корреляционная функция

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ случайного процесса - ф-ция В (s, t) = М[Х (s) - - MX (s)] [X (t) - MX (t)]*, s, , [здесь MX (t) - первый момент процесса, * означает комплексное сопряжение; предполагается, что . В случае векторного процесса К. ф. наз корреляционная матрица , где B_ij(s, t) = - взаимная К. ф. процессов X_i и X_j, В_ii наз. иногда автокорреляционной функцией. Характеристич. свойство К. ф.- её положит. определённость: для любых t₁, . . ., t_nТ и комплексных с₁ . . ., с_т: . Для процесса с

независимыми значениями В (s, t)=0 при st. Для стационарных в широком смысле процессов К. ф. зависит лишь от разности t-s: В (s, t) = R(t-s). Если при этом процесс непрерывен в среднем квадратическом, т. е. М при , то К. ф. R (t) непрерывна и допускает представление R(t) = , где F - спектральная мера процесса, а пробегает интервал , если Т=(), либо [], если Т={. . ., - 1, 0, 1, . . .} (см. также Винера - Хинчина теорема).

К. ф.- простая, но полезная характеристика случайного процесса. Распределение гауссовой случайной функции X (t)полностью определяется её К. ф. и средним MX (t); в общем случае это заведомо не так. В то же время К. ф. вполне описывает процесс как кривую в гильбертовом пространстве интегрируемых в квадрате ф-ций на вероятностном пространстве, на к-ром задан процесс (см. Вероятностей теория ),позволяет судить о таких его свойствах, как непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость в среднем квадратическом и т. п. Условия на скорость убывания К. ф. при используют в предельных теоремах для случайных процессов.

Лит.: Гихман И. И., Скороход А. В., Введение в теорию случайных процессов, 2 изд., М., 1977; Введение в статистическую радиофизику, ч. 1 - Рытов С. М., Случайные процессы, М., 1976. К. А. Боровков.

   <<      Предметный указатель      >>