конформное отображение

КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ - взаимно однозначное отображение областей n-мерного евклидова пространства, сохраняющее углы между кривыми. К. о. в каждой точке обладает свойством постоянства растяжений по разл. направлениям. При n=З любое (гладкое) К. о. является суперпозицией вращения, растяжения, сдвига и спец. К. о. "инверсии": х_i - (х_i-х_i)/

,

i = l,. . ., п, где, х°=(х⁰₁, . . ., х⁰_п) - нек-рая фиксированная точка n-мерного пространства. Совокупность этих преобразований образует (n+1) (n+2)/2-параметрич. конформную группу.

При n=2 множество К. о. разнообразнее. В этом случае двумерную плоскость R² удобно реализовать как пространство С комплексных чисел z=x+iy. Добавляя к С бесконечно удалённую точку, рассматривают также К. о. областей расширенной комплексной плоскости . Отображение области D на область D* расширенной комплексной плоскости конформно тогда и только тогда, когда оно либо задаётся нек-рой аналитической функцией f(z), определённой и однолистной в D, и такой, что , либо является суперпозицией описанного преобразования и комплексного сопряжения. В первом случае К. о. сохраняет не только величины углов, но и их знаки; во-втором - знаки углов меняются на противоположные. Любые две односвязные области D и D* в , границы к-рых состоят из более чем одной точки, конформно эквивалентны. При этом для произвольных точек z₀ из D и из и произвольного вещественного числа существует одна и только одна аналитич. и однолистная в D ф-ция f(z), такая, что f(D)=D*, f(z₀)=z*₀, arg= (теорема Римана).

К. о. двумерных областей переводит всякое решение Лапласа уравнения снова в решение ур-ния Лапласа. Другими словами, если - гармонич. ф-ция в области D*, а ф-ция f(z) = u(x, y)+i(x, у)конформно отображает область D на D*, то ф-ция , (х, у)] есть гармонич. ф-ция в области D. Этим обусловлено применение К. о. в задачах электростатики, гидро- и аэродинамики и др.

Примеры. 1) Дробно-линейное преобразование f(z) = (az+b)/(cz+d), ad-be0 конформно отображает расширенную комплексную плоскость на себя. При этом всякая окружность переходит снова в окружность (считается, что прямая есть окружность бесконечного радиуса, проходящая через бесконечно удалённую точку). Тем самым дробно-линейное преобразование конформно отображает внутренность любого круга на внутренность или внешность нек-рого другого круга. Точки z и z* наз. сопряжёнными к окружности Г, не являющейся прямой, если они лежат на одном луче, исходящем из центра окружности, и произведение их расстояний от центра равно квадрату радиуса. Если Г - прямая, то точки z и z* наз. сопряжёнными, если одна из них переходит в другую при отражении относительно Г. Всякое дробно-линейное преобразование переводит точки z и z*, сопряжённые относительно Г, в точки f(z) и f(z*), сопряжённые относительно f(Г). Последнее свойство весьма полезно при выборе конкретных дробно-линейных преобразований.

2) Степенная функция , где - положительное число, конформно отображает сектор в сектор , если и При нарушении последнего неравенства ф-ция / (z) перестаёт быть однолистной в секторе

3) Показательная ф-ция f(z)=e^z конформно отображает полосу в единичный круг с разрезом вдоль вещественной положит. полуоси. При этом прямая Im z = j переходит в луч arg

4) Функция Жуковского конформно отображает внешность единичного круга на внешность отрезка [-1, 1] вещественной оси. При этом окружность переходит в эллипс с полуосями и и с фокусами в точках

5) Формула Кристоффеля - Шварца даёт интегральное представление ф-ции f(z), отображающей верх. полуплоскость Im z>0 на внутренность многоугольника с вершинами A_k и углами при вершинах (k = 1, 2, . . .,n):

где С, С₁ - комплексные постоянные, a_k - действит. числа, - однозначные при Im t>0 ветви ф-ций, положительные при t=a_k; z₀<a₁, и точка f(z₀)=C₁ лежит на отрезке А_nА₁. Тройку чисел из a_k можно задавать произвольно, остальные постоянные определяются однозначно. Эта ф-ла справедлива и для многоугольников, у к-рых одна или неск. вершин лежат в бесконечно удалённой точке.

Лит. см. при ст. Аналитическая функция.

Б. И. Завьялов.

   <<      Предметный указатель      >>