обобщённая функция

ОБОБЩЁННАЯ ФУНКЦИЯ - матем. понятие, обобщающее классич. понятие ф-ции. Потребность в таком обобщении возникает во многих техн., физ. и матем. задачах. Понятие О. ф. даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализир. понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, плотность (пространств.) простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д. С др. стороны, в понятии О. ф. находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физ. величины в точке, а можно измерять лишь её ср. значения в достаточно малых окрестностях данной точки. Т.о., О. ф. служат удобным и адекватным аппаратом для описания распределений разл. физ. величин, поэтому О. ф. наз. также распределениями.
О. ф. были введены впервые в кон. 20-х гг. 20 в. П. Дираком (P.A.M. Dirac) в его исследованиях по квантовой механике. Основы матем. теории О. ф. были заложены С. Л. Соболевым в 1936 при решении задачи Коши для гпперболич. ур-ний, а в 50-х гг. Л. Шварц (L. Schwartz) дал систематич. изложение теории О. ф. и указал мн. применения. Теория О. ф. имеет многочисл. применения и вошла в обиход математиков, физиков и инженеров.
Основные определения. Формально О. ф. f определяют как линейный непрерывный функционал над тем или иным векторным пространством достаточно "хороших" (основных) ф-ций Важным примером основного пространства является пространство D(O)бесконечно дифференцируемых финитных в открытом множестве ф-ций Наим. замкнутое множество, вне к-рого наз. носителем Последовательность сходится к ф-ции в D(О), если носители ф-цийсодержатся в нек-ром ограниченном замкнутом подмножестве О и любая производная ф-цийсходится при равномерно по х к соответствующей производной ф-ции
Примером основной ф-ции из служит "шапочка"

Соответствующее D(O)пространство О. ф. обозначают D'(O);Сходимость последовательности О. ф. из D'(0)определяют как слабую сходимость функционалов в D'(О), т. е. f_k - > 0, в D'(O)означает, что для всех
Для того чтобы линейный фунционал f на D(O)был О. ф. в О, т. е. необходимо и достаточно, чтобы для любого открытого множества существовали числа К и т такие, что

где означает верх. грань модуля и её производных порядка

Если в неравенстве (1) целое число т не зависит от О', то О. ф. f имеет конечный порядок; наименьшее такое т наз. порядком f в О. Т. о., в силу (1) всякая О. ф. f из D'(O)имеет конечный порядок в любомО.

Пространство D'(O) - полное: если последовательность О. ф. f_k, k = 1, 2, ..., из D'(O)такова, что для любой ф-ции числовая последовательность сходится, то функционалпринадлежит D'(O).
Простейшими примерами О. ф. являются функционалы, порождаемые локально интегрируемыми в О ф-циями:

О. ф., определяемые локально интегрируемыми в О ф-циямп f(x)по ф-ле (2), наз. регулярными О. ф. в О; остальные О. ф. наз. сингулярными.
Примером сингулярной О. ф. в служит дельта-функция Дирака, Она описывает плотность массы 1, сосредоточенной в точке х = 0. При этом "шапочка"аппроксимирует-функцию,в D'. Пусть и - "шапочка". Тогда ф-ция наз. регуляризацией О. ф. f ив D' (О). Более того, всякая f из D'(O)есть слабый предел ф-ций из D(O). Последнее свойство иногда берут в качестве исходного для определения О. ф., что вместе с теоремой о полноте пространства О. ф. приводит к эквивалентному определению О. ф.
О. ф., вообще говоря, не имеют значений в отд. точках. Тем не менее можно говорить о совпадении О. ф. с локально интегрируемой ф-цией на открытом множестве: О. ф. f из D'(O)совпадает в О'О слокально интегрируемой в О' ф-цией f₀(х), если её сужение на О' есть f₀, т. е. в соответствии с (2)

для всех при этом считается f = f₀(x), В частности, при f₀ 0 получается определение того, что О. ф. f обращается в нуль в О'. Множество точек О, ни в какой окрестности к-рых О. ф. f не обращается в нуль, наз. носителем О. ф. f и обозначается supp f. Если supp то О. ф. / наз. финитной в О.
Справедлива теорема о кусочном склеивании О. ф.: пусть в окрестности U_yО каждой точки у задана О. ф. f_y из D'(U_y), причём элементы f_у согласованы, т. е. f_y1 = f_y2 в тогда существует О. ф. f из D'(О), совпадающая с f_yв U_упри всех у0.
Напр., для-функции Дирака: supp= {0}. О. ф. определяемая равенством

наз. главным значением интеграла от ф-ции 1/х; supp О. ф. сингулярна в однако на открытом множестве х0 она регулярна и совпадает с 1/х.

Поверхностная -функция. Пусть S - кусочно гладкая поверхность и - непрерывная ф-ция на S. О.ф. определяется равенством

При этом вне S, - сингулярная О. ф. Эта О. ф. описывает пространств. плотность масс или зарядов, сосредоточенных на поверхности S с поверхностной плотностью (плотность простого слоя).
Линейные операции над О. ф. вводят как расширение соответствующих операций над основными ф-циями.
Замена переменных. Пусть fD'(O)и х = Ау+ b - линейное преобразование О на O_l det A 0. О. ф. f(Ay + b)из D'(О')определяют равенством

В частности, если(х = - подобие), то если А - I(х=у+b - сдвиг на b), то Ф-ла (3) позволяет определить трансляционно инвариантные, сферически симметричные, центрально симметричные, однородные, периодические и т. д. О. ф.
Пусть непрерывно дифференцируемая ф-ция а имеет только простые нули х₁, x₂, ... на оси Ф-цию(а(х))определяют равенством

Напр.,

Произведение. Пусть fD'(0)и произведение аf = fа определяют равенством

Оказывается, что afD'(0)и для обычных ф-ций произведение аf совпадает с обычным умножением ф-ций f(x)и а(х). Напр.,
Однако эта операция произведения не допускает распространения на любые О. ф. так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной. В нек-рых классах О. ф. такое произведение можно определить, однако оно может оказаться неоднозначным.
Дифференцирование. Пусть fD'(O). Обобщённую производную О. ф. f

порядка определяют равенством

Т. к. операция линейна и непрерывна, то функционал определяемый правой частью равенства (4), есть О. ф. из D'(O).
Имеют место след. свойства: операция линейна и непрерывна, любая О. ф. из D'(O)бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле); дифференцирование не зависит от порядка; справедлива ф-ла Лейбница для дифференцирования произведения аf, где дифференцирование не увеличивает носителя; всякая О. ф. f из D'(О)во всяком открытом множестве О'О есть нек-рая производная от непрерывной ф-ции в О'; любое дифференц. ур-пие Lu = f, fD'(О)с пост. коэф. разрешимо в D'(O); любая О. ф. f порядка N с носителем в точке 0 единств, образом представима в виде

Напр., где - ф-ция Хевисайда:х >= 0;х < 0;

ф-ция - описывает плотность зарядов, соответствующую диполю момента, равного +1 в точке х = О и ориентированного вдоль положительного направления оси х.

Обобщением является нормальная производная от плотности простого слоя на ориентируемой поверхности S:

О. ф. - описывает пространств. плотность зарядов, соответствующих распределению диполей на поверхности S с поверхностной плотностью момента и ориентированных вдоль заданного направления нормали n на S (плотность двойного слоя).
Общее решение ур-ния хи = О в классе есть и(х) = k = 0,1, ...,m - 1. Тригонометрич. ряд

сходится в D', и его можно дифференцировать в D' почленно любое конечное число раз;

Прямое произведение. Пусть f(x)и g(y)- локально интегрируемые ф-ции в пространствах и соответственно. Ф-ция f(x)х g(y) локально интегрируема в она определяет регулярную О. ф.

наз. прямым произведением f и g. Ф-ла (5) служит основой для определения прямого произведения О. ф. f(x)из и g(y)из Прямое произведение коммутативно и ассоциативно. Напр.,

Свёртка. Если f(x)и g(x)локально интегрируемы в и ф-ция также локально интегрируема в то свёрткой f * g наз. ф-ция

Эта ф-ция локально интегрируема в и определяет регулярную О. ф.:

Свёртка заведомо существует, если одна из ф-ций f или g финитна. Если свёртка существует, то она коммутативна: f * g = g * f; справедливы ф-лы дифференцирования свёртки:

Если учесть, что получим
Свёртка, вообще говоря, не ассоциативна. Однако если рассмотреть, напр., совокупность D'+ О. ф. из D'(), обращающихся в нуль при х < 0, то их свёртка существует и ассоциативна.
О. ф. из D' наз. фундаментальным решением (ф-цией точечного источника) дифференц. оператора L(д)с пост. коэффициентами, если она удовлетворяет ур-нию

Зная фундам. решение оператора L(д), можно построить решение ур-ния L(d)u = f для тех f из D', для к-рых свёртка f *существует, и это решение даётся ф-лой Напр., для ур-ния

п = 2; п = 3

(см. также Грина функция).

Преобразование Фурье определяют для класса О. ф. S' = S'() медленного роста. Пространство основных ф-ций S = S()состоит из ф-ций, убывающих на бесконечности вместе со всеми производными быстрее любой степени | х | ^-1. Норма в S задаётся выражением

Локально интегрируемые в ф-ции медленного роста содержатся в S', определяя по ф-ле (2) регулярные функционалы на S. Всякая О. ф. из S' есть нек-рая производная от непрерывной ф-ции медленного роста и, стало быть, имеет конечный порядок в
Преобразование Фурье F [f ]О. ф. f из S' определяется равенством

где классич. преобразование Фурье. Обратная операция к F:

Основные ф-лы для fS':

если g финитна. Если О. ф. f - периодическая с периодом Т = (Т₁, ..., Т_п), T_j> 0, то fS' и её можно разложить в тригонометрич. ряд

сходящийся к f в S'; здесь

Напр., в частности F[1] = в частности
Преобразование Лапласа в одномерном случае. Пусть S'₊ - пересечение множеств S' и D'₊ , тогда множество О. ф. из D'₊, таких, что при всех > а, обозначают D'+(a). Если f и то причём (f * g)exp( -х) = /ехр( -х) * gexp ( -х),> а.
Пусть fD '₊ (a), тогда преобразование Лапласа f есть

L_f (p) - аналитич. ф-ция в полуплоскости > а. Ф-цию f(x)наз. оригиналом, ф-цию L_f (p) - изображением, между ними имеется взаимно однозначное соответствие f(x)<-> L_f(p), > а. Обратное преобразование определяют равенством

Справедливы след. ф-лы:

Напр.,

р - любое, m = 0,1,...

Лит.: Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции, в. 1 - 3, М., 1958; Дирак П. А. М., Принципы квантовой механики, пер. с англ., 2 изд., М., 1979; Шварц Л., Математические методы для физических наук, пер. с франц., М., 1965; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1988; его ж е, Обобщенные функции с математической физике 2 изд., М., 1979; Антосик П., Микусинский Я. Сикорский Р., Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход, пер. с англ., М., 1976; Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики, пер. с англ. т. 1, М., 1982; Боголюбов Н. Н., Логунов А. А. Оксак А. И., Тодоров И. Т., Общие принципы квантовой теории поля, М., 1987.

В. С. Владимиров.

   <<      Предметный указатель      >>