоко неупругому рассеянию электронов на нуклонах (см. Глубоко неупругие процессы). Симметрийной основой КХД является группа SU(3)_с, действующая в пространстве т. н. цветовых переменных. Ненулевые цветовые квантовые числа приписывают кваркам и глюонам. Специфика цветных состояний - их ненаблюдаемость на асимптотически больших пространственных расстояниях. В то же время явно проявляющиеся на опыте барионы и мезоны являются синглетами цветовой группы, т. е. их векторы состояния не изменяются при преобразованиях в цветовом пространстве. При обращении знака b [ср. (17) с (16)] трудность призрачного полюса переходит от больших энергий к малым. Пока не известно, что даёт КХД для обычных энергий (порядка масс адронов),- существует гипотеза, что с ростом расстояния (т. е. с уменьшением энергии) взаимодействие между цветными частицами растёт столь сильно, что именно оно не позволяет кваркам и глюонам разойтись на расстояние /10^-13 см (гипотеза невылетания, или конфайпмента; см. Удержание цвета ).Исследованию этой проблемы уделяется очень большое внимание. Т. о., изучение квантовополевых моделей, содержащих поля Янга - Миллса, выяснило, что перенормируемые теории могут обладать неожиданным богатством содержания. В частности, произошло разрушение наивной веры в то, что спектр взаимодействующей системы качественно аналогичен спектру свободной и отличается от него только сдвигом уровней и, возможно, появлением небольшого числа связанных состояний. Оказалось, что спектр системы с взаимодействием (адроны) может не иметь ничего общего со спектром свободных частиц (кварков и глюонов) и поэтому может даже не давать никаких указаний на то. поля каких сортов надо включать в элементарный микроскопич. лагранжиан. Установление этих важнейших качеств. особенностей и проведение подавляющей части количеств. расчётов в КХД основаны на комбинации вычислений по теории возмущений с требованием ренормгрупповой инвариантности. Иными словами, метод ренорм-группы стал, наряду с перенормированной теорией возмущений, одним из основных расчётных средств совр. КТП. Др. метод КТП, получивший значит. развитие с 70-х гг., особенно в теории неабелевых калибровочных полей,- это, как уже отмечалось, метод, использующий метод функционального интеграла и являющийся обобщением на КТП квантовомеханич. метода интегралов по путям. В КТП такие интегралы можно рассматривать как ф-лы усреднения соответствующих классич. выражений (напр., классич. ф-ции Грина для частицы, движущейся в заданном внеш. поле) по квантовым флуктуациям полей. Первоначально идея перенесения метода функционального интеграла в КТП была связана с надеждой получить компактные замкнутые выражения для осн. квантовополевых величин, пригодные для конструктивных вычислений. Однако выяснилось, что из-за трудностей матем. характера строгое определение можно дать лишь интегралам гауссова типа, к-рые только и поддаются точному вычислению. Поэтому представление функционального интеграла долгое время рассматривали как компактную формальную запись квантовополевой теории возмущений. Позднее (отвлекаясь от математич. проблемы обоснования) стали использовать это представление в разл. задачах общего характера. Так, представление функционального интеграла сыграло важную роль в работах по квантованию полей Янга - Миллса и доказательству их перенормируемости. Интересные результаты были получены с помощью развитой несколько ранее для задач квантовой статистики процедуры вычисления функционального интеграла функционального перевала методом ,аналогичным методу перевала в теории ф-ций комплексного переменного. Для ряда достаточно простых моделей с помощью этого метода было выяснено, что квантовополевые величины, рассматриваемые как ф-ции константы связи g, имеют вблизи точки g=0 особенность характерного типа ехр( - 1/g) и что (в полном соответствии с этим) коэффициенты f_n степенных разложений Sf_ngⁿ теории возмущений растут при больших п факториально: f_n~n!. Тем самым была конструктивно подтверждена высказанная ещё в нач. 50-х гг. гипотеза о неаналитичности теории по заряду. Важную роль в этом методе играют аналитич. решения нелинейных классич. ур-ний, имеющие локализованный характер (солитоны и - в евклидовом варианте - инстантоны) и доставляющие минимум функционалу действия. Во 2-й пол. 70-х гг. в рамках метода функционального интегрирования возникло направление исследований неабелевых калибровочных полей с помощью т. н. контурной динамики, в к-poii в качестве аргументов вместо четырёхмерных точек х рассматриваются замкнутые контуры Г в пространстве-времени. Таким путём удаётся на единицу уменьшить размерность множества независимых переменных и в ряде случаев значительно упростить формулировку квантовополевой задачи (см. Контурный подход). Успешные исследования были выполнены с помощью численного вычисления на ЭВМ функциональных интегралов, приближённо представленных в виде повторных интегралов высокой кратности. Для такого представления вводят дискретную решётку в исходном пространстве конфигурационных или импульсных переменных. Подобные, как их называют, "вычисления на решётке" для реалистич. моделей требуют использования ЭВМ особо большой мощности, вследствие чего они только начинают становиться доступными. Здесь, в частности, методом Монте-Карло был проведён обнадёживающий расчёт масс и аномальных магн. моментов адронов на основе квантовохромодинамич. представлений (см. Решётки метод).
8. Общая картина Развитие новых представлений о мире частиц и их взаимодействий всё более выявляет две осн. тенденции. Это, во-первых, постепенный переход ко всё более опосредствованным концепциям и всё менее наглядным образам: локальная калибровочная симметрия, императив перенормируемости, представление о нарушенных симметриях, а также о спонтанном нарушении симметрии, кварки и глюоны вместо реально наблюдаемых адронов, ненаблюдаемое квантовое число цвет и т. п. Во-вторых, наряду с усложнением арсенала используемых приёмов и понятий наблюдается несомненное проявление черт единства принципов, лежащих в основе явлений, казалось бы, весьма далёких друг от друга, и как следствие этого, значит. упрощение общей картины. Три осн. взаимодействия, изучаемых с помощью методов КТП, получили параллельную формулировку, основанную на принципе локальной калибровочной инвариантности. Связанное с этим свойство перенормируемости даёт возможность количеств. расчёта эффектов эл--магн., слабого и сильного взаимодействий методом теории возмущений. (Поскольку гравитац. взаимодействие также может быть сформулировано на основе этого принципа, то он, вероятно, является универсальным.) С практич. точки зрения вычисления по теории возмущений уже давно зарекомендовали себя в КЭД (напр., степень соответствия теории эксперименту для аномального магнитного момента электрона Dm составляет Dm/m₀~10^-10, где m₀ - магнетон Бора). В теории электрослабого взаимодействия такие расчёты также оказались обладающими замечательной лредсказат. силой (напр., были правильно предсказаны массы W⁶- и Z⁰-бозонов). Наконец, в КХД в области достаточно высоких энергий и передач 4-импульса Q (|Q|²/ 100 ГэВ²) на основе перенормируемой теории возмущений, усиленной методом ренормализац. группы, удаётся количественно описать широкий круг явлений физики адронов. В силу недостаточной малости параметра разложения: точность расчётов здесь не очень высока. В целом можно сказать, что, вопреки пессимизму кон. 50-х гг., метод перенормированной теории возмущений оказался плодотворным, по крайней мере для трёх из четырёх фундам. взаимодействий. В то же время следует отметить, что наиб. существенный прогресс, достигнутый в основном в 60-80-х гг., относится именно к пониманию механизма взаимодействия полей (и частиц). Успехи в наблюдении свойств яастиц и резонансных состояний дали обильный материал, к-рый привёл к обнаружению новых квантовых чисел (странности, очарования и т. п.) и к построению отвечающих им т. н. нарушенных симметрии и соответствующих систематик частиц. Это, в свою очередь, дало толчок поискам субструктуры многочисл. адронов и в конечном счёте - созданию КХД. В итоге такие "элементарные частицы 50-х гг.", как нуклоны и пионы, перестали быть элементарными и появилась возможность определения их свойств (значений масс, аномальных магн. моментов и т. д.) через свойства кварков и параметры кварк-глюонного взаимодействия. Иллюстрацией этому служит, напр., степень нарушенности изотопич. симметрии, проявляющейся в разности масс DM заряж. и нейтральных мезонов и барионов в одном изотопич. мультиплете (напр., р и n; Взамен первоначального, с совр. точки зрения наивного, представления о том, что эта разность (в силу численного соотношения DM/М~ a) имеет эл--магн. происхождение, пришло убеждение, что она обусловлена разностью масс и- и d-кварков. Однако даже в случае успеха количеств. реализации этой идеи вопрос не решается полностью - он лишь отодвигается вглубь с уровня адронов на уровень кварков. Подобным же образом трансформируется формулировка старой загадки мюона: "Зачем нужен мюон и почему он, будучи аналогичен электрону, в двести раз его тяжелее?". Этот вопрос, перенесённый на кварк-лептонный уровень, приобрёл большую общность и относится уже не к паре, а к трём поколениям фермионов, однако не изменил своей сущности. 9. Перспективы и проблемы Большие надежды возлагались на программу т. н. великого объединения взаимодействий - объединения сильного взаимодействия КХД с электрослабым взаимодействием при энергиях порядка 10¹⁵ ГэВ и выше. Отправной точкой здесь является (теоретическое) наблюдение того факта, что экстраполяция в область сверхвысоких энергий ф-лы (17) асимптотич. свободы для хромодинамич. константы связи и ф-лы типа (16) для инвариантного заряда КЭД приводит к тому, что эти величины при энергиях порядка |Q|= M_X ~10¹⁵b¹ ГэВ сравниваются друг с другом. Соответствующие значения (а также значение второго заряда теории электрослабого взаимодействия ) оказываются равными Фундам. физ. гипотеза состоит в том, что это совпадение не является случайным: в области энергий, больших M_X, имеется нек-рая высшая симметрия, описываемая группой G, к-рая при меньших энергиях расщепляется до наблюдаемых симметрии за счёт массовых членов, причём нарушающие симметрии массы имеют порядок M_X. Относительно структуры объединяющей группы G и характера нарушающих симметрию членов могут быть сделаны разл. предположения [наиб. простой вариант отвечает G=SU(5)], однако с качеств. точки зрения наиб. важной чертой объединения является то, что фундам. представление (представление - столбец) группы G объединяет в себе кварки и лептоны из фундам. представлений групп SU(3)_c и SU(2), вследствие чего при энергиях выше M_X кварки и лептоны становятся "равноправными". Механизм локального калибровочного взаимодействия между ними содержит векторные поля в присоединённом представлении (представлении - матрице) группы G, кванты к-рых наряду с глюонами и тяжёлыми промежуточными бозонами электрослабого взаимодействия содержат новые векторные частицы, связывающие между собой лептоны и кварки. Возможность превращения кварков в лептоны приводит к несохранению барионного числа. В частности, оказывается разрешённым распад протона, напр., по схеме р''е⁺+p⁰. Следует отметить, что программа великого объединения столкнулась с рядом трудностей. Одна из них имеет чисто теоретич. характер (т. н. проблема иерархии - невозможность поддержания в высших порядках теорий возмущений несоизмеримых масштабов энергий M_X ~10¹⁵ ГэВ и M_W ~10² ГэВ). Др. трудность связана с несовпадением эксперим. данных по распаду протона с теоретич. предсказаниями. Весьма обещающее направление развития совр. КТП связано с суперсимметрией, т. е. с симметрией относительно преобразований, "перепутывающих" между собой бозонные поля j (х) (целого спина) с фермионными полями y(x) (полуцелого спина). Эти преобразования образуют группу, являющуюся расширением группы Пуанкаре. Соответствующая алгебра генераторов группы, наряду с обычными генераторами группы Пуанкаре, содержит спинорные генераторы, а также антикоммутаторы этих генераторов. Суперсимметрию можно рассматривать как нетривиальное объединение группы Пуанкаре с внутр. симметриями, объединение, ставшее возможным благодаря включению в алгебру антикоммутирующих генераторов. Представления группы суперсимметрии - суперполя Ф - заданы на суперпространствах, включающих помимо обычных координат х особые алгебраич. объекты (т. н. образующие Грассмана алгебры с инволюцией) - точно антикоммутирующие между собой элементы, являющиеся спинорами относительно группы Пуанкаре. В силу точной антикоммутативности все степени их компонент, начиная со второй, обращаются в нуль (соответствующая грассманова алгебра наз. нильпотентной), и поэтому разложения суперполей в ряды по превращаются в многочлены. Напр., в простейшем случае кирального (или аналитического) суперполя, зависящего в определ. базисе только от q,

(s - матрица Паули) будет:

Коэффициенты А(х), y_a(х), F(x) являются уже обычными квантовыми полями - скалярным, спинорным и т. д. Их наз. компонентными или составляющими полями. С точки зрения компонентных полей суперполе - это просто составленный по определ. правилам набор конечного числа разных бозе- и ферми-полей с обычными правилами квантования. При построении суперсимметричных моделей требуют, чтобы взаимодействия также были инвариантны относительно преобразований суперсимметрии, т. е. представляли собой суперинвариантные произведения суперполей в целом. С обычной точки зрения это означает введение целой серии взаимодействий компонентных полей, взаимодействий, константы к-рых не произвольны, а жёстко связаны друг с другом. Это открывает надежду на точную компенсацию - всех или хотя бы нек-рых - УФ-расходимостей, происходящих от разных членов взаимодействия. Подчеркнём, что попытка реализовать такую компенсацию просто для набора полей и взаимодействий, не ограниченных групповыми требованиями, была бы бесперспективной из-за того, что раз установленная компенсация разрушалась бы при перенормировках. Особенно интересными оказываются суперсимметричные модели, содержащие в качестве составляющих неабелевы калибровочные векторные поля. Такие модели, обладающие как калибровочной симметрией, так и суперсимметрией, наз. суперкалибровочными. В суперкалибровочных моделях наблюдается замечат. факт сокращения УФ-расходимостей. Обнаружены модели, в к-рых лагранжиан взаимодействия, будучи выражен через компонентные поля, представляется суммой выражений, каждое из к-рых по отдельности является перенормируемым и генерирует теорию возмущений с логарифмич. расходимостями, однако расходимости, отвечающие сумме диаграмм Фейнмана с вкладами разл. членов виртуального суперполя, компенсируют друг друга. Это свойство полного сокращения расходимости может быть поставлено в параллель известному факту понижения степени УФ-расходимости собств. массы электрона в КЭД при переходе от первоначальных нековариантных вычислений конца 20-х гг. к фактически ковариантной теории возмущений, учитывающей позитроны в промежуточных состояниях. Аналогия усиливается возможностью использования суперсимметричных правил Фейнмана, когда такие расходимости не появляются вовсе. Полное сокращение УФ-расходимостей в произвольных порядках теории возмущений, установленное для ряда суперкалибровочных моделей, породило надежду на теоретич. возможность суперобъединения фундам. взаимодействий, т. е. такого, построенного с учётом суперсимметрии, объединения всех четырёх взаимодействий, включая гравитационное, при к-ром не только исчезнут неперенормируемые эффекты "обычной" квантовой гравитации, но и полностью объединённое взаимодействие окажется свободным от УФ-расходимостей. Физ. ареной суперобъединений являются масштабы порядка планковских (энергии ~10¹⁹ ГэВ, расстояния порядка планковской длины R_Pl~10^-33 см). Для реализации этой идеи рассматривают суперкалибровочные модели, базирующиеся на суперполях, устроенных таким образом, что макс. спин составляющих их обычных полей равен двум. Соответствующее поле отождествляют с гравитационным. Подобные модели наз. супергравитационными (см. Супергравитация ).Совр. попытки построения конечных супер гравитаций используют представления о пространствах Минковского с числом измерений, большим четырёх, а также о струнах и суперструнах. Иными словами, "привычная" локальная КТП на расстояниях, меньших планковских, превращается в квантовую теорию одномерных протяжённых объектов, вложенных в пространства высшего числа измерений. В том случае, если такое суперобъединение на базе супергравитац. модели, для к-рой будет доказано отсутствие УФ-расходимостей, произойдет, то будет построена единая теория всех четырёх фундам. взаимодействий, свободная от бесконечностей. Тем самым окажется, что УФ-расходимости не возникнут вообще и весь аппарат исключения расходимостей методом перенормировок окажется ненужным. Что касается природы самих частиц, то не исключено, что теория приближается к новому качеств. рубежу, связанному с возникновением представлений об уровне элементарности более высоком, чем кварк-лептонный уровень. Речь идёт о группировке кварков и лептонов в поколения фермионов и первых попытках постановки вопроса о разных масштабах масс различных поколений на основе предсказания существования частиц, более элементарных, чем кварки и лептоны. Лит.: Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б., Квантовая электродинамика, 4 изд., М., 1981; Боголюбов Н. Н., III и р к о в Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., М., 1984; их же, Квантовые поля, М., 1980; Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П., Квантовая электродинамика, 2 изд., М., 1980; Вайскопф В. Ф., Как мы взрослели вместе с теорией поля, пер. с англ., "УФН", 1982, т. 138, с. 455; И ц и к с о н К., 3 ю б е р Ж--Б., Квантовая теория поля, пер. с англ., т. 1-2, М., 1984; Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т., Общие принципы квантовой теории поля, М., 1987. Б. В. Медведев, Д. В. Ширков.

   <<      Предметный указатель      >>