лоренца группа

ЛОРЕНЦА ГРУППА - группа вещественных линейных однородных преобразований 4-векторов х=={х⁰, х¹, х², х³} пространства Минковского М₄, сохраняющих (индефинитное) скалярное произведение

где g= - метрич. тензор в M₄ (подразумевается суммирование по повторяющимся индексам). Названа по имени X. А. Лоренца (Н. A. Lorentz). Являясь подгруппой Пуанкаре группы (группы симметрии пространства-времени в отсутствие гравитации), Л. г. играет фундам. роль в релятивистской теории. Инвариантность действия относительно преобразований Л. г. отражает изотропность пространства-времени и влечёт за собой сохранение 4-тензора момента (см. Нетер теорема).

Преобразование из Л. г. задаётся веществ. четырёхрядной матрицей так что Равенство эквивалентно транспонирована к и даёт det

Л. г. L разбивается на 4 компоненты, связанные между собой в соответствии со знаками det и

Здесь ниж. индекс - знак det стрелка отвечает знаку + - инверсия (отражение) пространства: (Рх)⁰=х⁰, Т - инверсия времени: j = 1, 2, 3. Преобразования с det =1 наз. собственными, с -ортохронными. Собственная ортохронная группа является подгруппой Л. г.

Л. г.- шестипараметрич. группа Ли; в имеются 3 независимых пространственных вращения на угол а в плоскости и 3 независимых (частных) Лоренца преобразования - гиперболич. повороты (бусты) В_оk на угол в плоскости (х⁰, x^k ):

(здесь i, j, k=1, 2, 3 и их циклич. перестановки). Любой элемент из можно однозначно представить в виде - RB, где R - пространств. вращение вокруг нек-рой оси, а В - гиперболич. поворот в плоскости (x⁰, n), где п - нек-рое направление.

В приложениях важно соответствие между и группой SL(2, С)комплексных матриц 2X2 с единичным определителем. Каждому из М₄ ставится в соответствие эрмитова матрица

где - единичная матрица 2X2, - Паули матрицы; при этом и Тогда каждому преобразованию =, где С), отвечает преобразование причём = Это соответствие двузначно: вращениям R отвечают унитарные матрицы бустам В - положительно (либо отрицательно) определённые эрмитовы матрицы Н= а разложению =RB - разложение S = VH. Группа SL (2, С) является универсальной накрывающей Л. г., являясь мин. односвязной группой, гомоморфной Л. г. (см. Группа).

Параметризации Л. г. с помощью углов поворотов отвечает матричное представление её генераторов M_ij(штрих означает здесь производную по углу). Их Ли алгебра характеризуется перестановочными соотношениями:

В трёхмерных обозначениях удобно перейти к комбинациям

где - символ Леви-Чивиты. Тогда алгебра (1) расщепляется в прямую сумму двух алгебр Ли вращений группы 0(3):

Операторы Казимира, коммутирующие со всеми генераторами, имеют вид C₁=N_iN_i, C₂=.

Неприводимые представления Л. г. (точнее, её подгруппы полностью характеризуются собств. значениями j₁, j₂ операторов С₁, С₂. Для конечномерных представлений удобнее трёхмерная реализация (2) алгебры Ли. Вследствие её расщепления представление Л. г. строится как прямое произведение представлений D(j) группы вращений п имеет размерность . Величины, преобразующиеся по представлениям D^(1/2,0) и , являются спинором и сопряжённым спинором, по ⁾- 4-вектором и т. д. Полная классификация неприводимых представлений Л. г. описывается в терминах параметров j₀, v, связанных с собств. значениями операторов Казимира ф-лами , ; параметр j₀ - положит. целое или полуцелое число, v - любое комплексное число. Представление конечномерно, когда j₀ - целое или полуцелое и, где п - целое. Представление унитарно, когда: 1) v-мнимое; 2) j₀=0, v-вещественно и. Представление Л. г. однозначно при целом и двузначно при полуцелом j₀.

Лит.: Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро 3. Я., Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения, М., 1958; Наймарк М. А., Линейные представления группы Лоренца, М., 1958; Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т., Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля, М., 1969; Румер Ю. Б., Фет А. И., Теория групп и квантованные поля, М., 1977; Эллиот Д ж., Добер П., Симметрия в физике, пер. с англ., т. 1-2, М., 1983; Рамон П., Теория поля. Современный вводный курс, пер. с англ., М., 1984. С. И. Азаков, В. П. Павлов.

   <<      Предметный указатель      >>