криволинейные координаты

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ - набор вещественных чисел q₁,......., q_n, определяющих положение точки Р в нек-рой области G n-мерного евклидова пространства и связанных с декартовыми координатами x₁, ..., х_п этой точки посредством преобразований q_i =q₁ (x₁,.......,x_n), i = l, 2, ..., п, где q_i (x₁, ..., х_п) - однозначные непрерывно дифференцируемые ф-ции в G.

Если в каждой точке G якобиан (детерминант J = = det( ) не равен нулю, то существует однозначное обратное преобразование X_j=x_j(q₁, ..., q_n), j = 1, ..., п. Поверхности, определяемые ур-ниями q_i(х₁, ..., х_п) = с_i где c_i = const, i = l, ..., n, наз. координатными поверхностями, а их попарные пересечения - координатными линиями. Система К. к. наз. ортогональной, если в каждой точке области G единичные векторы, касательные к координатным линиям, образуют ортонормированную систему векторов. Квадрат расстояния ds² между двумя бесконечно близкими точками в G определяется квадратичной формой =, где - метрический тензор ,детерминант к-рого равен J². Необходимое и достаточное условие ортогональности системы К. к. заключается в равенстве g_ij=0 для в каждой точке G. В последнем случае величины h_i= наз. коэффициентами Ламе. Напр., в ортогональной трёхмерной системе К. к. квадрат элемента длины ds² имеет вид , а элемент объёма dV равен . Векторные операции со скалярами f и векторами А выражаются след. образом: градиент, Лапласа оператор, дивергенция, суммирование производится по круговым перестановкам индексов,

остальные компоненты rot А получаются круговой перестановкой индексов. Наиб. распространёнными ортогональными системами К. к. в трёхмерном пространстве являются сферич. система координат , связанных с декартовыми координатами х₁=х, х₂=у, x₃ = z равенствами x =

; о<r<,

, , ицилиндрич. система координат , , , для к-рых , , z= z; В сферич. системе координат J=r²sin , а Лапласа оператор имеет вид

В цилиндрич. системе координат для соответствующих величин имеем J=r,

Лит.: Морс Ф. М., Фешбах Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 1, М., 1958; Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд , М., 1977. В. И. Алхимов.

   <<      Предметный указатель      >>