магнуса разложение

МАГНУСА РАЗЛОЖЕНИЕ - решение дифференц. ур-ния для оператора временной эволюции в экспоненц. форме.

Во взаимодействия представлении оператор временной эволюции произвольной квантовой системы удовлетворяет дифференц. ур-нию

с граничным условиемЗдесь - опера-

тор взаимодействия системы с внеш. полем, записанный в представлении взаимодействия:

- невозмущённый гамильтониан - единичный оператор). В общем случае операторы, взятые в разные моменты времени, не коммутируют между собой и ур-ние (1) не интегрируется так же просто, как в классич. физике. Решение (1) может быть представлено в виде экспоненциального M. р. [1-3]:

Операторы представляют собой h-кратные интегралы от (п - 1)-кратных коммутаторов операторов , взятых в разные моменты времени. В нек-рых случаях ряд в экспоненте (2) обрывается и оператор временной эволюции записывается в конечном виде. Так происходит, напр., в задаче об эволюции гармо-нич. осциллятора, на к-рый действует произвольная внеш. сила [4], и в задаче об эволюции в поле, линейном по координатам г и импульсам r произвольной квантовой системы с гамильтонианом, квадратичным по г и r [5]. M. р. используется при построении теории внезапных возмущений в процессах "встряски" типа рассеяния (см. Внезапных возмущений метод). В нулевом порядке по параметру "мгновенности" (т - характерное время взаимодействия,- типичные собств. значения невозмущённого гамильтониана) оператор временной эволюции отличается от (2) заменой вна

где t₀ - момент "встряски".

M. р. удобно для построения разл. рода унитарных теорий возмущений, т. к. ввиду эрмитовости операторов A_n любой способ обрывания бесконечного ряда в экспоненте (2) не нарушает унитарности оператора эволюции S(t,t').

Матем. структура операторов или допускает иногда суммирование бесконечного числа членов M. р. Как правило, это происходит в тех случаях, когда[а чаще представляет собой линейную комбинацию генераторов Lj конечной Ли алгебры с коэффициентами a_j(t) - линейно-независимыми ф-ция-ми времени:

n - размерность алгебры Ли. Наиб, естественное и простое в матем. отношении решение диффе-ренц. ур-ния для оператора эволюции, альтернативное M. р., записывается в конечной форме в виде произведения нескольких (в зависимости от числа генераторов группы) экспоненц. операторов

Такой подход, эквивалентный суммированию членов в M. р., наз. процедурой временного упорядочивания Вэя - Нормана [6]. Неизвестные ф-ции времени удовлетворяют системе дифференц. ур-ний вида

с граничными условиями- нелинейные функции от . Решения этой системы исследуются как для конкретных физич. задач теории излучения и квантовой оптики, так и для моделей, включающих алгебры Ли SU (1,1), SU(2), SU(3) и др.

Лит.: 1) Magnus W., On the exponential solution of differential equations for a linear operator, "Comm. Pure and Appl. Math.", 1954, v. 7, p. 649; 2) Wilcox R. M., Exponential operators and parameter differentiation in quantum physics, "J. Math. Phys.", 1967, v. 8, № 4, p. 9C2; 3) Pесhukas Ph., Light J. C., On the exponential form of timedisplacement operators in quantum mechanics, "J. Chem. Phys.", 1966, v. 44, JMs 10, p. 3897; 4) Дыхнe A. M., Юдин Г. Л., "Встряхивание" квантовой системы и характер стимулированных им переходов, "УФН", 1978, т. 125, в. 3, с. 377; 5) Юдин Г. Л.,Куло-новская ионизация атома быстрым многозарядным ионом, "ЖЭТФ", 1981, т. 80, в. 3, с. 1026; 6) Wei J., Nоrman E., Lie algebraic solution of linear differential equations, "J. Math. Phys.", 1963, v. 4, M 4, p. 575. Г. Л. Юдин.

   <<      Предметный указатель      >>