непараметрические методы

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ - совокупность приёмов и методов матем. статистики, основанных на непараметрич. представлении ф-ции распределения. Н. м. особенно эффективны в задачах анализа эксперим. данных на стадии разведочного анализа (см. Анализ данных ),они имеют преимущество перед пара-метрич. методами, т. к. используют лишь непрерывность ф-ции распределения. В эксперим. физике Н. м. применяют для оценивания плотности вероятности и проверки статистических гипотез.

Оценивание плотности вероятности. Пусть имеется ряд наблюдений {х_i}, i = 1, ..., N, т. е. последовательность независимых, одинаково распределённых случайных величин с неизвестной ф-цией плотности вероятности р(х), и требуется построить непараметрич. оценку для р(х). Обычно применяемый метод непараметрич. оценивания - построение гистограмм. Числовую ось, на к-рой определены x_i, делят на ряд областей r_j, j = 1, ..., К, а задают константой в каждой области r_j, причём

где k(N)- коэф. нормировки, g_j(x) - индикаторная ф-ция каждой области r_j:

Тогда оценка плотности вероятности определяется выражением

Если на отрезке числовой оси, на к-ром определён ряд наблюдений {x_i}, i = 1, ..., N, задать набор ортогональных ф-ций {y_j(x)}, j = 1, ..., М,

d_jl - символ Кронекера, то с помощью этого набора также можно определить непараметрич. оценку ф-ции плотности вероятности р(х):

где

Хотя эти методы довольно популярны и просты, результаты являются несостоятельными оценками, т. е. при N они не стремятся к р(х).

Из состоятельных Н. м. оценивания ф-ции плотности вероятности следует отметить метод ближайших соседей. Пусть имеются случайные числа x₁ <= х₂ <= ... <=x_N и надо оценить их плотность вероятности в точке х. Задают целое число R(1 < R < N)и находят такой отрезок с центром в точке х, чтобы он содержал R чисел х_i. Тогда оценкой плотности вероятности в точке х будет = R/Nh, где h - длина найденного отрезка. В отличие от метода гистограмм, плотность вероятности здесь оценивают не по разному кол-ву случайных чисел, попавших в неперекрывающиеся отрезки фиксиров. длины, а по фиксиров. кол-ву случайных чисел, попавших в перекрывающиеся отрезки разной длины. Ошибка оценки в этом методе равна d ~ /R, т. е. относит. ошибка d/р(х)постоянна и не зависит от х (если только х не слишком близко к х₁ или x_N), в отличие от оценки по гистограмме.

Проверка гипотез. При параметрич. проверке гипотез предполагают, что плотность распределения р(х)является членом параметризов. семейства р(х|а). Задача состоит в том, чтобы принять или отвергнуть гипотезу, что а имеет заранее известное значение, или выбрать значение из нескольких возможных значений.

При непараметрич. проверке гипотез ф-ции распределения этих гипотез не принадлежат параметрич. семейству. Для них предполагают выполненными лишь качественные свойства типа непрерывности и т. п., поэтому усложняется выбор критериев проверки гипотез.

Обычно непараметрич. проверку гипотез используют в след. задачах: 1) имеется набор независимых случайных величин {х_п}, п = 1, ..., N с неизвестной ф-цией распределения F(x), нужно проверить гипотезу H₀ : F(x) = F₀(x), где F₀(х)- нек-рая заданная ф-ция распределения (задача сравнения результатов эксперимента с теоретич. моделью); 2) имеются два набора независимых случайных величин {х_п}, п = 1, ..., N и {y_т}, т = 1, ..., М с ф-циями распределения F(x)и G(x), нужно проверить гипотезу Н₀ : F(x) = G(x).

При гистограммном способе представления данных обычно используют следующие статистические критерии, проверки гипотез. Пусть N случайных величин х_п сгруппированы в гистограмму с К ячейками и в ячейку с номером i попало n_i величин х_п. Согласно гипотезе Н₀, можно вычислить вероятность p_i попадания величины х в ячейку с номером i. В качестве проверочных статистик используют отношения правдоподобия

и статистику Пирсона

где D_ij - ковариационная матрица для n_i. Независимо от вида F₀ оказывается, что -2lnl и X² при N распределены согласно c²-распределению с числом степеней свободы К - 1. Поэтому можно вычислить критич. значения -2lnl и X² по заданной вероятности а того, что при справедливости гипотезы Н₀ эти критич. значения могут быть превышены. Следовательно, если реализовавшиеся значения превышают критические, можно отвергнуть гипотезу Н₀.

Более эффективными являются критерии, использующие в качестве проверочных статистик разл. "расстояния" между эксперим. (выборочной) ф-цией распределения F_N(x)и ф-цией F₀(x). Выборочную ф-цию распределения определяют след. образом:

Критерий Смирнова основан на проверочной статистике

где f(x)- плотность ф-ции распределения F₀(x), a критерий Колмогорова - на статистике

Используют и др. критерии.

Лит.: Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 3 изд., М., 1983; Кендалл М., Стьюарт А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973; Статистические методы в экспериментальной физике,

пер. с англ., М., 1976; Тюрин Ю. Н., Непараметрические методы статистики, М., 1978. В. П. Жигуков, С. В. Клименко.

   <<      Предметный указатель      >>