метрика пространства-времени

МЕТРИКА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ - основная геом. структура, к-рой наделяется пространственно-временное многообразие в специальной и общей теории относительности; определяется заданием поля симметричного ковариантного тензора 2-го ранга с отличным от нуля определителем - метрического тензора.

Метрич. тензор в спец. теории относительности имеет вид(1, -1, -1, -1) (псевдоэвклидова метрика сигнатуры -2); пространственно-временное многообразие с такой метрикой наз. пространством-временем Минковского. В общей теории относительности вводится метрич. тензорболее общего вида, удовлетворяющий, однако, требованию,чтобы в достаточно малой окрестности любой заданной пространственно-временной точки c спец. выбором координат можно было свести к; такое пространство-время (п--в.) является пссвдоримановым пространством сигнатуры -2.

M. п--в. задаёт квадрат интервала - "расстояния" между событиями, с к-рыми сопоставляются точки п--в.:

При преобразованиях пространственно-временных координат метрич. тензор, вообще говоря, изменяется (такие преобразования включают и переход к произвольно движущейся в каждой точке системе отсчёта) так, чтобы величина ds~ оставалась инвариантной. Существуют, однако, преобразования, оставляющие метрич. тензор фор-минвариантным (преобразования изометрии), они выражают собой геом. симметрии п--в., обусловленные физ. содержанием теории. Так, метрич. тензор п--в. Минковского в спец. теории относительности не изменяется при преобразованиях координат из группы Пуанкаре, включающих переносы начала отсчёта пространственных координат и времени, повороты пространственных осей и Лоренца преобразования .Поскольку последние интерпретируются как описывающие переход от одной инерц. системы отсчёта к другой, инвариантность метрики п--в. Минковского означает, что ур-ния, записанные в лоренц-ковариантной форме, будут автоматически удовлетворять относительности принципу Эйнштейна.

В общей теории относительности существование преобразований, не изменяющих M. п--в., возможно лишь при наличии соответствующих симметрии гравитац. поля. Так, метрич. тензор п--в. Шварцшильда инвариантен относительно пространственных поворотов и временных сдвигов, что отражает центр, характер гравитац. поля и его статичность; структура метрич. тензора в моделях Фридмана, описывающих крупномасштабную структуру п--в. Вселенной в целом, отражает факт однородности и изотропии Вселенной в больших масштабах (см. Тяготение). Если нек-рое преобразование изометрии порождается векторным полем, то такое векторное поле наз. полем Киллинга (W. Killing, 1892) и удовлетворяет ур-нию где точкой с запятой обозначена ковариантная производная, согласованная с метрикой.

Следует иметь в виду, что M. п--в. отражает не только характер гравитац. поля, но и выбор системы координат в п--в. (системы отсчёта). Так, переход к криволинейным координатам в п--в. Минковского (к ускоренной системе отсчёта) приводит к метрич. тензору общего вида, однако собственно гравитац. поля в этом случае нет. Истинное гравитац. поле связано с тензором кривизны Римана - Кристоффеля, к-рый равен нулю в плоском п--в. в любой системе отсчёта.

M. п--в. в случае слабого гравитац. поля непосредственно связана с ньютоновским гравитац. потенциалом а именно: малые добавки, характеризующие отклонение метрики от плоской, причём

Помимо задания расстояний в пространстве-времени, M. п--в. служит для определения "длины" 4-векторов А , а также позволяет ввести операции поднятия и опускания индексов у векторов и тензоров. Определитель метрич. тензора задаёт инвариантный элемент объёма в п--в.:- определитель метрич. тензора.

Лит. см. при ст. Относительности теория, Тяготение. ^ Д. В. Галъцов.

   <<      Предметный указатель      >>