конструктивная квантовая теория поля

КОНСТРУКТИВНАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ (ККТП) - направление квантовой теории поля (КТП), осн. задача к-рого состоит в строгом матем. обосновании результатов, получаемых в КТП. В отличие от аксиоматической квантовой теории поля (АКТП), ККТП призвана ответить на вопрос, существуют ли в матем. смысле нетривиальные квантованные поля для обычно рассматриваемых взаимодействий и удовлетворяют ли они осн. аксиомам КТП и АКТП. В задачу ККТП входит реальное построение таких полей, изучение матем. свойств и разл. квантовополевых объектов, связанных с этими полями, и выяснение физ. содержания рассматриваемой конкретной модели КТП.

ККТП как самостоятельный раздел КТП возникла в нач. 60-х гг. и связана с именем А. С. Уайтмена (A. S. Wightman), к-рый сформулировал её осн. задачу. Вторым этапом развития ККТП можно считать 2-ю пол. 60-х - нач. 70-х гг. [Дж. Глимм (J. Glimm), А. Джаффе (A. Jaffe) и др.], когда было доказано существование квантованных полей в простейших супер-перенормируемых взаимодействиях (см. Перенормировки)в пространстве размерности d=2. Третий этап начался в 70-х гг. и связан с применением методов евклидовой теории поля (см. Евклидова квантовая теория поля ).Осн. теоремы евклидовой КТП были доказаны К. Остервальдером (К. Osterwalder) и Р. Шрадером (R. Schrader). В нач. 80-х гг. направление ККТП испытывает кризис, поскольку методы, развитые в пространстве d=2, с большим трудом переносятся в пространство d=3 и не ясно, что можно сделать в четырёхмерном пространстве-времени (d=4).

На первом этапе осн. объектом изучения ККТП являлся бесконечный набор Уайтмена функций где x₁, . . ., х_п (n=1, 2, 3, . . .) - точки пространства-времени (используется система единиц, в к-рой . Задание этих ф-ций эквивалентно знанию квантованных полей в смысле АКТП (т. н. теорема реконструкции Уайтмена). Ф-ции Уайтмена, вообще говоря, можно было бы вычислить как вакуумные средние от произведения полей. Напр., в простейшем случае однокомпонентного скалярного поля

(1)

где гейзенбергово поле (см. Гейзенберга представление)определяется соотношением

(2)

Здесь "нач." поле, т. е. значение поля в точке пространства в момент времени t=0, a

(3)

гамильтониан системы, представленный в виде суммы гамильтониана H₀, описывающего невзаимодействующую систему, и гамильтониана взаимодействия где - константа связи (квадратные скобки означают функциональную зависимость от поля

Однако наличие расходимостей - объёмных (см. Хаага теорема ),УФ- и, возможно, других - делает прямое вычисление по ф-ле (1) невозможным. Поэтому доказательство существования ф-ций Уайтмена (1) строится след, образом. В гамильтониан взаимодействия (3) вводится объёмное и УФ- "обрезания", так что регуляризованный гамильтониан (см. Регуляризация расходимостей)становится хорошо определённым эрмитовым оператором, а для него существует регуляризов. набор ф-ций Уайтмена где точка обозначает набор пространственно-временных переменных. Далее к регуляризов. гамильтониану добавляются т. н. контрчлены ,структура к-рых предсказывается теорией возмущений и к-рые призваны сократить возникающие расходимости в пределе снятия обрезания. Задачей ККТП является, во-первых, доказательство существования конечного предела

(4)

при определённом выборе контрчленов и, во-вторых, доказательство того, что полученные предельные ф-ции удовлетворяют всем требованиям АКТП.

Матем. трудности при непосредств. реализации этой программы определяются сложностью операторной структуры вводимых контрчленов, что, в свою очередь, диктуется конкретным видом рассматриваемой квантовополевой модели. Наиб. простые контрчлены возникают в т. н. суперперенормируемых теориях, т. е. в теориях, где число расходящихся Фейнмана диаграмм конечно. Именно по этой причине первые нетривиальные примеры построения релятивистских локальных квантованных полей были получены в суперперенормируемых моделях, характеризуемых плотностями гамильтониана взаимодействия где верхний индекс - степень взаимодействия, а нижний - размерность пространства-времени d=2, - полином степени - спинорное Дирака поле (черта над означает дираковское сопряжение). Проведение сформулированной выше программы даже в этих простейших случаях потребовало создания матем. техники операторных оценок специально для изучаемых моделей.

Дальнейшее развитие ККТП связано с переходом к евклидову пространству и применением методов евклидовой теории поля. В АКТП было доказано, что ф-ции Уайтмена W_n(t₁, х₁, . . ., t_n, х_n)являются граничными значениями аналитических функций в область аналитичности к-рых попадают также евклидовы 4-точки такие, что где - "мнимое время". Значения ф-ций на множестве евклидовых точек наз. ф - ц и я м и Швингера (S_n)[введены Ю. Швингером (J. Schwin-ger) в 1951],

Остервальдер и Шрадер (1975) нашли необходимые и достаточные условия (О. Ш.), при выполнении к-рых была доказана эквивалентность теорий, построенных на ф-циях W_n и S_n.

Изучение ф-ций Швингера более удобно по след, причинам. Во-первых, к решению проблем теории поля привлекаются хорошо разработанные теоретико-вероятностные методы, поскольку ф-ции Швингера можно отождествить со средними от произведения случайных процессов (евклидовых полей):

Здесь Е[Ф] - среднее от нек-рой случайной величины Ф, заданной на нек-ром вероятностном пространстве. Было выяснено, что величина должна быть евклидово-ковариантным марковским случайным полем (см. Марковские случайные процессы), удовлетворяющим определённым дополнит. требованиям, и доказано, что эти требования эквивалентны условиям О. III. Во-вторых, переход к евклидовым вероятностным мерам позволил при исследовании проблем, связанных со снятием обрезаний, использовать корректные интегральные представления для регуляризованных ф-ций Швингера и многочисл. методы статистич. физики. Тем самым оказалось, что мн. вопросы евклидовой теории эквивалентны проблемам статистич. физики. На этом пути были упрощены доказательства существования ф-ций Уайтмена в модели и доказано их существование в модели

Математически развитые методы ККТП привели пока к доказательству существования квантованных гейзен-берговых полей только в суперперенормируемых моделях КТП. Переход к изучению перенормируемых моделей требует привлечения совершенно новых идей и методов.

Лит.: Саймон Б., Модель Р (j)₂ евклидовой квантовой теории поля, пер. с англ., М., 1976; Конструктивная теория поля, пер. с англ., М., 1977; Евклидова квантовая теория поля. Марковский подход, М., 1978; Г л и м м Д., Д ж а ф ф е А., Математические методы квантовой физики. Подход с использованием функциональных интегралов, пер. с англ., М., 1984.

Г. В. Ефимов.

   <<      Предметный указатель      >>