линейный оператор

ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР А в векторном пространстве L-отображение, сопоставляющее каждому вектору е век-poro множества D (содержащегося в L и наз. областью определения Л. о.) др. вектор, обозначаемый Ае (и называемый значением Л. о. на векторе е). Выполнены след. условия: 1) D - линейное множество, т. е. для любых его элементов е₁ и е₂ я любых комплексных чисел ивектор также принадлежит D; 2)Л. о. переводит линейную комбинацию векторов в ту же линейную комбинацию соответствующих значений:

Примеры Л. о.: матрица А = (а_ij), действующая в n-мерном евклидовом пространстве по правилу (Aе)_i= где векторы - столбцы комплексных чисел; дифференциальный оператор A =a₀+a₁d/dx+...+a_ndⁿ/dxⁿ, определённый равенством (Af) (x) = a₀f(x)+а₁df(x)/dx+...+a_ndⁿf(x)/dxⁿ; интегральный оператор А, определённый соотношением (Af)(x)= dyA (x, y)f(y).

Конечномерные пространства. В конечномерном пространстве Л. о. можно определить на всех векторах и задать нек-рой матрицей (а_ij). Если e₁ е₂, ..., e_n - ортонормированный базис, то а_ij= (е_i, Ае_j), где (е, f) - скалярное произведение векторов е и f. Если для нек-рого вектоса е и комплексного числавыполнено равенство Ае= то е наз. собственным вектором (собственной функцией), а - собственным значением оператора А. Совокупность всех собств. значений наз. дискретным спектром, а множество собств. векторов, отвечающих нек-ро-му собств. значению - собств. подпространством Л. о.

Конечномерный Л. о. U наз. унитарным, если унитарна его матрица (u_ij), т. е. если

где =0 при и =1. Унитарным является, напр., оператор поворота плоскости на угол Собств. значения унитарного Л. о. лежат на единичной окружности в комплексной плоскости, т. е. где - вещественное число. Унитарные Л. о. оставляют неизменными длины векторов и углы между ними, т. е. сохраняют скалярное произведение: (е, f) = (Ue, Uf). Унитарные конечномерные Л. о. используют для описания разл. симметрии физ. систем. Совокупность соответствующих Л. о. образует представление группы симметрии.

Конечномерный оператор наз. сопряжённым к А, если матрицы этих операторов связаны соотношениями т. е. матрица получается из матрицы А в результате транспонирования и комплексного сопряжения. Если =A то А наз. самосопряжённым или эрмитовым. Пример самосопряжённых конечномерных Л. о.- Паули матрицы, т. е. операторы спина в квантовой механике. Самосопряжённый Л. о. обладает важным свойством вещественности: (е, Ае)- (е, Ае) Все собств. значения самосопряжённого оператора также вещественны, а собств. векторы, отвечающие разл. собств. значениям, попарно ортогональны. Ортонормированный базис в конечномерном пространстве можно составить из собств. векторов e₁, e₂, ..., е_n самосопряжённого Л. о. А. В "том базисе матрица Л. о. А диагональна: a_ij=

Произведение (АВ)Л. о. А и В определяется результатом последоват. применения к вектору е операторов В и А, т. е. (АВ)е=А (Be). Произведение операторов, вообще говоря, не перестановочно: Величина АВ-ВА=[А , В] наз. коммутатором Л. о. А и В. Если Л.o. коммутируют, т. е. [А, В] = 0, то Л. о. А и В можно одновременно привести к диагональному виду, т. е. в пространстве существует такой ортонормиров. базис, что каждый его элемент является собственным для А и для В.

Самосопряжённый Л. о. Р наз. проекционным оператором или проектором, если Р²=Р. Для каждого проектора найдётся такое подпространство Lp пространства L, что Ре=е, если е принадлежит Lp, и Ре=0, если е принадлежит ортогональному дополнению Lp. Всякий конечномерный самосопряжённый оператор А можно представить в виде

А =

где суммирование проводится по всем собств. значениям , а Р; - проектор на собств. подпространство, отвечающее Это равенство наз. спектральным разложением конечномерного самосопряжённого оператора, оно позволяет строить разл. Ф-ции f(A)от самосопряжённого Л. о. A: f(A)- Всякий унитарный Л. о. U в конечномерном пространстве допускает представление U=ехр(iA), где А -эрмитов Л. о. Если семейство U реализует представление группы симметрии, то соответствующее семейство самосопряжённых Л. о. А задаёт представление Ли алгебры этой группы.

Бесконечномерные пространства. В бесконечномерном гильбертовом пространстве Л. о., вообще говоря, нельзя определить на всех векторах. Обычно область определения D, не исчерпывая всего L, является всюду плотной (т. е. любой вектор из L можно с заданной точностью приблизить вектором из D). На всём пространстве можно задать только т. н. ограниченные (непрерывные) операторы. Л. о. А наз. ограниченным, если существует такая константа С, что для всех векторов е из D выполнено неравенство (Ае, Ае)С (е, е). Для неограниченного Л. о. усложняется понятие сопряжённости (подробнее см. Эрмитов оператор ).В бесконечномерном случае Л. о. помимо дискретного могут иметь и непрерывный спектр. Числоназ. точкой непрерывного спектра, если найдётся такая последовательность е₁, е₂, ..., e_n, ... нормированных векторов, что все они ортогональны каждому собств. вектору оператора А, а при норма векторов стремится к нулю. Непрерывный и дискретный спектры оператора могут пересекаться. Объединение дискретного и непрерывного спектров паз. просто спектром. Спектр самосопряжённого Л. о. всегда веществен. Видоизменяется спектральное разложение самосопряжённого Л. о.: каждому интервалу вещественной оси от досопоставляется нек-рый проектор Подпространство, на к-рое проектирует этот проектор, содержит все собств. подпространства оператора А, отвечающие собств. числам таким, что а также подпространство, ответственное за появление непрерывного спектра в интервале от до

Оказывается, что А = где интеграл является пределом соответствующих сумм Дарбу, а интегрирование ведётся по всей вещественной оси. Функция f(A) от самосопряжённого Л. о. А определяется интегралом

В квантовой теории самосопряжённые Л. о. отвечают наблюдаемым физ. величинам. Процедура квантования сводится к замене евклидовых канонич. координат и импульсов такими самосопряжёнными Л. о., что их коммутаторы совпадают с соответствующими скобками Пуассона. Операторы других наблюдаемых величин выражают при помощи классич. 'ф-л через операторы координат и импульсов.

Лит.: Нейман И., Математические основы квантовой механики, пер. с нем., М., 1964; Дирак П., Принципы квантовой механики, пер. с англ., 2 изд., М., 1979; Кострикин А. И., Манин Ю. И., Линейная алгебра и геометрия, 2 изд., М., 1986; Рихтмайер Р., Принципы современной математической физики, пер. с англ., т. 1, М., 1982.

О. И. Завьялов.

   <<      Предметный указатель      >>