метрический тензор

МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР - дважды ковариантный симметричный тензор заданный в области риманова пространства с координатами, причём матрица положительно определена:

, если вектор(принято соглашение о суммировании по повторяющимся индексам). При замене координат M. т. переходит в

M. т. иногда наз. римановой метрикой, поскольку он определяет расстояние в ри-мановом пространстве: если задана кривая ,

то её длина

а элемент длины ds определён ф-лой правая часть к-рой наз. первой (основной) квадратичной формой. Элемент объёмаа объём

V(U)области U равен

где Если существуют координаты, в

к-рых M. т. имеет вид где - Кронекера символ, то метрика наз. евклидовой, а сама область риманова пространства является областью евклидова пространства.

Кроме М. т., в римановом пространстве вводится ещё одна независимая структура - связность ,задающая ковариантную производнуюM. т. наз. согласованным со связностью, если он ковариантно постоянен: Тогда коэф. связности, или Кристоффеля символы ,однозначно выражаются через M. т.:

В окрестности любой точкиможно ввести нормальные (римановы) координаты, такие, чтоили Тогда в этой окрестности

Коэф. характеризуют отличие M. т. от евклидова и являются компонентами кривизны тензора .Помимо внутр. характеристик многообразия, M. т. задаёт скалярное произведение векторов икасательных к многообразию в данной точке: скалярное произведение не зависит от выбора системы координат.

Понятие M. т. общеупотребительно при описании сплошной среды, при формулировке теории поля в криволинейных координатах, а особенно - в теории относительности и теории тяготения.

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Теория поля, 7 изд., M., 1988; Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., M., 1967; Fон В. А., Теория пространства, времени и тяготения, 2 изд., M., 1961; Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., M., 1986. В. П. Павлов.

   <<      Предметный указатель      >>