Математика - оптимизация мозга и развитие творческого мышления«Почему некоторые люди думают иначе? Почем люди думают лучше? Почему люди думают быстрее? Почему у некоторых людей творческие идеи ярче и интереснее, и как они придумывают ЭТО ВСЕ!» Далее... |
нормальные волны
НОРМАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ (собственные волны)
- бегущие гармонич. волны в линейной динамической системе с пост.
параметрами, в к-рой можно пренебречь поглощением и рассеянием энергии.
Н. в. являются обобщением понятия нормальных колебаний на открытые
области пространства и незамкнутые волноводные системы, в т. ч. на однородные
и неоднородные безграничные среды, разл. типы волноводов и волновых каналов,
струны, стержни, замедляющие системы, цепочки связанных осцилляторов и
др.
Совокупность Н. в. обладает след. свойствами.
1. Каждая Н. в. является свободным (без стороннего воздействия) движением
системы и может быть возбуждена независимо от других Н. в. спец. выбором
нач. условий. 2. Произвольный волновой процесс в системе без источников
может быть однозначно представлен в виде суперпозиции Н. в. 3. Спектр частот
Н. в. является сплошным, реальные процессы могут быть представлены в виде
интегральных сумм Н. в.
Понятие Н. в. применяется и к системам
конечной протяжённости, где, однако, их следует рассматривать как вынужденные
движения, возбуждаемые гармонич. источниками, распределёнными вне области
наблюдения, а совокупность Н. в. должна быть дополнена спадающими от источников
"ближними" долями. В объёмных резонаторах в диапазоне высоких собств.
частот допустимо описание процессов в виде суперпозиций как нормальных
колебаний с дискретным спектром, так и Н. в. со сплошным спектром. Такой
дуализм динамич. поведения свойствен физ. объектам, включая природные каналы
внутренних
волн, волн цунами в океане, сейсмич. волн в земной коре, радиоканал
Земля - ионосфера и др.
В напб. простом случае сред и волноводиых
систем, параметры к-рых не меняются вдоль нек-рого направления (напр.,
вдоль оси z), H. в. синусоидальны не только во времени, но и в пространстве
и обладают неизменной поперечной структурой: ai= Ai(r1,)cos
(
t - kzz), где
- циклич. частота, kz - продольное волновое число (с
ним связаны продольная длина волны
и фазовая скорость
),
Ai - амплитудное распределение одной из компонент волнового поля, зависящее
только от поперечных к оси z координат r.
Связь междуи
kzопределяет
дисперсионные свойства Н. в. и, как правило, является неоднозначной - одному
значению kz соответствует набор Н. в. с разными частотами.
Н. в., частоты и волновые числа к-рых принадлежат отд. непрерывной дисперсионной
ветви многозначной ф-ции
относятся к одной нормальной моде системы (или просто моде). Моды различаются
либо амплитудными и поляризац. структурами полей, либо фпз. природой процессов.
В случаях вырождения одной дисперсионной ветви соответствует неск. линейно
независимых мод, их число наз. кратностью вырождения. Возможны также вырождения
Н. в. при фиксир. значениях
и
kz,
соответствующих точкам пересечения или касания дисперсионных ветвей.
Одно из наиб. важных свойств разложений
полей по Н. в. заключается в распространении принципа суперпозиции на нек-рые
эпергетич. характеристики движения. Так, в произвольном гармонич. процессе
(представляющем сложную картину пространств. биений Н. в. с одинаковыми
частотами, но разными длинами волн) полный поток энергии (усреднённый по
периоду Т =)равен
сумме парциальных потоков энергии отд. Н. в. Волновые пакеты при своём
распространении разбиваются на пакеты, объединяющие Н. в. одной моды; при
этом полная энергия процесса равна сумме энергий одномодовых пакетов. Понятие
групповой скорости
может быть введено только для одномодовых волновых пакетов.
В однородных безграничных средах Н. в.
принято наз. однородные плоские волны, распространяющиеся в произвольных
направлениях. В изотропных средах волновое число k0не
зависит от направления распространения, а поляризация поперечных волн может
быть произвольной (двукратное поляризац. вырождение). В анизотропных и
гиротропных средах k0 зависит от направления распространенпя,
а поляризац. вырождение снимается (соответственно различают обыкновенные
и необыкновенные Н. в.). На рис. 1 приведены дисперсионные ветви Н. в.
в изотропной неизотермич. плазме. Частотные спектры поперечных эл--магн.
и ленгмюровских волн ограничены снизу электронной плазм, частотой
спектр понно-звуковых волн ограничен сверху ионной плазм. частотой
значения
частот и волновых чисел, ограничивающих дисперсионную ветвь, наз. критическими
для данной моды.
В экранир. волноводных системах (металлич.
радиоволноводы, акустич. трубы, упругие пластины, звуковые каналы в водоёмах
с твёрдым дном и т. д.) существует бесконечное счётное множество мод, поля
к-рых локализованы в поперечных сечениях отражающими границами (экранами).
Структура мод определяется формой поперечных двумерных нормальных колебаний
(kz
= 0, d/dz = 0), а критич. частоты мод - собств. частотами этих
колебанийп =
1, 2, ... (рис. 2). При
данной моде соответствуют экспоненциально спадающие или нарастающие поля
каждое из к-рых, взятое в отдельности, не может переносить энергию. Однако
комбинации сдвинутых по фазе спадающих и растущих полей определяют "просачивание"
энергии через закрптич. область, где волны распространяться не могут, -
т. н. туннельный эффект.
Рис. 1. Дисперсия нормальных волн
в изотропной неизотермической плазме: 1 - поперечные электромагнитные
волны; 2 - ленгмюровские волны; 3 - ионно-звуковые волны.
Рис. 2. Дисперсия нормальных волн в экранированных системах: 1 - квазистатические моды; h - декремент экспоненциально спадающих мод.
В волноводах с однородным заполнением фазовые
и групповые
скорости Н. в. и однородных плоских волн в среде заполнения
связаны универсальным соотношением
В коротковолновом пределе диапазона (kz
- >) дисперсионные
ветви мод стремятся к общей асимптоте (асимптотич. вырождение), совпадающей
с ветвью однородных волн в среде заполнения (пунктирная линия
1 на
рис. 2) . В акустич. трубах и неодносвязных радиоволноводах (в коаксиальных
и многожильных кабелях, а также в открытых длинных линиях) эта асимптота
сама является одной из ветвей Н. в. системы - т. н. квазистатич. Н. в.,
существующих при
и при любой частоте имеющих статич. поперечную структуру (напр., электростатическую
и магнитостатическую). В N-жильном кабеле квазистатич. моды N-кратно
вырождены, что используется в системах многоканальной передачи информации.
В открытых волновых каналах поперечная
локализация Н. в. происходит в результате полного внутреннего отражения либо
на резких границах раздела сред (диэлектрич. волноводы, световоды), либо
на плавных неоднородностях среды (звуковые каналы в океане и атмосфере,
ионосферные радиоканалы, каналы внутр. волн в океане и др.). Совокупность
локализованных (или захваченных) мод дискретна, но (в отличие от экранир.
систем) не является полной. В волновых каналах существует сплошное множество
т. н. незахваченных мод, не спадающих при
Предельным случаем волновых каналов являются
резкие границы раздела сред, вдоль к-рых могут распространяться поверхностные
Н. в.
Понятие Н. в. обобщается на продольно-периодич.
структуры: гофриров. волноводы, замедляющие системы, цепочки четырёхполюсников,
среды с равномерным шпром анизотропии (напр., жидкие кристаллы) и т. д.
Значение Н. в. в физике, технике, природе
определяется их уникальной структурной устойчивостью по отношению к малым,
а также к медленным и плавным изменениям параметров системы. Это свойство
допускает возможность довольно широкого (хотя и не вполне строгого) распространения
понятия Н. в. на системы со слабыми потерями и нелинейными взаимодействиями,
искривлённые, деформированные, заполненные неоднородной средой, на системы
с флуктуациями параметров и шероховатостями экранов. Метод Н. в. (т. е.
разложение полей по Н. в. модельных систем) применяется при изучении природных
волновых явлений (эл--магн., акустич., гидродинамич., сейсмич., плазм.,
гравитационных и т. д.) и при конструировании волноводных техн. устройств.
Лит.: Горелик Г. С., Колебания и
волны, 2 изд., М., 1959; Вайнштейн Л. А., Электромагнитные волны, 2 изд.,
М., 1988; Бреховских Л.М., Волны в слоистых средах, 2 изд., М., 1973; Завадский
В. Ю., Вычисление волновых полей в открытых областях и волноводах, М.,
1972; Никольский В. В., Никольская Т. И., Электродинамика и распространение
радиоволн, 3 изд., М., 1989.
М. А. Миллер, Г. В. Пермитин