Новости науки и техники

Современные лазерные телевизоры
Достоинства новейших лазерных телевизоров, только недавно появившихся на западных рынках

Не успел рядовой потребитель толком порадоваться современным плазменным или жидкокристаллическим телевизорам, как на смену пришли новейшие лазерные телевизоры.
Придется ли в ближайшем будущем отказываться от так понравившейся Плазмы? Далее...

Laser TV

мультипольное излучение

МУЛЬТИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ -излучение, обусловленное изменением во времени мультипольных моментов системы. Излучение огранич. системы источников представляет собой расходящиеся сферич. волны, так или иначе промодулированные по угл. переменным. Его анализ естеств. образом приводит к разложению излучаемого поля по полному набору сферических функций, обладающих определ. угл. зависимостью. При этом сама система источников, описываемых ф-циями координат (r)и времени (t), может быть представлена в виде набора вполне определ. конфигураций излучателей - мультиполей. Отд. мультиполи как источники излучения характеризуются только ф-циями времени - мультипольными моментами. Их зависимость от времени связана как с внутр. динамикой системы, так и с пе-рем. внеш. воздействиями. Представление излучаемого системой поля в виде суперпозиции полей отд. мультиполей плодотворно не только в прямых задачах исследования поля излучения сложных источников, но и в обратных задачах восстановления свойств источников по характеристикам их излучения.

В электродинамике излучение волн или, в общем случае, генерация перем. эл--магн. полей E= -f - - и В =[A] обусловлены нестационарностью плотности электрич. заряда r(r, t)и тока j(r, t). В вакууме эти поля описываются волновыми ур-ниями

Здесь векторный А и скалярный f потенциалы подчинены условию калибровки Лоренца A + /с = 0 (см. Градиентная инвариантность ),точка обозначает д/дt, используется Гаусса система единиц. Фурье преобразование ур-ний (1) по времени [A(r,t) A(r, w)ехр (- iwt)и т. д.] приводит к неоднородным Гельмгольца уравнениям

Решение ур-ний (2) (при условии излучения - уходящие волны при r , см. Зоммерфельда условия излучения)для фурье-образов потенциалов вне источников, занимающих конечную область пространства в окрестности точки r = 0, представляется в виде [без множителя ехр( - iwt)]:

Здесь фурье-компоненты скалярных p_lm, электрич. n_lmи магн. m_lm мультипольных моментов определяются след. интегралами по области, занятой источниками:

В ур-нии (3) фигурируют сферич. ф-ции

ортонормированные интегралом по сфере единичного радиуса:

где q, f - полярный и азимутальный углы направления n =r/r, P_l^|m| - присоединённые полиномы Лежандра, d_ll_' - Кронекера символ (звёздочка означает комплексное сопряжение). Они являются собственными функциями операторов и :

где - оператор орбитального момента импульса, ось z - заданное направление в пространстве, cosq = п_z, - l <= т <= l (l и |т| - натуральные числа). В (3) и (5) входят сферич. ф-ция Ганкеля h_l (с особенностью в нуле) и регулярная (без особенности в нуле) сферич. ф-ция Бесселя j_l (см. Цилиндрические функции ).Величины

определяющие электрич. и магн. мультипольные поля, выражаются через ортонормированные векторные сферич. ф-ции

к-рые являются собств. ф-циями операторов [], , и , отвечающими собственным значениям i, l(l + 1), s(s + 1), j(j + 1) и m соответственно. Оператор полного момента импульса включает оператор спина фотона , к-рый действует на векторную ф-цию а(r)по правилу = - ie_pq_ka_k, где e_pq_k - Леви-Чивиты символ ,числа p, q, k принимают значения 1, 2, 3 (по k - суммирование). Для ф-ций (8) s = 1,а собств. значения операторов и совпадают: j = l. Величины

продольные "мультипольные потенциалы", к-рые в пустоте не дают никакого эл--магн. поля (в силу его ненулевой спиральности), но сохранены в (4) для полноты разложения. Используя соотношения

находим фурье-образы электрич. и магн. полей M. и.:

T. о., вне источников (т. е. в области, где j = 0, r = 0) поля M. и. распадаются на два типа -электрического (в них магн. поле поперечно, поскольку M_lm | r)и магнитного( в них поперечно электрич. поле). О первых слагаемых в (9), отвечающих состоянию поля с полным моментом j=l и чётностью (-1)^j, говорят как об электрич. 2^j-польных фотонах, а о вторых слагаемых в (9) с моментом j = l и чётностью (-1)^j⁺¹ - как о магн. 2^j-польных фотонах. Соответствующие фурье-амплитуды полей этих двух типов задаются набором фурье-ком-понентов мультипольных моментов п_lт(w)и m_lm(w), к-рые определяются свойствами системы или индуцируются внеш. полями (телами).

Мультиполи наз. внешними, если их поля рассматриваются во внешней (по отношению к источникам) области, и внутренними - при рассмотрении их полей внутри системы, но в области, свободной от источников. В области, занятой источниками, такое простое представление невозможно, поскольку амплитуды полей (3), (4) зависят от координат и, кроме того, существенно наличие продольных "мультипольных потенциалов" 4pi(w/c)p_lmL_lm. Более того, величины (5) - (7) не дают полного описания распределения зарядов и токов в источнике и особенностей их взаимодействия с внеш. полем; в общем случае необходимо ещё задание т. н. (2n + + l)-степенных радиусов распределения плотности заряда и тока. Последние определяются интегралами вида

аналогично для др. мультиполей (Q = ). В отличие от статич. предела (w = 0) для гармонически колеблющихся зарядов определение электрич. п_lт(но не магн. m_lm) мультипольных моментов содержит существ. дополнит. особенность. Интеграл в (6) можно выразить в эквивалентной форме, явно выделив зарядовый и токовый вклады:

Наряду с осциллирующей плотностью заряда [входящей в (10) аналогично случаю электростатики, но с учётом эффектов запаздывания] электрич. мультипольный момент формируется также осциллирующей плотностью радиального тока. Это обстоятельство приводит к независимой, новой (по отношению к электро- и магнитостатике, ср. Мультиполи)системе т. н. тороидных мультиполей, простейшим представителем к-рой является анаполь - тор с токами, текущими строго по его меридианам. Согласно (10) и ур-нию непрерывности iwr(r,w)= = j(r, w), величина тороидных моментов на два порядка по частоте выше, чем зарядовых моментов того же ранга, и на один порядок выше, чем магн. моментов. Магн. мультипольные моменты, как и в магнитостатике, обусловлены плотностью поперечного ( | r) тока, напр. в случае тора - токами, текущими по его параллелям. Необходимость введения тороидных моментов, независимых не только от зарядовых, но и от магн. моментов, становится очевидной, если представить плотность тока в виде

и учесть, что вихревое поле f(r, w) описывается как минимум двумя скалярными ф-циями, напр.:

Тороидные моменты отсутствуют в случае чисто продольного тока(h), когда f = 0, и порождаются той (радиальной) частью тока ([f]), к-рая остаётся неучтённой в (7), где | r. В статич. пределе (w 0), когда j_l(rw/c) ~ (rw/с)^l и h_l(rw/с) ~ (rw/с)^-(l+1), тороидные Л1ультиполи наряду с магн. мультиполями дают вклад в разложение векторного потенциала А(r, w), но после взятия операции ротора, В = [А], "выживают" только магн. мультиполи.

Поля M. и. (9) заданных интенсивности, типа (электрич. или магн.) и мультипольного характера (lm) могут генерироваться источниками, заключёнными внутри сферы произвольного, сколь угодно малого радиуса. Для любого распределения плотности заряда-тока

равного нулю за пределами сферы радиуса r₀, всегда можно найти др. распределение плотности заряда-тока (r₁, j₁), осциллирующее с той же частотой w и равное нулю вне сферы меньшего радиуса r₁ < r₀, такое, что поле излучения при r > r₀ будет тождественным тому, к-рое порождалось первонач. источниками [теорема Казимира (H. Casimir)]. Следовательно, произвольно узкая угл. диаграмма направленности может быть осуществлена при помощи произвольно малого источника. Однако реализация такой сверхэффективной антенны предполагает создание большого кол-ва когерентных мультиполей разного ранга (l)со сравнимой интенсивностью M. и. Последнее весьма затруднительно, по крайней мере для источников, занимающих область малого размера по сравнению с излучаемыми длинами волн, r₀ << c/w, поскольку тогда, как правило, порядок величин мультипольных моментов быстро падает с ростом l:

В отличие от электро- и магнитостатики, все пространственные гармоники полей (9) убывают при удалении от источника по одному и тому же закону - обратно пропорционально расстоянию r. Поэтому все они вносят вклад в мощность излучения P (на данной частоте w), проинтегрированную по всем направлениям n:

Отсюда видно, что для сосредоточенных источников (r₀ << с/w)с ростом номера l при прочих равных условиях мощность M. и. убывает как r₀ (w/c)^(2l+2). Излучающая система теряет угл. момент, плотность к-рого m = (8pc)^-1[r[EB*]]. Угл. момент относительно оси z, испускаемый в единицу времени, равен

T. о., каждый фотон M. и. с заданным азимутальным индексом т уносит, наряду с энергией , угл. момент т, поскольку = Pm/w. Необходимо отметить, что мультипольные поля с заданными значениями полного угл. момента j=l и типа (электрического или магнитного) не имеют определ. значения спиральности и орбитального момента, поскольку без нарушения условия поперечности свободного эл--магн. поля невозможно разделение орбитального момента и спина. Последнее связано с калибровочной инвариантностью поля и отсутствием массы у фотона.

В квантовой теории вычисление отношения квадрата излучаемого угл. момента к квадрату энергии при излучении N квантов в заданной мультипольной (lm)-моде даёт фактор {N²m² + N[l(l + 1) - m²]}w^-2. B классич. пределе (N >> 1) это приводит к указанному

выше значению (в расчёте на 1 квант) , но в случае излучения только одного фотона даёт "квантовый ответ" l(l + 1) w^-2, полагающийся для "частицы" в (lm)-состоянии. Нетривиальяость соответствующего перехода заключается в том, что при конечном числе клан-то в N когерентно складываются только их z-компоненты угл. момента (это даёт член N²m²), тогда как, согласно принципу неопределённости, две остальные (х-, y-)-компоненты складываются некогерентно, добавляя член, пропорциональный N.

Квантовые источники, напр. возбуждённые молекулы, ядра или адроны, испускают фотоны в мультипольных состояниях (или в определ. суперпозиции этих состояний с определ. чётностью, см. Отбора правила ).Однако мультипольность (lm)-фотона не измеряется непосредственно, локально, а требует интегрирования по поверхности, охватывающей источники. Реально детектируемые фотоны обычно представляют собой плосковолновые состояния с определ. спиральностью. В связи с этим изучение физ. свойств источников фотонов по характеристикам M. и. фактически предполагает проведение преобразования между мультипольными состояниями и наблюдаемыми плосковолновыми состояниями поля, т. е. разложение сферич. векторных волн по плоским волнам. Подобные особенности квантовых измерений важны, напр., при спектроскопич. изучении угл. корреляций ядерных гамма-лучевых каскадов, поскольку в ядрах, в отличие от атомов и молекул, широко распространены переходы высшей мульти-польности.

Согласно соответствия принципу ,квантовомеханич. ф-лы для интенсивности спонтанного M. и. на частоте при переходе квантовой системы с энергетич. уровня на уровень (т. е. при переходе из стационарного состояния y₂ в y₁) получаются из классич. ф-л для спектральной мощности излучения соответствующей заменой квадратов фурье-компонентов мультипольных моментов |n_lm(w)|², |m_lm(w)|² на квадраты удвоенных матричных элементов , Отношение определённой таким образом интенсивности излучения к энергии кванта (2p/h)w даёт вероятность радиац. перехода в единицу времени. Она складывается из вероятности излучения различных (lm)-фотонов. При этом (в силу закона сохранения угл. момента) M. и. определённого (lm)-фотона оказывается возможным, только если начальное и конечное значения угл. момента (и его z-компоненты) у излучающей системы подчиняются правилам отбора, а изменение чётности состояния системы согласуется с чётностью фотона данного типа [электрического (-1)l или магнитного - (-1)l]. Если при заданном значении величины момента фотона l его z-проекция m (а с ней и z-проек-ция момента излучающей системы) не определена, то говорят о M. и. частично поляризованных фотонов. Вероятность индуцированного M. и. (lm)-фотона (или его поглощения) отдельной квантовой системой определяется умножением вероятности спонтанного M. и. на число N уже имеющихся в поле фотонов данной (lm)-моды (см. Вынужденное испускание). Однако это правило требует уточнения (нелинейного самосогласования) в сильных когерентных полях (N ), когда квантовая система деформируется фотонами (lm)-моды и её состояния нельзя рассматривать независимо от поля (см. Нелинейная оптика).

Для атомов и ядер, в к-рых энергия излучаемого кванта не превышает энергий покоя частиц, оценка вероятности спонтанного мультипольного перехода электрич. типа порядка l даёт

Для перехода магн. типа вероятность w^m(l)меньше в раз, где g - эффективный g-факmop частиц в атомной или ядерной системе (g ~ 2), - магнетон .Бора для этих частиц, т_Ч - масса частицы.

Размер атомов r₀ ~ a₀/Z_э, где а₀ - Бора радиус, Z_э - эфф. заряд ядра; частоты переходов в атомах таковы, что e²Z_э²/a₀, т. е. r₀w/c Z_э/137. B ре-звультате типичные электрич. квадрупольные (l = 2)и магн. дипольные (l = 1) переходы в атомах прибл. в (137/Z_э)² раз менее вероятны, чем электрич. дипольные (разрешённые переходы). Высшие мультиполи, в частности тороидный диполь (анаполь), играют принципиальную роль лишь для рентг. переходов в атомах тяжёлых элементов. Учёт высших мультиполей необходим также при определении влияния внутр. поля на спектры молекулярных кристаллов и при расчёте экситон-ных переходов в полупроводниках, где эффективная масса электронов может понижаться на порядок и более.

Размер атомных ядер r₀ 1,2A^1/3 10^-13 см (А - число нуклонов в ядре), а частоты переходов лежат в широком диапазоне (соответствующие энергии от неск. кэВ до~10 МэВ). При этом обычно r₀w/c 1 и w^m(l) ~ ~w^e(l)/(3A^2/3), так что, согласно указанной упрощённой оценке, и в ядрах наиб. вероятными должны быть электрич. дипольные переходы с l = 1. Однако благодаря сильному взаимодействию нуклонов, не зависящему от заряда, эти электрич. дипольные переходы часто оказываются подавленными (особенно при малых энергиях (2p/h)w). Поэтому радиац. время жизни возбуждённых ядер и их излучение в значит. мере определяются высшими мультипольными переходами. В частности, существуют т. н. гигантские резонансы и запрещённые g-переходы в тяжёлых ядрах.

Если размеры области, занятой источниками, малы по сравнению с излучаемыми ею длинами волн (r₀w/c << 1), то можно пренебречь эффектами запаздывания и легко осуществить обратное фурье-преобра-зование полей (9). В результате M. и. на произвольном расстоянии r от системы предстанет как явная ф-ция времени, задаваемая переменными мультипольными моментами. В волновой зоне поперечные ( | r) поля излучения произвольной системы с точностью (по r₀w/c) до членов, включающих вклад тороидного диполя T(t), равны

(суммирование по повторяющимся индексам). Здесь р^е и р^m - векторы электрич. и магн. дипольных моментов, Q^e_k_p и Q^m_pi - тензоры электрич. и магн. квадрупольных моментов, Q^e_k_pq - тензор электрич. октупольного момента.

Мультипольное разложение поля является эфф. средством исследования свойств разл. излучателей, особенно если их размеры малы по сравнению с излучаемыми длинами волн. Представление о M. и. используется не только для скалярного и векторного полей в вакууме [как в (1) - (7)], но и для более сложных тензорных полей (напр., гравитационного) или для полей в сплошных средах, в частности для эл--магн. поля излучения мультиполей, движущихся со сверхсветовой скоростью в среде (Черенкова - Вавилова излучение), для поля упругих деформаций в анизотропных кристаллах и т. д.

Лит.: Джексон Д ж., Классическая электродинамика, пер. с англ., M., 1965; Берестецкий В. Б., Лиф-шиц E. M., Питаевский Л. П., Квантовая электродинамика, 3 изд., M., 1989; Дубовик В. M., Чешков А. А., Мультипольное разложение в классической и в квантовой теории поля и излучение, "ЭЧАЯ", 1974, т. 5, с 791; Gray C. G., Multipole expansions of electromagnetic fields using Debye potentials, "Araer. J. Phys.", 1978, v. 46, p. 169; Франк И. M., Излучение Вавилова - Черенкова для электрических магнитных полуполей, "УФН", 1984, т. 144, с. 251; Биденхарн Л., Лаук Дж ., Угловой момент в квантовой физике, пер. с англ., т. 2, M., 1984; MUller E. E., Scalar potentials for vector fields in quantum electrodynamics, "J. Math. Phys.", 1987, v. 28, p. 2786. В. В. Кочаровский, Вл. В. Кочаровский.

<< Предметный указатель >>