нормальное произведение

НОРМАЛЬНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ операторов в квантовой теории - запись произведения операторов в виде, когда все операторы рождения стоят слева от всех операторов уничтожения. Н. п. возникает в методе вторичного квантования, при этом предполагается, что любой оператор представим в виде полинома по операторам рождения и уничтожения. Отличит. свойство Н. п. - равенство нулю вакуумного среднего от любого оператора, записанного в виде Н. п. и не содержащего слагаемого, кратного единичному оператору. Н. п. было введено Дж. К. Виком (G. С. Wick) в 1950 для того, чтобы исключить из квантовой теории поля (КТП) формальные бесконечные величины типа энергии и заряда вакуумного состояния. Понятие Н. п. оказывается основным при решении многих фундам. вопросов КТП, таких, как вывод фейнмановской диаграммной техники (см. Фейнмана диаграммы), установление связи между операторным формализмом и формализмом функционального интеграла, при построении аксиоматической квантовой теории поля и т. п.
Н. п. операторов А₁, ..., А_п обозначается символом : А₁, ..., А_п: Все свойства обычного произведения (линейность и т. д.) остаются и для Н. п., к-рое, кроме того, обладает свойством перестановочности операторов под знаком Н. п., при этом операторы, подчиняющиеся Базе - Эйнштейна статистике, оказываются перестановочными, а подчиняющиеся Ферми - Дирака статистике - антиперестановочными.
Все динамич. величины, зависящие от операторов с одинаковыми аргументами (лагранжиан, тензор энергии-импульса, заряд и т. д.), во вторично-квантованной теории записываются в форме Н. п. Напр., оператор числа частиц для свободного скалярного поля, удовлетворяющего Клейна - Гордона уравнению, в терминах операторов рождения и уничтожения частиц с импульсом k имеет вид

Для вакуумного ср. оператора N получим (N)₀ == 0, т. к. > = 0. Если бы N не был представлен в виде Н. п., то выражение в скобках, возникающее из принципа соответствия с классич. теорией (см. Соответствия принцип), привело бы к (N)₀, пропорциональному расходящемуся интегралу. Это типичный пример перестройки произведения в формализме Н. п. для операторов, подчиняющихся статистике Бозе - Эйнштейна. В случае фермионов выражение в скобках имеет вид (s - спиновая переменная), и для получения правильного оператора N, суммирующего все фермионные состояния, операторы рождения (а⁺) и уничтожения (а^-) фермионов должны антикоммутировать под знаком Н. п. (черта над оператором означает дираковское сопряжение). Это - утверждение теоремы о связи спина и статистики (Паули теорема), вытекающей пз принципа соответствия и формализма Н. п.
Для вычислений в квантовой теории поля необходимо установить связь Н. п. с обычным произведением и хронологическим произведением. Эту связь устанавливают Вика теоремы. Определим спаривание двух линейных по операторам рождения и уничтожения операторов (соответственно хронологич. спаривание), обозначаемое как вакуумное среднее от обычного произведения (хронологич. произведения). Спаривание даётся соответствующей перестановочной функцией. Для Н. п. двух линейных операторов получим

(х, у - точки пространства-времени). В общем случае справедлива след. теорема Вика: обычное (хронологическое) произведение п линейных операторов равно сумме Н. п. со всеми возможными спариваниями (хронологич. спариваниями), включая и Н. п. без спариваний. Линейность Н. п. гарантирует то, что спаривание выносится за знак Н. п.
При разложении действия в ряд теории возмущений возникает задача представить в виде Н. п. произведение операторов (напр., лагранжианов взаимодействия), к-рые сами уже приведены к форме Н. п. Соответствующая теорема Вика утверждает, что такое произведение равно сумме всех соответствующих Н. п. со спариваниями, из числа к-рых исключены спаривания между линейными операторами, находившимися в первонач. произведении под знаком одного Н. п.
Представляя процедуру нормального упорядочения графически, получим фейнмановскую диаграммную технику, сопоставив каждому спариванию линию, соединяющую точки х и у. Найдём, напр., в квантовой электродинамике вакуумное среднее от произведения двух операторов электромагнитного тока:

все остальные слагаемые дают нулевой вклад [здесь - оператор спинорного поля, ( = 0, 1, 2, 3) - Дирака матрицы]. Графически последнее выражение даётся диаграммой

где S'(x - у) - перестановочная ф-ция для поля электрона.

Понятие Н. п. позволяет установить связь между операторным формализмом и формализмом функционального интеграла. Для системы с одной степенью свободы каждому вектору Фока пространства ставится в соответствие аналитическая, функция f(а*) числового аргумента а* (* - знак комплексного сопряжения). Оператор уничтожения в таком голоморфном представлении есть оператор дифференцирования по а*, а произвольному оператору А соответствует интегральный оператор с ядром А (а*, а). Действие оператора А на вектор f, скалярное произведение двух векторов, произведение операторов A₁ х A₂ описываются соответствующими свёртками с гауссовой мерой интегрирования:

Для ядра произведения двух операторов имеем

Поставим в соответствие оператору А, заданному в виде Н. п.: функцию К(а*, а) = Тогда ядро оператора А связано с К (а*, а)соотношением

А(а*, а) = ехр(а*а)К(а*, а).

Рассмотрим оператор эволюции где Н = :h(а⁺, а^-):. Его ядро для малых

для конечного интервала следует взять свёртку N таких ядер. При этом из первого члена и меры интегрирования возникнет сумма

и после симметризации по а* = a_Nи а = а₀ в формальном пределе получим

Это выражение и есть ф-ла для оператора эволюции, возникающая в методе функционального интеграла.

Лит.: Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., М., 1984; Березин Ф. А., Метод вторичного квантования, 2 изд., М., 1986; Славнов А. А., Фаддеев Л. Д., Введение в квантовую теорию калибровочных полей, 2 изд., М., 1988: Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Квантовые поля, 2 изд., М., 1990; Глимм Д., Джаффе А., Математические методы квантовой физики. Подход с использованием функциональных интегралов, пер. с англ., М., 1984.

Л. О. Чехов.