маятник

МАЯТНИК - твёрдое тело, совершающее под действием приложенных сил колебания около неподвижной точки или оси. В физике под M. обычно понимают разл. колебат. систем с симметрией эллипса. Введены Э. Матьё (E. Mathieu) в 1868.

Единого определения и единых обозначений для M. ф. не существует. Обычно под M. ф. (1-го рода) понимают периодические (с периодом решения ур-ния (1), удовлетворяющие граничным условиям

[нечётные M. ф., обозначаемые, где

число нулей на интервалеили

[чётные M. ф., обозначаемые, где n = 0, 1, 2,...-

число нулей на интервале. Приэти ф-ции сводятся к тригонометрическим.

M. ф. существуют лишь в том случае, когда точка (а, b) в пространстве параметров ур-ния (1) лежит на границе зоны устойчивости, внутри к-рой решения ур-ния (1) ограничены. Граничные условия (2) и (3) определяют M. ф. с точностью до множителя, к-рый можно задать, выбрав надлежащие условия нормировки, напр.

Менее распространены M. ф. 2-го рода - непериодические решения ур-ния (1), обозначаемыеи

M. ф. можно получить и как решения интегрального ур-ния; они удовлетворяют соотношениям ортогональности, вытекающим из ур-ния (1) и граничных условий (2) и (3):

M. ф. допускают разложение в ряды Фурье (суммирование по чётным r для чётных т и по нечётным r для нечётных т), а также в ряды по ф-циям Бесселя и произведениям ф-ций Бесселя.

Модифицированные M. ф. (1-го рода) определены как

они удовлетворяют ур-нию, к-рое получается из ур-ния (1) при замене на (модифициров. ур-ние Матьё).

Лит.: Уиттекер Э. Т., Ватсон Д. H., Курс современного анализа, пер. с англ., ч. 2, 2 изд., M., 1963; Mак -Лахлан H. В., Теория и приложения функций Матьё, пер. с англ., M., 1953; Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., [т. 3], M., 1967.

Ю. А. Данилов.

   <<      Предметный указатель      >>