неустойчивость в колебательных и волновых системах

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ И ВОЛНОВЫХ СИСТЕМАХ - самопроизвольное нарастание возмущений на фоне заданного движения, приводящее к качественному изменению поведения системы. Простейший пример неустойчивого состояния - равновесие маятника в верх. точке (рис. 1). Любое сколь угодно малое возмущение маятника приводит к его уходу от состояния равновесия. Физически неустойчивость движения системы означает, что состояние равновесия может быть реализовано лишь приближённо и на огранич. интервале времени (для волновых систем - и пространства), тем меньшем, чем выше скорость нарастания возмущений. Состояния или движения системы, малые нач. возмущения к-рых остаются малыми и в дальнейшем, наз. устойчивыми. Примерами являются соответственно состояние равновесия маятника в ниж. точке и само колебат. движение маятника.
Понятия неустойчивости и устойчивости движения относятся ко всем динамическим системам, а не только к колебательным и волновым.

Рис. 1. Маятник с жёстким подвесом.

Строгая формулировка понятия устойчивости, пригодная для любых систем, затруднительна, поэтому, как правило, учитывается специфика задачи. Так, различают устойчивость движения в "малом" - по отношению к бесконечно малым возмущениям и в "большом" - по отношению к возмущениям конечной величины, устойчивость по отношению к определ. классу возмущений и т. д. Наиб. изучена устойчивость в "малом", т. к. при малых возмущениях возможно разложение по ним в окрестности исследуемого движения исходных ур-ний, описывающих систему (см. Устойчивость движения, Устойчивость равновесия). Специфика колебательных и волновых систем заключается лишь в характере движений в системе и в характере нарастающих при неустойчивости возмущений, а также в физ. механизмах Н. в к. и в. с. Одной из осн. стадий изучения поведения колебательных и волновых систем является отыскание простых характерных состояний и движений: состояний равновесия и периодич. режимов в колебательных системах или стационарных и автомодельных режимов в волновых системах. Затем исследуется их устойчивость как условие реализуемости. В случае неустойчивости движения анализируются характер нарастающих возмущений, закон и скорость их нарастания, а также механизм неустойчивости. Традиционно разделяют неустойчивость "тривиальных" состояний системы (состояний равновесия и пространственно однородных стационарных режимов) и неустойчивость колебаний и волн. В первом случае речь идёт о зарождении колебательных и волновых движений из состояния покоя, а во втором - о разрушении существующих в системе колебательных и волновых процессов. Нарастание возмущений на фоне неустойчивого движения может происходить в виде колебании или волн либо апериодически. Поступление энергии к нарастающим периодическим возмущениям при Н. в к. и в. с. может идти двумя способами - автоколебательным и резонансным (см. Автоколебания ).При автоколебательной неустойчивости возмущения растут за счёт энергии источников неколебательной природы. Резонансное нарастание возмущений обусловлено отбором ими энергии от к--л. периодических источников или движений системы. Основные особенности Н. в к. и в. с. могут быть продемонстрированы на примере матем. маятника. Движение его в отсутствие диссипации описывается ур-нием

Рис. 2. Фазовые портреты: а - математического маятника; б - математического маятника с диссипацией; в - неустойчивого состояния равновесия.

Замкнутые траектории на рис. 2, а отвечают периодич. незатухающим колебаниям. При введении в систему малой диссипации и соответственно в ур-ние осциллятора члена колебания станут затухающими и замкнутые траектории на фазовой плоскости превратятся в скручивающиеся спирали (рис. 2, б). Если возможно поступление энергии к колебаниям, то они будут нарастать. Подталкивая маятник с периодом его собств. колебаний, можно получить резонансное возбуждение колебаний. Представим теперь, что воздействие на маятник зависит от характера его колебаний благодаря механизму обратной связи, обеспечивающему поступление энергии в нужной фазе, пропорциональное, напр., величине Формально это соответствует введению в систему отрицат. диссипации Тогда состояние равновесия существует, но оно неустойчиво - сколь угодно малое отклонение от указанной точки приведёт к раскачке колебаний. Фазовые траектории в окрестности состояния равновесия имеют при этом вид раскручивающихся спиралей (рис. 2, в). Т. к. частота и фаза поступления энергии к колебаниям определяются собств. движением осциллятора, то источник энергии может быть неколебательным. Это пример автоколебат. неустойчивости. Автоколебат. неустойчивость, ограниченная нелинейными эффектами, приводит, как правило, к установлению стационарных автоколебаний. В более сложных системах с размерностью фазового пространства, не меньшей трёх, неустойчивость может привести к возникновению стохастических колебаний. Наряду с механизмом положит. обратной связи к автоколебат. неустойчивости приводит существование падающего участка на характеристике зависимости силы трения в осцилляторе от скорости движения. Так происходит, напр., возбуждение струны движущимся смычком. Зависимость силы трения от относит. скорости движения смычка и струны показана на рис. 3. Выбранной скорости движения смычка v₀ отвечает сила F₀, к-рая уравновешивается натяжением струны. Легко, однако, заметить, что указанное состояние равновесия неустойчиво. Появление скорости движения струны, напр., в направлении движения смычка означает уменьшение относит. скорости смычка и струны и соответственно вызывает возрастание силы трения F. Это ведёт к уходу от состояния равновесия. В результате возникают нарастающие колебания струны, что следует и из энергетич. баланса. Действительно, работа силы трения за период движения струны положительна: в те полпериода, что струна движется со смычком, сила трения больше, чем при встречном их движении. С автоколебат. неустойчивостью связана работа генераторов периодич. колебаний (механич., акустич., эл--магн. и т. д.). В частности, в механич. часах потери на трение компенсируются при помощи анкерного механизма за счёт энергии пружины. Электрич. колебания генерируются в колебат. контуре за счёт энергии батареи либо при помощи триода с включением контура в цепь его управляющего электрода (обратная связь), либо при включении в контур туннельного диода - элемента с падающим участком вольт-амперной характеристики.

Примером др. типа неустойчивости - резонансной - может служить параметрич. неустойчивость маятника. Если с частотой, вдвое большей частоты маятника, менять длину подвеса, то состояние равновесия и в этом случае оказывается неустойчивым. Именно так возникает раскачка качелей, если вставать при прохождении ниж. точки траектории (см. Параметрический резонанс, Параметрическая генерация и усиление электромагнитных колебаний).

Рис. 3. Зависимость силы трения F между смычком и струной от их относительной скорости.

Нарастание колебаний маятника при периодическом изменении длины его подвеса может быть рассмотрено и с др. точки зрения - как пример неустойчивости периодических колебаний. При замене жёсткого подвеса маятника упругим система приобретает дополнит. степень свободы, соответствующую вертикальным колебаниям. При произвольном соотношении частот вертикальные и горизонтальные колебания могут происходить практически независимо. Напр., возможны незатухающие вертикальные колебания груза на пружине. При выполнении условия параметрич. резонанса два типа колебаний начинают эффективно взаимодействовать, что в рассматриваемом случае приводит к раскачке горизонтальных колебаний за счёт энергии вертикальных. При этом вертикальные колебания в системе оказываются неустойчивыми по отношению к возбуждению горизонтальных.
Проявления неустойчивости в колебат. системах с конечным числом степеней свободы в осн. аналогичны рассмотренным на примере маятника. Проявление неустойчивости в волновых системах имеет особенности, обусловленные пространств. протяжённостью этих систем. Как и в колебат. системах, неустойчивость волновых движений в консервативных волновых системах является резонансной и связана с нелинейным взаимодействием волн, напр. трёх-, четырёх- и т. д. волновые взаимодействия, возникающие в нелинейных средах при выполнении условий синхронизма, самовоздействие волн (самомодуляция, самофокусировка) и др. В активных волновых системах неустойчивость может иметь как автоколебательный, так и резонансный характер. Примерами активных волновых систем являются лазеры, гиротроны, волновые пучки в плазме, химически активные среды. При автоколебат. неустойчивости волновые возмущения нарастают за счёт энергии неколебат. источников, напр. пучков частиц или течений. В отличие от колебат. систем нарастание возмущений в таких системах может происходить не только во времени, но и в пространстве. В частности, возмущение может носить характер бегущего волнового пакета нарастающей амплитуды и уходить из области своего зарождения. После прохода бегущего возмущения через элемент системы, от к-рого оно отбирает энергию, поле возмущений в этой области может с течением времени стремиться к нулю. Это т. н. конвективная (сносовая) неустойчивость. Если же возмущения нарастают с течением времени во всех точках пространства, то неустойчивость является абсолютной. Системы, в к-рых реализуется конвективная неустойчивость, служат основой для создания усилителей, а системы с абс. неустойчивостью являются генераторами. Существуют критерии определения характера неустойчивости в волновых системах. Однако во многих реальных системах разделение на абсолютную и конвективную неустойчивость невозможно. В частности, либо замыкая отрезок конвективно неустойчивой системы в кольцевую систему, либо включая внеш. обратную связь, получают систему с абс. неустойчивостью (см. Автоволны, Волны, Нелинейные системы и др.).

Лит.: Андронов А. А., Витт А. А., Xайкин С. Э., Теория колебаний, 3 изд., М., 1981; Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А., Введение в теорию нелинейных колебаний, 2 изд., М., 1987; Федорченко А. М., Коцаренко Н. Я., Абсолютная и конвективная неустойчивость в плазме и твердых телах, М., 1981; Рабинович М. И., Трубецков Д. И., Введение в теорию колебаний и волн, М., 1984.

А. Я. Васович, А. А. Новиков.