Стартовая Предметный указатель Новости науки и техники
Новости науки и техники
Конденсат Бозе-Эйнштейна в свободном падении – очередная проверка общей теории относительности.
Экспериментальная установка: лазеры, магнитная ловушка и, собственно полученный конденсат Бозе-Эйнштейна – все это сброшено с высоты 146 метров.
Международная команда физиков показала, что квантовые системы могут быть изучены в условиях отсутствия влияния гравитации на их состояния. Таким образом, ученые пытаются проверить общую теорию относительности. Далее...

Конденсат Бозе-Эйнштейна

ли алгебра

ЛИ АЛГЕБРА - векторное пространство, на к-ром определена операция, называемая коммутированием. Для элементов алгебры определены линейные операции - сложение и умножение на число. Если допускается умножение на вещественные числа, то Л. а. наз. вещественной; если допускается умножение на комплексные числа, то Л. а. наз. комплексной. Операция коммутирования сопоставляет любым двум элементам алгебры X, 2549-90.jpgтретий элемент 2549-91.jpg Эта операция билинейна (т. е. линейна по каждому аргументу), антисимметрична 2549-92.jpg и удовлетворяет тождеству Якоби

2549-93.jpg

Понятие "Л. а." возникло в связи с изучением групп Ли, т. к. элементы группы Ли можно представлять в виде экспонент от элементов Л. а. (см. Группа ).Если группа Ли реализована как группа матриц, то соответствующая ей Л. а. также является матричной. Это значит, что каждый элемент алгебры является матрицей, а операция коммутирования определяется как обычный коммутатор:2549-94.jpg

Основные понятия. Если в векторном пространстве А выбран базис Х1 . . ., Xn (т. е. полный набор линейно независимых элементов), то для определения на А структуры Л. а. достаточно задать попарные коммутаторы базисных элементов, т. е. коэф. 2549-95.jpg в ф-ле 2549-96.jpg Тогда коммутаторы произвольных элементов пространства А однозначно определяются тем, что каждый такой элемент можно представить в виде линейной комбинации базисных элементов 2549-97.jpg и что операция коммутирования является билинейной. Коэф. 2549-98.jpg наз. структурными константами данной Л. а. Они зависят от выбора базиса, но при любом выборе являются антисимметричными по нижним индексам и удовлетворяют условию

2549-99.jpg

Гомоморфизмом или представлен и-е м алгебры Ли А1 в алгебру Ли А2 наз. такое линейное отображение 2549-100.jpg 2549-101.jpg (т. е. отображение, сохраняющее линейные операции), к-рое согласовано с операциями коммутирования в обеих алгебрах: 2549-102.jpg Ядром гомоморфизма наз. подмножество в алгебре A1, к-рое под действием j переходит в нулевой элемент алгебры А2. Если отображение 2549-103.jpgвзаимно однозначно, то оно наз. изоморфизмом или точным представлением. В этом случае ядро отображения равно нулю. Всякая конечномерная Л. а. допускает точное представление в алгебру матриц (теорема А д о). Ввиду тесной связи, существующей между Л. а. и группами Ли, задача изучения представлений групп Ли в большой мере сводится к изучению представлений Л. а. Именно этим объясняется прикладное значение теории Л. а. и их представлений (см. Представление группы).

Если ввести в рассмотрение матрицы Сi с матричными элементами, равными структурным константам, 2549-104.jpg то условие на структурные константы, приведённое выше, можно переписать в виде2549-105.jpg2549-106.jpg где скобки обозначают обычный коммутатор двух матриц. Т. о., матрицы Сi осуществляют n-мерное представление базисных элементов Xi, а их линейные комбинации - представление всей Л. а. Это т. н. присоединённое представление adX. Совокупность элементов, коммутирующих со всеми элементами алгебры, наз. центром Л.а.

Подмножество2549-107.jpg в Л. а. наз. подалгеброй Ли, если оно само является Л. а. относительно тех же операций. Это значит, что В - линейное подпространство, и операция коммутирования не выводит из В. Последнее можно записать символически: 2549-108.jpg Если для подпространства2549-109.jpg выполняется более сильное условие2549-110.jpg то В наз. идеалом в А. Если В - идеал, то фактор-пространство А/В, элементами к-рого являются классы Х+В (т. е. множества элементов вида X+Y, где У пробегает всё В), само является Л. а. Операции в этой фактор-алгебре определяются естеств. образом, т. е. с помощью операций, совершённых над любыми представителями классов, напр.2549-111.jpg

Любая Л. а. содержит тривиальные (несобственные) идеалы. Один из них совпадает со всей Л. а., второй состоит лишь из нулевого элемента. Если Л. а. не содержит идеалов, отличных от этих (т. е. не содержит собств. идеалов), то она иаз. простой. Алгебра наз. полупростой, если она не имеет нетривиальных коммутативных идеалов (т. е. таких, в к-рых все коммутаторы обращаются в нуль). Всякая полупростая Л. а. представляется в виде прямой суммы простых Л. а.

Л. а. А наз. разрешимой, если в ней существует такая цепочка подалгебр2549-112.jpg2549-113.jpgчто Аi+ 1-идеал в А; и фактор-алгебра Ai/Ai+1 коммутативна. Если, кроме того, все Ai - идеалы в А и фактор-алгебра Ai/Ai+1 принадлежит центру фактор-алгебры A/Ai+1, то алгебра А наз. нильпотентной.

На Л. а. можно ввести внутр. произведение, определив его равенством (X, У)=Тr(аdХ*adY), где Тr означает след оператора (матрицы). Эта симметричная (относительно перестановки аргументов) билинейная форма наз. формой Киллинга. Если воспользоваться матричной реализацией присоединённого представления, можно выразить форму Киллинга через коэф. хi, уi разложения элементов X, Y по базису. Получим 2549-114.jpg где симметричный тензор 2549-115.jpg2549-116.jpgназ. метрическим тензором Картана алгебры А. Для нек-рых Л. а. метрич. тензор и форма Киллинга могут быть вырождены, т. е. det2549-117.jpg = 0 (это имеет место, напр., для коммутативных л. а.). Форма Киллинга невырождена только для полупростой Л. а. (критерий Картана).

Для комплексных простых Л. а. всегда можно выбрать базисные элементы Xi- таким образом, чтобы структурные константы 2549-118.jpg были чисто мнимыми и антисимметричными по всем парам индексов. Такой набор наз. базисом Картана. При этом ранг алгебры Л и l определяется как макс. число коммутирующих элементов в базисе Картана, l-мерная коммутативная подалгебра, натянутая на это множество элементов, наз. подалгеброй Картана,

Классификация алгебр Ли. Имеется четыре серии простых комплексных Л. а. конечной размерности: Al, Bl, Сl, Dl и кроме этого пять исключительных алгебр G2, F4, Е6, E7, E8 (индексы везде обозначают ранг алгебры). Каждая комплексная Л. а. имеет единственную вещественную подалгебру, являющуюся Л. а. компактной группы Ли. Перечислим компактные группы, соответствующие сериям. Алгебра Аl, l=1, 2, . . ., имеет размерность n=(l+l)2-1 и связана с группой SU(l+1)унитарных унимодулярных (т. е. имеющих единичный детерминант) (l+1)-рядных матриц. Алгебра Bl, l=2, 3, . . ., имеет размерность n= =l (2l+1) и связана с группой SO (2l+1) ортогональных унимодулярных матриц порядка 2l+1. Случай l=l исключается, т. к. В11. Алгебра Сг, 1=3, 4, . . ., имеет размерность п=l(2l+1) а связана с симплектической группой Sp (21)(т. е. группой преобразований, сохраняющих невырожденную антисимметричную билинейную форму в пространстве размерности 21). При l=1 и 2 имеет место совпадение Cl=Bl. Алгебра Dl, l=4, 5, . . ., имеет размерность n=2l2-l и связана с группой SO (2l). Низшие размерности исключаются, т. к. D3=A3, a D1 и D2 не являются простыми. Группы SU(n), SO(n), Sp(n), порождаемые бесконечными сериями Л. а., наз. классическими группами.

Каждая комплексная простая Л. а. имеет неск: вещественных форм (т. е. таких вещественных Л. а., из к-рых данная Л. а. получается комплексификацией). Лишь одна из них соответствует компактной группе Ли. Остальные приводят к некомпактным группам. Напр., среди вещественных форм комплексной алгебры Al есть такие, к-рые соответствуют группам SU(p, q), p+q=l+1, псевдоунитарных матриц, т. е. преобразований в. комплексном (l+1)-мерном пространстве. сохраняющих форму 2549-119.jpg Вещественные формы алгебры Bl порождают группы псевдовращений или псевдоортогональных преобразований SO(p, q), p+g=2l+l. Это преобразования обобщённого пространства Минковского с р пространственными и q временными измерениями. Вещественные формы в Cl порождают группы Sp(2p, 2q), p+q=l. Такую группу можно определить как подгруппу в группе SU(2p, 2q), оставляющую инвариантной антисимметричную билинейную форму. Ещё одна вещественная форма в Сl состоит из антиэрмитовых матриц и порождает группу 2549-120.jpg(2l). Вещественные формы в Dl порождают группы псевдовращений SO (p, q), p+q=2l.

Кроме перечисленных, имеются нек-рые специальные вещественные формы комплексных алгебр Аl и Dl. Приведённый список не полон с точки зрения классификации простых групп. Не каждая простая вещественная группа Ли является вещественной формой простой комплексной группы. Так, алгебра Dl не проста, и не проста соответствующая ей компактная подгруппа SO (4). Однако некомпактная группа SO (1, 3) (Лоренца группа)является простой. Её Л. а. изоморфна sl (2, С). Обобщением этого примера является целый класс простых вещественных Л. а.- это комплексные Л. а., рассматриваемые как вещественные.

Лит.: Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., М., 1986.

А. А. Кириллов, М. Б. Менский.

  Предметный указатель