кронига - пенни модель

мый кристаллич. решёткой, аппроксимируется периодич. последовательностью прямоугольных потенц. ям глубиной V₀ и шириной а, разделённых потенц. барьерами шириной Ь, так что постоянная решётки равна а+Ь (рис. 1). Решение ур-ния Шрёдингера с потенциалом V(x)имеет вид плоской волны, модулированной с периодом решётки:

где u_k(x)-периодич. ф-ция с периодом а+Ь (см. Блоховские электроны ).Из условия непрерывности ф-ции и_k(х)и её производной на границах ям (х=0 и

(2)

где т - масса электрона.

Ур-ние (2) упрощается, когда V(х) - периодич. последовательность дельта-функций (для этого нужно перейти к пределу так, чтобы произведение V₀ Ь оставалось постоянным):

⁽³⁾

где

Т.к. cos ka может принимать значения только в интервале от -1 до +1, величина при заданном Р может принимать лишь те значения, при к-рых левая часть (3) не выходит из этого интервала (рис. 2). Границам допустимых значений соответствуют значения k= (n=1,2,...). Отсюда следует, что энергия электрона не может принимать любое значение; энергетич. спектр разбивается на ряд полос энергии (разрешённых зон), разделённых запрещёнными зонами, ширина к-рых при больших п порядка

Pиc. 1. Одномерный периодический потенциал V(х) в модели Кронига.

х=а)получается дисперсионное ур-ние, связывающее энергию электрона с его волновым вектором k:

При запрещённые области исчезают (электрон становится свободным); при Р-"оо разрешённые интервалы значений aа вырождаются в точки np и энергетич. спектр становится дискретным. Собств. значения энергии в этом случае соответствуют электрону в бесконечно глубокой потенц. яме шириной К. - П. м. позволяет вычислить также волновую ф-цию электрона.

Рис. 3. Зависимость энергии от волнового числа для потенциала Кронига - Пенни при Р=

Лип.: Кrоnig R. de L., Penney W. G., Quantum mechanics of electrons in crystal lattices, "Proc. Roy. Soc. London", 1931, v. 130A, p. 499; Бете Г., 3оммерфельд А., Электронная теория металлов, пер. с нем., Л.- М., 1938; Киттель Ч., Введение в физику твердого тела, [пер. с англ.], 2 изд., М., 1963. д. М. Эпштепн.

   <<      Предметный указатель      >>