матричные методы

МАТРИЧНЫЕ МЕТОДЫ в оптике - использование матриц для описания поведения параксиальных (с малыми углами наклонов) световых пучков в оптич. системах с круговой симметрией, включающих элементы из однородной либо "линзоподобной" среды с плоскими или сферическими поверхностями. Преобразование поперечных координат х, у и углов наклона а_х, а_у лучей при прохождении через подобную систему описывается лучевой матрицей

элементы к-рой А, В, С, D однозначно связаны с такими характеристиками оптич. системы, как фокусное расстояниеи положение гл. плоскостей в частности, есликоординатам и углам наклона луча на входной плоскости оптич. системы придать индекс "1", а на выходной плоскости индекс "2", то преобразование луча запишется в виде

Входная и выходная плоскости всегда считаются расположенными в среде с показателем преломления (при необходимости рассмотрения траекторий лучей внутри среды с- в местах воображаемых её разрезов). Из (1) видно, что проекции траектории луча на две взаимно перпендикулярные осевые плоскости могут рассматриваться независимо друг от друга и единообразно.

Если имеется оптич. систем, расположенных так, что выходная плоскость системы с матрицей совмещена со входной плоскостью системы, обладающей матрицей M₂ и т. д. вплоть до системы с матрицей то прохождению всей их совокупности соответствует матрица Это позволяет рассчитывать матрицы сложных оптич. систем, исходя из знания матриц входящих в них элементов.

Любая оптич. система указанного выше класса может быть разбита на простейшие элементы всего двух типов - тонкие линзы и участки однородной среды. Матрица тонкой линзы с фокусным расстоянием имеет элементы матрица участка длиной l однородной среды с показателем преломления h состоит из элементов

Участок "линзоподобной" среды, т. е. среды, показатель преломления к-рой меняется как , может быть представлен в виде набора исчезающе тонких слоев однородной среды, разделённых линзами. Матрица такого участка состоит из элементов = (l - длина участка).

Поскольку определители матриц простейших элементов равны единице, то у лучевых матриц любых оптич. систем

Если считать, что при движении назад по тому же лучу все его координаты остаются прежними, данная матрица описывает прохождение света через ту же систему в обратном направлении. Чаще, однако, заменяют знаки углов наклона на противоположные, тогда матрица прохождения системы в обратном направлении приобретает вид

Эти же самые матрицы используются и в скалярном приближении теории дифракции для нахождения ф-ции отклика системы (Грина функции). Поле при этом считается монохроматическим стационарным с комплексной амплитудой действцт. часть к-рой равна . Распределение амплитуды на выходной плоскости системы при известном распределении u(x₁ , y₁) на входной и в отсутствие потерь света из-за наличия непросветлённых преломляющих поверхностей, диафрагм и т. п. находят по ф-ле

Здесь- длина волны в вакууме-волновое число, L₀ - измеренное вдоль оси оптич. расстояние между входной и выходной плоскостями системы, А, В, D - элементы её лучевой матрицы. Величинапредставляет собой эйконал - оптич. расстояние между точкамина входной плоскости и на выходной, измеренное вдоль проходящего через эти точки луча, распространяющегося по законам геом. оптики.

Если входная и выходная плоскости оптически сопряжены, то В - О, тогда (2) заменяется соотношением

в этом случае входное распределение поля воспроизводится на выходной плоскости с увеличением с изменением интенсивности и дополнит, фазовым множителем.

В качестве примера использования M. м. найдём распределение поля в фокальной плоскости линзы с фокусным расстоянием по распределению непосредственно перед линзой. Оптич. система, состоящая в данном случае из линзы и участка пространства
длинойимеет матрицу

тогда из (2) следует, что

Видно, что искомое распределение с точностью до вынесенного из-под интеграла фазового множителя является фурье-образом исходного распределения.

M. м. особенно широко используются в теории оптических резонаторов для составления интегральных ур-ний, к-рым удовлетворяют поля мод резонаторов, и для описания эволюции рождающихся во многих резонаторах пучков с "самовоспроизводящейся" (сохраняющей свою форму при распространении) структурой, простейшим из к-рых является гауссов. Распределение поля гауссова пучка ширины w с радиусом кривизны волнового фронта r пропорционально

где- т. н. комплексный радиус кривизны, определяемый соотношением

Подстановка этого распределения в (2) показывает, что гауссов пучок с исходнымпо прохождении любой оптич. системы остается гауссовым, имея на выходе системы

ф-ла (4) обычно наз. "законом ABCD".

Соотношения (2) - (4), описывающие прохождение пучка света через оптич. системы с учётом дифракции, остаются справедливыми и в тех случаях, когда оптич. система содержит гауссовы диафрагмы с амплитудным пропусканием, пропорциональным + либо участки "линзоподобной" среды с комплексным п₂ (что соответствует наличию поглощения или усиления, квадратично зависящего от поперечных координат). Матрица системы при этом вычисляется по обычным правилам с подстановкой матриц гауссовых диафрагм вида

и матриц участков "линзоподобной" среды с комплексным показателем преломления, для к-рых остаются справедливыми прежние ф-лы при условии подстановки в них комплексного п₂. Поскольку эти матрицы комплексны, комплексной становится и матрица оптич. системы, включающей такие элементы, полностью теряя свой геом. смысл; чтобы это подчеркнуть, комплексные матрицы, в отличие от лучевых, нередко наз. волновыми матрицами. Теряя экстремальные свойства, перестаёт быть оптич. расстоянием и величина, определяемая ф-лой (3); в подобных случаях её наз. комплексным эйконалом.

Аналогичный матем. аппарат с матрицамииспользуется как в геом., так и в дифракц. приближениях для систем с астигматич. элементами.

M. м. применяются также для описания преобразования поляризац. характеристик света при его прохождении через системы, содержащие двулучепреломляющую среду, поляризаторы и т. п. (см. Джонса матричный метод и Мюллера матрица).

Лит.: Джеррард А.,Бёрч Д ж. M., Введение в матричную оптику, пер. с англ., M., 1978; Ананьев Ю. А., Оптические резонаторы и лазерные пучки, M., 1990.

Ю. А. Ананьев.

   <<      Предметный указатель      >>