кинетическая теория газов

Молекулы в газах движутся почти свободно в промежутках между столкновениями, приводящими к резкому изменению их скоростей. Время столкновения значительно меньше ср. времени пробега молекул газа между столкновениями, поэтому теория неравновесных процессов в газах значительно проще, чем в жидкостях или твёрдых телах. Наблюдаемые физ. характеристики газа представляют собой результат усреднённого движения всех его молекул. Для вычисления этих характеристик нужно знать распределение молекул газа по скоростям и пространств, координатам, т. е. знать ф-цию распределения . Произведение определяет вероятное число молекул, находящихся в момент времени t в элементе объёма dr=dxdydz около точки r и обладающих скоростями в пределах = вблизи значения . Плотность п частпц газа в точке r в момент t равна

Осн. задача К. т. г.- определение явного вида ф-ции , поскольку она позволяет вычислить ср. значения величин, определяющих состояние газа, и процессы переноса энергии, импульса и концентрации частиц, к-рые могут в нём происходить. Например, - средняя скорость молекул газа, а - средний квадрат их скорости.

Для газа, подчиняющегося классич. механике, в состоянии статистич. равновесия ф-ция / представляет собой Максвелла распределение:

где m - масса молекулы, Т - абс. темп-pa. В этом случае ,

Процессы переноса энергии, импульса и концентрации молекул в смесях происходят гл. обр. благодаря парным столкновениям молекул. Вероятное число парных столкновений молекул со скоростями в пределах и около значений скоростей в единицу времени равно:

где - дифференц. эфф. сечение рассеяния молекул в телесный уголв лаб. системе координат, зависящее от модуля их относит. скорости и угла между относит. скоростью и линией, соединяющей центры молекул в момент их наиб. сближения. Для модели молекул в виде упругих сфер , где d - диаметр молекул. Выражение (2) для числа столкновений основано на "гипотезе молекулярного хаоса", т. е. на предположении об отсутствии корреляции между скоростями сталкивающихся молекул, что справедливо для газов малой плотности.

Большую роль в К. т. г. играет ср. длина свободного пробега молекул l, т. е. расстояние, к-рое прошла бы молекула за ср. время между столкновениями, двигаясь со ср. скоростью, , где . Можно также определить l как ср. расстояние между двумя последо-ват. столкновениями. В этом случае сначала вычисляют длину пробега с данной скоростью, а затем её усредняют по скоростям. Для газа с молекулами в виде упругих сфер по 1-му определению а по 2-му

Элементарная теория явлений переноса основана на понятии ср. длины свободного пробега и позволяет оценить по порядку величины все кинетические коэффициенты .Рассматривая перенос импульса, энергии, концентрации компонентов через единичную площадку в газе, можно соответственно получить значения коэф. вязкости , теплопроводности и взаимной диффузии D₁₂ двух компонентов газовой смеси:

где С_V - теплоёмкость при пост. объёме, - тп - плотность газа, a, , а₁, а₂ - численные коэф. ~1. Последоват. К. т. г. основана на решении кинетического уравнения Болъцмана для ф-ции f, к-рое следует из баланса числа молекул в элементе фазового объёма с учётом (2):

где F - сила, действующая на молекулу с массой m, - скорости молекул до столкновения, - скорости молекул после столкновения; правая часть (3) наз. интегралом столкновений.

С помощью ур-ния (3) можно решить все осн. задачи К. т. г., т. е. получить ур-ния переноса импульса, энергии и концентрации компонентов смеси (ур-ния Навье-Стокса, ур-ния теплопроводности и диффузии) и вычислить входящие в них кинетич. коэф.

Из ур-ния (3) следует Болъцмана Н-теорема, согласно к-рой , где - H-функция

Больцмана. Для распределения Максвелла =0. H-функция Больцмана пропорц. энтропии, S=-kH, следовательно, убывание Н означает возрастание энтропии.

При решении кинетич. ур-ния исходят из определ. модельных представлений о взаимодействии молекул. В простейшей модели жёстких упругих молекул при столкновении не происходит передачи момента импульса и изменения эфф. размера молекул. Более реалистична модель, в к-рой молекулы рассматривают как центры сил с потенциалом(r₁-r₂). Дифференц. эфф. сечение в (3) выражают через параметры столкновения классич. механики: (b - прицельное расстояние, - азимутальный угол линии центров). Для берут обычно ф-ции простого вида, напр. = = (d/r)P (p - показатель отталкивания). Эта модель допускает сжимаемость молекулы. Для большинства реальных газов р принимает значения между р=9 (мягкие молекулы) и р=15 (жёсткие молекулы). В частном случае р=4 (максвелловские молекулы) решение кинетич. ур-ния сильно упрощается, т. к. можно найти собств. ф-ции линеаризованного интеграла столкновений, и первое приближение для коэф. переноса совпадает с точным значением. Для учёта эффектов притяжения и отталкивания используют модель, в к-рой отталкивание описывается потенциалом твёрдых сфер, а притяжение - степенным законом. Довольно реалис-тич. форму имеет потенциал Ленард-Джонса

Поскольку в ур-ние (3) взаимодействие входит только через эфф. сечение рассеяния, часто берут для него выражение, полученное в квантовой механике.

Для решения ур-ния (3) разработаны разл. методы, напр. метод Чепмена - Энскога, основанный на получении решений, зависящих от времени лишь через ср. плотность частиц n(r, t), ср. гидродинамич. скорость u( r, t)и темп-ру Т(r, t), т. е. пять первых моментов ф-ции f. Эти решения близки к локально-равновесному распределению Максвелла (1):

к-рое обращает в нуль интеграл столкновений в кинетич. ур-нии и поэтому для слабо неоднородного газа может служить нулевым приближением для его решения. Ф-ции n(r, t), Т(r, t), и(r, t)определяют из условия совпадения ср. значений плотности частиц, ср. скорости, ср. квадрата скорости (кинетич. энергии), вычисленных с помощью ф-ции (4) и ф-ции f, являющейся решением ур-ния (3).

Для слабо неоднородного газа в первом приближении решение ур-ния (3) имеет вид f=f₀(1+Ф), где Ф удовлетворяет интегральному ур-нию

в к-ром проводится суммирование по повторяющимся индексам;

- линеаризованный интеграл столкновений, - единичный тензор.

Из условия разрешимости (5) следует, что

векторная и тензорная ф-ции А_i (с), В_ij(с)определяют неравновесные поправки к тензору напряжений р_ij и потоку тепла q и, следовательно, коэф. вязкости и теплопроводности :

т. н. интегральные с к о бки (для [B_ij,B_ij] -аналогично). Для вычисления обычно выбирают для А (с)и В (с)пробную конечную комбинацию ортогональных полиномов и используют вариац. принцип минимальности производства энтропии.

Первое приближение для даёт выражения:

- величина, пропорциональная зависящему от времени эфф. сечению рассеяния для данного типа взаимодействия,

- транспортное сечение рассеяния, где - угол рассеяния, g - безразмерная относит. скорость. Для модели упругих шаров

Для газовой смеси вводят ф-ции распределения для каждой из компонент и получают систему кинетич. ур-ний. В этом случае решения для ф-ций распределения f_k содержат дополнит. член D_k(c)grad n_k, где D_k (с)определяют диффузионные потоки и, следовательно, коэф. диффузии.

В ионизованных газах ионы и электроны взаимодействуют по закону Кулона , в сферу эфф. взаимодействия попадает много частиц и концепция парных столкновений, строго говоря, не применима. Однако п в этом случае для вычисления можно использовать кинетич. ур-ние, если учесть, что гл. роль играют столкновения с большим прицельным расстоянием (малой передачей импульса) и имеет место экранирование кулоновского взаимодействия.

В кинетич. теории квантовых газов нужно учитывать изменения, связанные со статистикой частиц. Если газ подчиняется квантовой статистике, то вероятность столкновения будет зависеть не только от заполнения состояний сталкивающихся частиц, но и от заполнения состояний, в к-рые частицы переходят. Для квантовых газов интегралы столкновений содержат множители

здесь верх, знак относится к Ферми - Дирака статистике, а нижний - к Бозе - Эйнштейна статистике. Лит.: Боголюбов Н. Н., Проблемы динамической теории в статистической физике, М--Л., 1946, его же, Избр. труды по статистической физике, М., 1979; Б о л ь ц-м а н Л., Лекции по теории газов, пер. с-нем., М., 1953; Ч е п-м е н С., К а у л и н г Т., Математическая теория неоднородных газов, пер. с англ., М., 1960; Коган М. Н., Динамика разреженного газа, М., 1967; Силин В. П., Введение в кинетическую теорию газов, М., 1971; Л и б о в Р., Введение в теорию кинетических уравнений, пер. с англ., М., 1974; Климонтович Ю. Л., Кинетическая теория неидеального газа и неидеальной плазмы, М., 1975; Ферцигер Д ж.. Капер Г., Математическая теория процессов переноса в газах, пер. с англ., М., 1976; Черчиньяни К., Теория и приложения уравнения Больцмана, пер. с англ., М., 1978; Л и ф ш и ц Е. М., Питаевский Л. П., Физическая кинетика, М., 1979. Д. Н. Зубарев.

   <<      Предметный указатель      >>