ковариантная производная

КОВАРИАНТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ - обобщение градиента в случае криволинейных координат и неевклидовой геометрии. Градиент тензора типа (р, q)есть тензор типа (р, q+1) относительно линейных замен координат. Для общих замен координат с тензором типа (р, q+1) будет К. п.

где Кристоффеля символы определяются ф-лами преобразования

и наз. коэффициентами (дифференциально-геометрической) связности. В частности, для ковариантного Т^k и контравариантного Т_i векторов К. п. имеет вид

Для обозначения К. п. используют иногда символ . К. п. удобно ввести тогда, когда явный вид преобразования объекта зависит от точки; отличие К. п. от градиента сосредоточено в связности и компенсирует изменения вида преобразования при переходе от точки к точке. Вообще говоря, К. п. некоммутативны, мерой некоммутативности служат кривизны тензор и тензор кручения. Впервые К. п. введены в кон. 19-нач. 20 вв. в работах Дж. Риччи (G. Ricci) и Т. Леви-Чивиты (Т. Levi-Civita).

К. п.- существенное понятие в римановой геометрии и общей теории относительности, где с её помощью определяются геодезическая линия ,параллельный перенос и кривизны тензор. Важную роль играет К. п. в теориях калибровочных полей, электродинамике, теории Янга - Миллса полей и т. д. Напр., в электродинамике эл--магн. и заряж. поля описываются комплексными ф-циями , наблюдаемые величины не меняются при калибровочных преобразованиях

а веществ. ф-ция служит координатой в зарядовом пространстве. С точки зрения геометрии обычное и зарядовое пространства образуют расслоение: его базой служит обычное пространство, а слоем над каждой точкой базы - одномерное зарядовое пространство с координатой . Образующие группу калибровочные преобразования действуют в слоях и сводятся к сдвигам координаты. Введение К. п. компенсирует зависимость вида преобразования от точки базы: преобразуется так же, как При этом эл--магн. поле является связностью в расслоении.

Лит.: Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Схоутен Я. - А., Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965; С л а в-н о в А. А., Фаддеев Л. Д., Введение в квантовую теорию калибровочных полей, 2 изд., М., 1988; Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., М., 1986. В. П. Павлов.

   <<      Предметный указатель      >>