кэли - клейна параметры

КЭЛИ - КЛЕЙНА ПАРАМЕТРЫ -комплексные величины, с помощью к-рых можно определить положение твёрдого тела, имеющего неподвижную точку. К.- К. п. а, Ь связаны с углами Эйлера , , зависимостями

(* означает комплексное сопряжение), при этом +=1. В свою очередь, зная а и Ь, можно определить углы , , из равенства

где Re - действит. часть комплексной величины.

К.- К. п. задают координаты в группе вращений трёхмерного пространства SO (3). Их введение основано на связи между группой SO (3) и группой SU (2)унитарных матриц 2-го порядка с единичным определителем. Всякий действит. вектор х (х₁, х₂, х₃)можно представить эрмитовой матрицей

где - Паули матрицы .Для каждого вращения =Ах, описываемого углами Эйлера j,y, q, вектор представляется матрицей

где

значок "+" означает эрмитово сопряжение. При этом, в отличие от описания с помощью углов Эйлера, преобразования с использованием К.- К. п. можно перемножать, т. е.

К. - К. п. a, Ь однозначно определяют вращение А, но а, Ь и -а, -Ь описывают одно и то же вращение, что соответствует двухзначным (спинорным) представлениям группы вращений (см. Вращений группа, Спинор). Определение К.- К. п. в форме (1). (2) есть по существу представление элементов труп, вращения R³ через кватернионы с единичной нормой. Неявно такая связь прослеживается в работах А. Кэли (A. Cayley) в 1847, а точные соотношения появились в работах Ф. Клейна (F. Klein) в 1897.

К. - К. п. применяют при решении ряда кинематич. задач о движении тела с неподвижной точкой, в частности задачи о сложении последовательных конечных поворотов, для записи ур-ний, определяющих закон движения тела вокруг неподвижной точки, в более компактном виде и др.

Лит.: Голдстейн Г., Классическая механика, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; Лурье А. И., Аналитическая механика, М., 1961; Синг Дж. Л., Классическая динамика, пер. с англ., М., 1963. М. И. Монастырский.

   <<      Предметный указатель      >>