лиувилля теорема

ЛИУВИЛЛЯ ТЕОРЕМА - теорема механики, согласно к-рой фазовый объём системы, подчиняющейся ур-ниям механики в форме Гамильтона, остаётся постоянным при движении системы. Теорема установлена Ж. Лиувиллем (J. Liouville) в 1838.

Состояние механич. системы, определяемое обобщёнными координатами q=(q₁, q₂, ....., qN)и канонически сопряжёнными обобщёнными импульсами P = (P₁, Р₂, ......, pN) (N - число степеней свободы системы), можно изобразить точкой в пространстве 2N измерений (фазовом пространстве). Изменение состояния системы во времени представляется как движение такой фазовой точки в 2N-мерном фазовом пространстве. Если в нач. момент времени фазовые точки непрерывно заполняли нек-рую область в фазовом пространстве, а с течением времени перешли в др. область этого пространства, то, согласно Л. т., соответствующие фазовые объёмы (2N-мерные интегралы) равны между собой:

Т. о., движение точек, изображающих состояния системы в фазовом пространстве, подобно движению несжимаемой жидкости.

Л. т. является следствием того, что якобиан преобразования от переменных к переменным р, q (т. е. якобиан канонич. преобразования) в силу Гамильтона уравнений равен 1:

поэтому

Л. т. позволяет ввести ф-цию распределения для плотности вероятности нахождения фазовых точек р, q в элементе фазового объёма dpdq и вывести для неё Лиувилля уравнение, являющееся основой статистич. физики.

Лит.: Голдстейн Г., Классическая механика, пер. с англ., 2 изд., М., 1975, гл. 8; Синг Дж. Л., Классическая динамика, пер. с англ., М., 1963, p 98: Леонтович М. А., Введение в термодинамику. Статистическая физика, М., 1983, С. 172. Д. Н. Зубарев.

   <<      Предметный указатель      >>