Стартовая Предметный указатель Новости науки и техники
Новости науки и техники
POTENTIAL DIFFERENCE: зарядка мобильного за 16 минут
Технология зарядки литий-ионных аккумуляторов (запатентованная еще в 2001 году) позволяет полностью зарядить мобильный девайс в среднем за 16 минут. Производство зарядных устройств нового типа начнется после того, как разработчики проверят, живучесть батарей, заряжаемых быстрым способом Далее...

быстрая зарядка мобильного

лоренца группа

ЛОРЕНЦА ГРУППА - группа вещественных линейных однородных преобразований 4-векторов х=2554-44.jpg={х0, х1, х2, х3} пространства Минковского М4, сохраняющих (индефинитное) скалярное произведение

2554-45.jpg

где g=2554-46.jpg - метрич. тензор в M4 (подразумевается суммирование по повторяющимся индексам). Названа по имени X. А. Лоренца (Н. A. Lorentz). Являясь подгруппой Пуанкаре группы (группы симметрии пространства-времени в отсутствие гравитации), Л. г. играет фундам. роль в релятивистской теории. Инвариантность действия относительно преобразований Л. г. отражает изотропность пространства-времени и влечёт за собой сохранение 4-тензора момента (см. Нетер теорема).

Преобразование 2554-47.jpg из Л. г. задаётся веществ. четырёхрядной матрицей 2554-48.jpg так что2554-49.jpg2554-50.jpg Равенство 2554-51.jpg эквивалентно2554-52.jpg 2554-53.jpg транспонирована к 2554-54.jpg и даёт det2554-55.jpg2554-56.jpg

Л. г. L разбивается на 4 компоненты, связанные между собой в соответствии со знаками det 2554-57.jpg и2554-58.jpg 2554-59.jpg

Здесь ниж. индекс - знак det2554-60.jpg стрелка 2554-61.jpg отвечает знаку + 2554-62.jpg- инверсия (отражение) пространства: (Рх)00, 2554-63.jpg Т - инверсия времени: 2554-64.jpg2554-65.jpgj = 1, 2, 3. Преобразования с det 2554-66.jpg=1 наз. собственными, с2554-67.jpg -ортохронными. Собственная ортохронная группа 2554-68.jpg является подгруппой Л. г.

Л. г.- шестипараметрич. группа Ли; в 2554-69.jpg имеются 3 независимых пространственных вращения 2554-70.jpg на угол а в плоскости2554-71.jpg 2554-72.jpg2554-73.jpg2554-74.jpg 2554-75.jpg и 3 независимых (частных) Лоренца преобразования - гиперболич. повороты (бусты) Воk2554-76.jpg на угол2554-77.jpg в плоскости (х0, xk ):

2554-78.jpg2554-79.jpg

2554-80.jpg2554-81.jpg2554-82.jpg

(здесь i, j, k=1, 2, 3 и их циклич. перестановки). Любой элемент 2554-83.jpg из 2554-84.jpg можно однозначно представить в виде 2554-85.jpg- RB, где R - пространств. вращение вокруг нек-рой оси, а В - гиперболич. поворот в плоскости (x0, n), где п - нек-рое направление.

В приложениях важно соответствие между 2554-86.jpg и группой SL(2, С)комплексных матриц 2X2 с единичным определителем. Каждому 2554-87.jpg из М4 ставится в соответствие эрмитова матрица

2554-88.jpg

где 2554-89.jpg- единичная матрица 2X2, 2554-90.jpg - Паули матрицы; при этом 2554-91.jpg и 2554-92.jpg Тогда каждому преобразованию 2554-93.jpg=2554-94.jpg, где2554-95.jpg С), отвечает преобразование 2554-96.jpg причём 2554-97.jpg=2554-98.jpg Это соответствие двузначно: 2554-99.jpg вращениям R отвечают унитарные матрицы 2554-100.jpg бустам В - положительно (либо отрицательно) определённые эрмитовы матрицы Н=2554-101.jpg а разложению 2554-102.jpg=RB - разложение S = VH. Группа SL (2, С) является универсальной накрывающей Л. г., являясь мин. односвязной группой, гомоморфной Л. г. (см. Группа).

Параметризации Л. г. с помощью углов поворотов отвечает матричное представление её генераторов Mij2554-103.jpg2554-104.jpg(штрих означает здесь производную по углу). Их Ли алгебра характеризуется перестановочными соотношениями:

2554-105.jpg

В трёхмерных обозначениях удобно перейти к комбинациям

2554-106.jpg

где 2554-107.jpg - символ Леви-Чивиты. Тогда алгебра (1) расщепляется в прямую сумму двух алгебр Ли вращений группы 0(3):

2554-108.jpg

Операторы Казимира, коммутирующие со всеми генераторами, имеют вид C1=NiNi, C2=.2554-109.jpg

Неприводимые представления Л. г. (точнее, её подгруппы 2554-110.jpg полностью характеризуются собств. значениями j1, j2 операторов С1, С2. Для конечномерных представлений удобнее трёхмерная реализация (2) алгебры Ли. Вследствие её расщепления представление 2554-111.jpg Л. г. строится как прямое произведение представлений D(j) группы вращений п имеет размерность 2554-112.jpg . Величины, преобразующиеся по представлениям D(1/2,0) и 2554-113.jpg , являются спинором и сопряжённым спинором, по 2554-114.jpg)- 4-вектором и т. д. Полная классификация неприводимых представлений Л. г. описывается в терминах параметров j0, v, связанных с собств. значениями операторов Казимира ф-лами 2554-115.jpg2554-116.jpg, 2554-117.jpg; параметр j0 - положит. целое или полуцелое число, v - любое комплексное число. Представление конечномерно, когда j0 - целое или полуцелое и2554-118.jpg, где п - целое. Представление унитарно, когда: 1) v-мнимое; 2) j0=0, v-вещественно и2554-119.jpg. Представление Л. г. однозначно при целом и двузначно при полуцелом j0.

Лит.: Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро 3. Я., Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения, М., 1958; Наймарк М. А., Линейные представления группы Лоренца, М., 1958; Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т., Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля, М., 1969; Румер Ю. Б., Фет А. И., Теория групп и квантованные поля, М., 1977; Эллиот Д ж., Добер П., Симметрия в физике, пер. с англ., т. 1-2, М., 1983; Рамон П., Теория поля. Современный вводный курс, пер. с англ., М., 1984. С. И. Азаков, В. П. Павлов.

  Предметный указатель