Стартовая Предметный указатель Новости науки и техники
Новости науки и техники
Водород, как альтернативное топливо.
Как известно наша планета богата энергоносителями, которые, вот уже не одну сотню лет, исправно служат человеку, делая его жизнь более комфортной. Но так же известно, что запасы полезных ископаемых, из которых получают эти энергоносители, с каждым годом всё уменьшаются, а их стоимость в связи с этим растёт, не говоря уже о загрязнении окружающей среды путём выброса в атмосферу продуктов сгорания. Далее...

Марковское приближение

марковского процесса приближение

МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА ПРИБЛИЖЕНИЕ - приближённый метод решения дифференц. ур-ний, содержащих случайные параметры; основан на малости отношения времени корреляции воздействий3009-41.jpgко времени корреляции отклика3009-42.jpgФормально соответствует пределу 3009-43.jpg Непосредственно применим лишь к причинным задачам, в к-рых значения динамич. переменных в нек-рый момент времени функционально не зависят от последующих по времени значений случайных параметров. В физ. задачах M. п. п. является гл. членом разложения по малому параметру3009-44.jpg и, в отличие от методов теории возмущений, допускает описание сильных флуктуации, возникающих в физ. системе под влиянием случайных воздействий.

Пусть поведение динамической системы описывается обыкновенными дифференц. ур-ниями:

3009-45.jpg

Здесь3009-46.jpg- детерминиров. ф-ции своих аргументов, а 3009-47.jpg- случайная ф-ция (n+1)

переменной, обладающая след, свойствами ((...) означает статистич. усреднение,3009-48.jpg


3009-49.jpg


В ур-нии (1) случайна как сама ф-ция3009-50.jpgпри детерминиров. аргументах, так и ф-ции3009-51.jpgвходящие в аргумент3009-52.jpg. Условия (2) - (4) накладываются на случайные f-ции3009-53.jpgпри детерминиров. аргументах.

Если реальную корреляц. ф-цию (3) заменить ф-цией вида 3009-54.jpg

и считать, что входящие в (1) гауссовы случайные ф-ции характеризуются корреляц. ф-цией3009-55.jpg то это соответствует замене истинного времени корреляции3009-56.jpg нулём и эквивалентно переходу к M. п. п. При этом в (1) возникают два стремящихся к нулю временных масштаба: один - при вычислении производной3009-57.jpg

3009-58.jpg другой - при стремлении к нулю 3009-59.jpg Ниже предельный переход3009-60.jpg совершают после выполнения перехода 3009-61.jpg т. е. предполагают, что3009-62.jpgФ-ции3009-63.jpgнаходят из условия

3009-64.jpg

При сделанных предположениях плотность вероятностей

3009-65.jpg

решения системы (1) удовлетворяет Эйнштейна - Фоккера - Планка уравнению

где3009-66.jpg

по повторяющимся индексам производится суммирование. Совместная плотность вероятностей для величин 3009-67.jpg при3009-68.jpg в этом случае

распадается на произведение

3009-69.jpg

а ф-ция 3009-70.jpg (переходная вероятность) удовлетворяет по переменным х, t ур-нию (5) с нач. условием 3009-71.jpg T. о., случайный процесс 3009-72.jpg является марковским.

В реальных физ. задачах время корреляции флуктуации всегда конечно и вопрос о пригодности M. п. п. сводится к учёту конечности малого параметра3009-73.jpg Одно из условий применимости M. п. п. всегда имеет вид 3009-74.jpg но обычно возникают и др. условия.

M. п. п. применимо и к причинным задачам, описываемым ур-ниями с частными производными, однако здесь уже нет такой универсальной формулировки, как для обыкновенных дифференц. ур-ний.

Задачи, описываемые дифференц. ур-ниями с двухточечными граничными условиями (напр., в задаче о распространении волны одно из граничных условий ставится в точке возбуждения волны, а второе описывает её отражение от нагрузки в конце), непосредственно нельзя описывать M. п. п. Однако в ряде случаев такие задачи можно свести к вспомогат. задачам Коши (методом инвариантного погружения или др. способами), после чего к ним применимо M. п. п.

Лит.: Кляцкин В. И., Татарский В. И., Приближение диффузионного случайного процесса в некоторых нестационарных статистических задачах физики, "УФН", 1973, т. НО, с. 499; Введение в статистическую радиофизику, ч. I - Pытов С. M., Случайные процессы, ч. 2 - Pытов С. M., Кравцов Ю. А., Татарский В. И., Случайные поля, M., 1976-78; Кляцкин В. И., Стохастические уравнения и волны в случайно неоднородных средах, M., 1980.

В. И. Татарский.


  Предметный указатель