монте-карло метод

МОНТЕ-КАРЛО МЕТОД (метод статистических испытаний) - численный метод решения разл. задач при помощи моделирования случайных событий. В приложении к физике M.-К. м. можно определить как метод исследования физ. процесса путём создания и эксплуатации стохастич. модели, отражающей динамику данного процесса.

Если физ. процесс описывается k величинами (переменными) p₁, ...,p_k, к-рые можно рассматривать как случайные величины с плотностью распределения F(p_1, . ..,p_k), и требуется оценить плотность распределения нек-рой характеристики f данного процесса, являющейся ф-цией переменных, f= f(p₁,...,p_k), или совокупности таких характеристик f₁,...,f_m, то M.-К. м. состоит в следующем. Создаётся алгоритм, реализуемый в виде программы на ЭВМ или в виде спец. устройства (электронного, механического или др.). Назначение алгоритма - многократно генерировать набор величин q₁,...,q_k с плотностью вероятности F. Процедуру многократного получения набора {q_j} наз. моделированием физ. процесса; числа q_j отождествляют с переменными p_j. Для каждого конкретного набора {q_jⁱ} вычисляют величину f(qⁱ₁,...,qⁱ_k); получив достаточно большое число N наборов {q_j}, можно оценить ср. значение величины f, её дисперсию и поведение ф-ции распределения плотности вероятности. Такой подход наз. прямым моделированием. При т. н. косвенном моделировании процесс описывают одним или неск. ур-ниями (дифференц., интегральными или др.), к-рые решают затем с помощью M.-К. м. С матем. точки зрения обе процедуры эквивалентны вычислению интеграла по нек-рой многомерной области. Кратность вычисляемого интеграла варьируется от 10-20 (в нек-рых задачах физики элементарных частиц) до ~10⁶ (в расчётах на решётке).

M.-К. м. был сформулирован в 1949 в работах Дж. Неймана (J. Neumann), С. Улама (S. Ulam), H. Метрополиса (N. Metropolis). Предшественник M.-К. м. - статистическое моделирование, известное ещё в 19 в. Классич. примером такого моделирования является "игла Бюффона", т. е. получение числа p путём случайного бросания иглы на горизонтальную поверхность, расчерченную сеткой равноотстоящих параллельных линий. С появлением быстродействующих компьютеров метод обрёл второе рождение и получил в 1949 назв. "метод Монте-Карло".

Техника моделирования. Обычно M.-К. м. реализуют в виде программы на универсальной ЭВМ. Ранее применялись механич. устройства, ныне всё чаще используют спец. моделирующие устройства с применением микропроцессоров. С помощью таких устройств получен ряд результатов в статистич. физике и квантовой теории поля.

Для реализации случайной величины в M.-К. м. традиционно используют датчики, генерирующие случайную последовательность чисел, равномерно распределённых на интервале (0,1). Различают три типа случайных чисел. Истинно случайные числа можно вырабатывать, напр., преобразуя случайные сигналы от радиоакт. источника или от шумового диода. Таким способом можно достаточно быстро получать большие последовательности некоррелированных случайных чисел. В расчётах на ЭВМ используют псевдослучайные числа, полученные с помощью нек-рого алгоритма. Назначение такого алгоритма - генерировать числа, к-рые похожи на случайные, хотя, строго говоря, они детерминированы. Необходимы спец. исследования и тесты, чтобы убедиться в достаточной случайности таких чисел (равномерность распределения, отсутствие корреляций и пр.). Квазислучайные числа также получают при помощи нек-рого алгоритма, причём в основу алгоритма закладывают требование равномерного заполнения точками заданного многомерного объёма. Известен ряд алгоритмов, дающих точки, распределённые в гиперкубе более равномерно, чем случайные и псевдослучайные. Следствием лучшей равномерности является более быстрая сходимость результата.

Использование M.-К. м. в физике базируется гл. обр. на возможности его применения для вычисления интегралов, решения интегральных ур-ний и др. Пусть требуется вычислить интеграл , где W - конечная k-мерная область определения. Алгоритм вычисления в M.-К. м. основан на теореме о среднем: , где V - объём области W. Выберем k-мерный параллелепипед с объёмом W, содержащий область W, и выберем случайным образом достаточно большое число N точек, равномерно распределённых в этом параллелепипеде. Для M точек, попавших при этом в область W, вычислим значение ф-ции f. Оценку интеграла даёт величина

Если в области W точки распределены с плотностью вероятности р(х), то, зная объём V, можно получить след. оценку интеграла:

Алгоритм решения интегрального ур-ния

M.-К. м. таков. Для достаточно широкого класса ядер К(х,у)приближённое решение можно искать в виде суммы

где

Пусть далее нам нужно найти функционал

Построим стохастич. процесс, соблюдая след. правила. Будем многократно строить цепочки из M случайных точек. Первая точка x₀ всегда "бросается" в область W с плотностью вероятности f(x)(с точностью до нормирующего множителя); переход от точки x_m-1 к точке х_т определяется плотностью вероятности К(х_т-1, x_m)dx_m. Можно показать, что матем. ожидание

случайной величины равно искомому функционалу Ф. Вообще говоря, можно осуществлять переход x_m-1-> х_т с произвольной плотностью вероятности P(x_m-1, x_m)dx_m. При этом случайная величина, с помощью к-рой оценивается функционал, вычисляется по ф-ле

При моделировании физ. процесса важно выбрать оптим. ф-цию р(х)[или Р(х_т-1, х_т)]. Разработке методов, позволяющих правильно выбрать эти ф-ции, посвящено большинство работ, связанных с вопросом ускорения сходимости. Перспективным является, напр., адаптивный метод, при к-ром ф-ция р(х)"настраивается" в процессе моделирования на данную подынтегральную ф-цию f(x).

Применения M.-К. м. В нейтронной физике осн. задачами являются моделирование прохождения потока нейтронов в среде, расчёт коэф. размножения нейтронов в ядерном реакторе, расчёт защиты реактора и др. Используют как прямое, так и косвенное моделирование. В первом случае в объёме реактора моделируют набор нек-рого числа нейтронов с заданными скоростями (первое поколение). Для каждого нейтрона прослеживают его судьбу (поглощение, вылет из реактора, деление). Образовавшиеся в результате деления нейтроны - это второе поколение, судьбу к-рых прослеживают аналогично. После моделирования достаточно большого числа поколений можно оценить критичность режима реактора. Метод удобен тем, что позволяет учитывать любую геом. форму реактора, наличие неоднородных примесей и пр. Однако время расчётов может быть существенно больше, чем при косвенном моделировании, когда движение нейтронов описывают интегральным ур-нием переноса. Для решения ур-ния составляют цепь Маркова. Характеристики поведения системы (в т. ч. и коэф. размножения) являются функционалами от состояний этой цепи и могут быть оценены стандартными методами.

В физике элементарных частиц одним из первых применений M.-К. м. было моделирование электронно-фотонных ливней. Успех метода в приложении к этой задаче определяется тем, что классич. описание процесса, хотя и не представляет принципиальных трудностей, практически бесполезно из-за чрезмерно большого числа переменных. Решение проблемы с помощью M.-К. м. сводится к после-доват. моделированию судьбы каждой частицы (гамма-кванта, электрона или позитрона), участвующей в процессе, и моделированию соответств. элементарного акта взаимодействия. При этом возникают параметры вторичных частиц, судьбу к-рых прослеживают аналогично. Имеется ряд прикладных программ, работающих по этому принципу, однако для сверхвысоких энергий (~1 ТэВ) прослеживание всех частиц ливня требует нереально большого машинного времени.

M.-К. м. используется также при анализе данных, полученных в экспериментах с элементарными частицами. В результате взаимодействия двух частиц образуется ряд вторичных частиц; нек-рые из них нестабильны и распадаются, образуя новые частицы. Весь каскадный процесс описывается совокупностью k переменных p₁, ..., p_k. Плотность распределения этих переменных определяется теорией или моделью, используемой для интерпретации данной реакции. Соот-ветств. ф-ла может включать ряд неизвестных параметров h₁, . ..,h_m, для определения к-рых проводят физ. эксперимент. T. о., полную плотность вероятности можно записать в виде F (p₁, ...,p_k; h₁,...,h_m). С помощью физ. установки (детектора) регистрируют все или нек-рые из частиц, участвующих в реакции. В каждой конкретной реакции измеряют нек-рые величины u₁,..., u_n, являющиеся ф-циями тех же переменных p_i и параметров h_j. Зарегистрировав достаточно большое число событий, можно экспериментально оценить плотность вероятности величин u_j: r(u₁,..., u_n) и путём сопоставления этой ф-ции с теоретически предсказываемой определить параметры h. Обычно для этого применяют наименьших квадратов метод или (в более общем случае) максимального правдоподобия метод .При использовании конкретной физ. методики (фотоэмульсия, пузырьковая камера, спектрометр с искровыми, пропорциональными или дрейфовыми камерами) непосредств. результатом эксперимента является произведение ф-ции r на т. н. приборную ф-цию или эффективность e(p₁,...,p_k). Очевидно, что при анализе соответств. распределений необходимо учитывать искажения, вносимые детектором. Общепринятым методом расчёта эффективностей к является M.-К. м.

Моделирование взаимодействий и процесса прохождения вторичных частиц через детектор даёт возможность определить геом. эффективность детектора, т. е. долю регистрируемых событий от их полного числа. Имитация траекторий или сигналов в детекторах (сцинтилля-ционных, черепковских и др.) позволяет производить обратную реконструкцию моделиров. событий и сравнивать найденные т. о. кинематич. характеристики с истинными. С помощью такой процедуры определяют разрешающую способность детектора.

В квантовой теории поля M.-К. м. интенсивно используют для расчётов в калибровочных теориях на решётке. Наиб. эффективно применение этого метода к тем явлениям в квантовой хромодина-мике (KХД), к-рые обусловлены взаимодействием кварков на сравнительно больших расстояниях. Как известно, в КХД с увеличением расстояния растёт и эфф. константа связи, что делает невозможным применение теории возмущений. Одним из осн. средств исследования в т. н. непертурбативной области КХД стал метод численного расчёта на четырёхмерной решётке. В таком подходе используют формулировку КХД с помощью функциональных интегралов, при этом средние по квантовым флуктуациям полей в каждой точке пространства-времени представлены в виде интегралвв. Эти интегралы вычисляют с применением M.-К. м. Точность расчётов улучшается с увеличением размера решётки, однако при этом существенно растёт время, затрачиваемое на вычисления. Даже наиб. мощные ЭВМ способны обеспечить проведение расчётов на решётках лишь сравнительно небольшого размера. Качеств. скачок в этом направлении возможен при использовании спец. счётных устройств, включающих большое кол-во автономных микропроцессоров. Наиб. интересные результаты: вычисление спектра масс чисто глюонных частиц (глюболов), оценка темп-ры фазового перехода адронной материи в кварк-глюонную плазму и расчёт потенциала взаимодействия на больших расстояниях. Учёт кварков при расчётах на решётке даёт возможность вычислить спектр масс адронов, т. е. почти всех элементарных частиц. Сделанные до сих пор оценки имеют не очень высокую точность.

В статистич. физике использование M.-К. м. имеет свою специфику и тесно переплетается с др. численным методом - молекулярной динамики методом. Одно из направлений в этой области - исследование физики жидкости. Традиц. модель, применяемая для описания жидкости,- система твёрдых сфер либо твёрдых дисков. Обычно исследуют модель, содержащую от неск. десятков до тысячи таких сфер. Варьируя конкретный вид взаимодействия между этими объектами, можно моделировать поведение таких сред, как классич. жидкость, электролитич. раствор или жидкий металл. Методика моделирования плазмы различна для разл. плотности электронов. При высокой плотности (характерной, напр., для белых карликов) электронный газ вырожден и рассматривается как неподвижная среда, в к-рой движутся ионы (однокомпонентная плазма). При меньшей плотности необходимо учитывать поляризацию электронного фона и эффекты экранирования. Поведение такой плазмы исследуют, напр., с помощью модели заряж. твёрдых сфер, движущихся в однородном фоне. M.-К. м. (наряду с молекулярной динамики методом)применяют также для изучения поверхностных явлений в жидкостях.

M.-К. м. даёт возможность практич. исследования фазовых диаграмм смесей и магн. систем. Осн. проблемы в этой области связаны с изучением упорядоченных состояний систем и с определением области устойчивости. Много работ посвящено природе фазовых переходов и поведению системы вблизи критич. точки, а также динамике этого процесса. Чаще всего эти проблемы исследуются на Изинга модели.

M.-К. м. применяют также для исследования квантовых жидкостей и кристаллов. С помощью этого метода можно решать ур-ния Шрёдингера и получать точные численные оценки для характеристик осн. состояния бозонной системы.

Важное практич. применение M.-К. м. нашёл в ядерной геофизике. Широкое использование нейтронного и гамма-каротажа при поиске полезных ископаемых делает актуальными задачи переноса излучения в многокомпонентной среде и оценки ф-ции отклика прибора с учётом реальных геологич. и техн. условий измерения. Решение этих задач основано на применении M.-К. м.

В 1980-х гг. прямое статистич. моделирование стало применяться в аэро- и гидромеханике. Типичной задачей в этой области является обтекание тела произвольной геометрии высокоскоростной струёй разреженного газа. Процесс описывается нелинейным ур-нием Больцмана, и оценки эксперим. величин (напр., распределение потоков импульса и энергии на поверхности тела) проще получаются с применением M.-К. м. Лит.: Метод Монте-Карло в проблеме переноса излучений, M., 1967; Соболь И. M., Численные методы Монте-Карло, M., 1973; Ермаков С. M., Михайлов Г. А., Статистическое моделирование, 2 изд., M., 1982; Методы Монте-Карло в статистической физике, пер. с англ., M., 1982; Кройц M., Кварки, глюоны и решетки, пер. с англ., M., 1987.

Г. Г. Тахтамышев.

   <<      Предметный указатель      >>