нётер теорема

НЁТЕР ТЕОРЕМА - утверждает, что для всякой физ. системы, уравнения движения к-рой могут быть получены из вариац. принципа, каждому однопараметрич. непрерывному преобразованию, оставляющему вариац. функционал инвариантным, отвечает один дифференц. сохранения закон, и, главное, позволяет явно выписать сохраняющуюся величину. Установлена в работах учёных гёттингенской школы Д. Гильберта (D. Hilbert), Ф. Клейна (F. Klein) и Э. Нётер (Е. Noether). H. т. - самое универсальное средство, позволяющее находить законы сохранения в лагранжевой классич. механике, теории поля, квантовой теории и т. д.
В классич. механике для системы с действием

(L - Лагранжа функция ,зависящая от обобщённых координат и скоростейинвариантность S относительно образующих группу преобразовании с параметром

[где задающие преобразование ф-ции зависят от совокупности координати времени] влечёт за собой, согласно Н. т., сохранение во времени величины

В частности, из инвариантности S относительно (1) с т. е. из однородности времени, следует закон сохранения энергии:

В этом случае L не зависит от времени явно. Подобным же образом из инвариантности S по отношению к пространств. сдвигам следует закон сохранения импульса, а из изотропии пространства - закон сохранения трёхмерного момента.
В гамильтоновом описании, т. е. когда Q выражены через канонические переменные - обобщённые координаты и импульсы (для простоты считаем, что явные зависимости от времени отсутствуют): 1) Пуассона скобка Q с гамильтонианом и равна нулю, 2) изменение любой динамич. переменной F при преобразовании (1) определяется её скобкой Пуассона с Q. В этом контексте утверждение Н. т. становится как бы тривиальным, следующим из одной лишь антисимметрии скобок Пуассона:

Если преобразования симметрии образуют не однопараметрич. группу, то между Q_A должны выполняться соотношения в скобках Пуассона, воспроизводящие Ли алгебру генераторов соответствующей группы. Так, напр., три компоненты момента должны удовлетворять соотношению в скобках Пуассона

(где - Леви - Чивиты символ), воспроизводящему алгебру Ли группы трёхмерных вращений 0(3).
Особо важное значение Н. т. приобретает в квантовой теории поля (КТП), где вытекающие из наличия группы симметрии законы сохранения часто оказываются единств. источником информации о свойствах системы. Для формального вывода Н. т. в (классич. или квантовой) теории поля рассматривают интеграл действия:

где - лагранжиан ,зависящий от ф-ций поля, их первых производных по всем четырём координатам и, возможно, от координат - точка пространства-времени; индекс а нумерует компоненты поля; принята система отсчёта, в к-рой Тогда Н. т. утверждает, что из инвариантности действия (2) относительно преобразований с параметрами

для произвольной области интегрирования R вытекает дпфференц. закон сохранения:

где т. н. нётеров ток вычисляется из лагранжиана по правилу:

где

- символ Кронекера; по повторяющемуся индексу предполагается суммирование). Интегрируя (3) по произвольному 4-объёму и используя Гаусса теорему, получаем, что полный 4-поток вектора через ограничивающую этот объём гиперповерхность равен нулю. Выбирая гиперповерхность в виде цилиндра с пространственноподобными основаниями, такого, что потоком через боковые стенки можно пренебречь, приходим к утверждению, что направленные в будущее потоки векторачерез нижнее и верхнее основания равны. Отсюда следует, что нётеровы заряды

во-первых, сохраняются во времени (интегральная форма Н. т.), во-вторых, преобразуются при Лоренца преобразованиях контравариантно соответствующим параметрам
Из физ. представлений об однородности и изотропии пространства-времени следует, что для любой замкнутой системы действие должно быть инвариантно относительно преобразований Пуанкаре группы, что в силу Н. т. приводит к существованию 10 фундаментальных сохраняющихся величин: энергии, трёх компонент импульса и 6 компонент 4-момента. Сохранение энергии и импульса следует из инвариантности относительно трансляций . При этом, , нётеровы токи исчерпываются выражением (5) и образуют тензор энергии-импульса. Сохраняющиеся "заряды" суть компоненты 4-импульса:

Из инвариантности относительно трёх пространств. поворотов и трёх преобразований Лоренца

(где - метрический тензор)вытекает дифференц. закон сохранения для тензора плотности момента

определяется спином полей. Соответствующий нётеров заряд есть 4-момент.
В гамильтоновом описании 10 фундам. величин являются генераторами соответствующих преобразований группы Пуанкаре и образуют относительно скобок Пуассона замкнутую алгебру Ли

изоморфную алгебре Ли группы Пуанкаре. Требование выполнения соотношений (7) в гамильтоновом формализме эквивалентно требованию инвариантности лагранжиана относительно группы Пуанкаре в лагранжевом формализме.
При наличии в системе симметрии, не связанных с пространством-временем (внутренних симметрии), Н. т. позволяет построить и другие сохраняющиеся величины. При этом в выражении (4) для нётерова тока остаётся только второй член. Напр., если в системе с комплексным полемдействие инвариантно относительно глобального (с фазой не зависящей от х)калибровочного преобразования 1-го рода
то будут сохраняться токи соответствующий заряд. В построении совр. реалистич. квантовополевых моделей токи и заряды, сохраняющиеся в силу инвариантности относительно достаточно сложных калибровочных групп, играют ведущую роль. Выражение (4) для пространственно-временной локализации нётерова тока (это выражение наз. каноническим) не однозначно, если исходить только из требования выполнения дифференц. закона сохранения(З) и получения правильной интегральной величины (6).

Выполнение этих требований не нарушается при замене

с произвольной ф-цией f. Этим произволом пользуются, чтобы заменить канонич. тензор (не симметричный для отличного от нуля спипа) на симметричный (тензор Белинфанте), выбирая

Для нулевого спина то же преобразование позволяет получить для безмассового поляс нулевым следом.
Однозначные выражения для нётеровых токов получаются варьированием по полям, для к-рых эти токи служат источниками.
Для теорий, обладающих суперсимметрией, независимыми переменными при выводе Н. т. будут наряду с х и антикоммутирующне координаты - спинорный индекс). Это приводит к обобщению фундам. сохраняющихся величин, а также к появлению новых сохраняющихся величин: спин-векторных токов и соответствующих им суперзарядов, образующих представление супералгебры Пуанкаре.
Для классич. теории поля выписанных формальных выражений вполне достаточно. В квантовой теории поля выражения (4), (6), как правило, нуждаются в регуляризации (см. Регуляризация расходимостей)и перенормировке. При этом может оказаться, что формально имеющаяся симметрия не может быть сохранена для регуляризов. выражений, и соответствующий закон сохранения перестаёт выполняться - говорят, что присутствует аномалия. Так, при рассмотрении взаимодействия безмассовых фермпонов с эл--магн. полем в классич. теории наряду с векторным сохраняется также и аксиальный ток - Дирака матрицы). В квантовой теории во втором порядке по заряду е возникает аномалия, и вместо сохранения тока получаем

Вторая теоремаНётер. Помимо обсуждавшейся выше Н. т., к-рую принято называть первой Н. т., существует вторая Н. т., к-рая касается тождеств, вытекающих из инвариантности действия относительно преобразований, зависящих от непрерывного параметра, т. е. от произвольной ф-ции. Наиб. значение она получает в применении к случаю "полей материи", взаимодействующих с калибровочным полем А(х) - полем, физ. содержание к-рого не меняется при определённых, зависящих от произвольной ф-ции преобразованиях, называемых преобразованиями калибровки. Вычисляя вариацию действия для поля материи во внеш. калибровочном поле, вызванную бесконечно малым калибровочным преобразованием на границах области интегрирования, следует учитывать только вызываемые изменением калибровки вариации калибровочного поля(здесь - ковариантная производная), поскольку при вариациях полей материи коэффициентами будут левые части ур-ний движения. Поэтому

откуда в силу произвольности вытекает ковариантный закон сохранения

При обращении в ф-ле (8) внеш. калибровочного поля в нуль ковариантный закон сохранения превращается в обычный, получаемый по первой Н. т. Подчеркнём, что вторая Н. т. приводит к ограничениям на поля материи, исходя из особенностей калибровочного поля. Т. о., она устанавливает соответствие между свойствами материальных систем и полей, с к-рыми они могут взаимодействовать. Поскольку в правых частях ур-ний движения самих калибровочных полей стоят как раз токи (8), то вторая Н. т. налагает тождеств. соотношения на левые части этих ур-ний. В совр. квантовой теории поля вторая Н. т. используется в электродинамике, теории Янга - Миллса полей, гравитации, супергравитации и т. д.

Лит.: Hilbert D., Die Grundlagen der Physik, "Gott. Nachr., Math. Phys. Klassc", 1915, S. 395; Klein F., Die Differentialgeselze fur die Erhaltung von Impuls und Energie in der Einsteinsch. Gravitatioristheorie, там же, 1918, S. 171; Nоther Е., Invariante Variationsprobleme, там же, 1918, S. 235; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория поля, 7 изд., М., 1988; Паули В., Релятивистская теория элементарных частиц, пер. с англ., М., 1947; Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., М., 1984; Гельфанд И. М., Фомин С. В., Вариационное исчисление, М., 1961; Медведев Б. В., Начала теоретической физики, М., 1977.

Б. В. Медведев, П. Б. Медведев.