лоренца - максвелла уравнения

ЛОРЕНЦА - МАКСВЕЛЛА УРАВНЕНИЯ - фундам. ур-ния классич. электродинамики, определяющие микроскопич. эл--магн. поля, создаваемые отдельными заряж. частицами. Л--М. у. лежат в основе электронной теории (классич. микроскопич. электродинамики), построенной X. А. Лоренцем в кон. 19 - нач. 20 вв. В этой теории среда рассматривается как совокупность заряж. частиц (электронов и атомных ядер), движущихся в вакууме. Основной постулат теории X. А. Лоренца состоит в предположении, что ур-ния классич. электродинамики (Максвелла уравнения)точно описывают поля в любой точке пространства (в т. ч. межатомные и внутриатомные поля) в любой момент времени t.

В Л--М. у. эл--магн. поле описывается двумя векторами: напряжённостями микроскопич. полей - электрич. е и магн. Л, иногда обозначаемыми также и . Все электрич. токи (за исключением тока смещения) в электронной теории - чисто конвекционные токи, т. е. обусловлены движением заряж. частиц. Плотность тока, где r- плотность заряда, - его скорость.

В дифференц. форме в Гаусса системе единиц Л.- М. у. имеют вид

Микроскопич. напряжённости е и h очень быстро меняются во времени и пространстве вблизи элементарных заряж. частиц и не могут быть измерены классич. измерит, приборами. Для описания макроскопич. процессов прибегают к статистич. методам, к-рые позволяют на основе определённых модельных представлений о строении вещества установить связь между ср. значениями напряжённостей электрич. и магн. полей и усреднёнными значениями плотностей зарядов и токов.

Усреднение микроскопич. величин производится по пространств. и временным интервалам, большим по сравнению с микроскопич. интервалами (порядка размера атомов и времени обращения электронов вокруг ядра), но малым по сравнению с интервалами, на к-рых макроскопич. характеристики эл--магн. поля заметно меняются (напр., по сравнению с длиной эл--магн. волны и её периодом). Подобные интервалы наз. физически бесконечно малыми.

Усреднение Л--М. у. приводит к ур-ниям Максвелла. При этом оказывается, что ср. значение напряжённости электрич. микроскопич. поля е совпадает с напряжённостью электрич. поля Е макроскопич. электродинамики: , а ср. значение напряжённости микроскопич. магн. поля h совпадает с вектором магн. индукции В макроскопич. электродинамики:

В теории Лоренца все заряды разделяются на свободные и связанные (входящие в состав электрически нейтральных атомов и молекул). Можно показать, что макроскопич. плотность связанных зарядов определяется вектором электрич. поляризации Р (электрич. дипольным моментом единицы объёма среды):

а макроскопич. плотность тока связанных зарядов, креме поляризации Р, зависит также от намагниченности М (магн. момента единицы объёма среды):

Векторы Р и М являются макроскопич. характеристиками эл--магн. состояния среды. Вводя два вспомогат. вектора- вектор электрич. индукции

и вектор напряжённости магн. поля

получают макроскопич. ур-ния Максвелла для эл--магн. поля в веществе в обычной форме, с плотностью свободных зарядов и связанной с ними плотностью электрич. тока в качестве источников.

Для построения самосогласованной электронной теории Л--М. у. (1) должны быть дополнены выражением для силы, действующей на заряж. частицы в эл--магн. поле. Объёмная плотность этой силы (Лоренца силы)равна

Сумма усреднённых значений Лоренца сил, действующих на составляющие тело заряж. частицы, определяет макроскопич. силу, действующую на тело в эл--магн. поле.

Ур-ния (1) и (6) позволяют объединить ур-ния электродинамики и механики. Напр., в простейшем случае одной частицы, движущейся с нерелятивистской скоростью, ур-ния (1) следует дополнить ур-нием движения:

где - радиус-вектор центра тяжести заряж. частицы с массой т и зарядом . Эта система ур-ний ещё не является замкнутой, т. к. остаётся открытым вопрос о модели частицы, к-рая необходима для установления зависимости между скоростью центра тяжести частицы и полем скоростей внутри частицы относительно её центра тяжести: . Вектор не определён и требует дополнит. сведений о структуре частицы. Для модели частицы в виде твёрдого, равномерно заряженного шарика радиуса а действующую силу можно представить в виде ряда

Первый член этого ряда имеет форму произведения ускорения на постоянный коэф., к-рый может быть истолкован как дополнит. масса частицы, обусловленная её зарядом, т. е. как эл--магн. поправка к массе частицы:

где - эл--статич. энергия равномерно заряженного по объёму шарика радиуса а. Второй член ряда (8) является не зависящей от модели частицы силой радиац. трения.

Существуют два важных результата, вытекающих из Л--М. у. и не требующих конкретизации модели заряж. частиц.

Закон сохранения энергии электромагнитного поля:

где - плотность энергии эл--магн. поля, - Пойнтинга вектор .Закон сохранения импульса электромагнитного поля:

где Т - Максвелла тензор натяжений,

В модели точечных заряж. частиц, подобных материальным точкам классич. механики, Л--М. у. вместе с ур-нием движения зарядов приобретают вид

где - дельта-функция Дирака, и- координата и скорость i-й заряж. точки. Эта система ур-ний, однако, не вполне корректна, т. к. в правой части ур-ния движения частиц содержится величина, к-рая в точке нахождения заряж. частицы фактически принимает бесконечное значение. Это не удивительно, поскольку эл--статич. энергия точечного заряда бесконечна. Поэтому в последнем из ур-ний (11) приходится исключать действие поля данной частицы на саму частицу (т. е. суммировать только по ). Член с можно перенести в левую часть и считать, что соответствующая ему бесконечная эл--магн. масса вместе с "механич." массой дают наблюдаемую полную конечную массу частицы (эта идея в квантовой теории поля принимает форму т. н. перенормировки).

Подобно системе ур-ний Максвелла, Л--М. у. допускают релятивистски ковариантную запись, если ввести соответствующие тензоры эл--магн. микрополя и 4-вектор микроплотности тока.

В квантовой электродинамике Л--М. у.- основа для квантового обобщения эл--магн. процессов. Здесь е и Л становятся операторами, а r и pv выражаются через операторы полей частиц, взаимодействующих с эл--магн. полем (напр., электронов). Получаемые при этом квантовые Л--М. у. справедливы не как точные ур-ния, связывающие операторы эл--магн. поля и частиц между собой, а как ур-ния для результатов действия этих операторов на волновые ф-ции реально осуществляющихся состояний системы.

Лит.: Лоренц Г. А., Теория электронов и ее применение к явлениям света и теплового излучения, пер. с англ., 2 изд., М., 1956; Беккер Р., Электронная теория, пер. о нем., Л.- М., 1936; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория поля, 7 изд., М., 1988. Е. В. Суворов.

   <<      Предметный указатель      >>