Стартовая Предметный указатель Новости науки и техники
Новости науки и техники
ТЕМНАЯ ЭНЕРГИЯ ОХЛАЖДАЕТ ОКРЕСТНОСТИ НАШЕЙ ГАЛАКТИКИ
Темная энергия – загадочное явление, выходящее за рамки Стандартной модели физики. Астрономы заинтересовались им около десяти лет назад. Вновь стало актуальным расширение Вселенной: ученые предполагали, что оно затухает, а оказалось, что ускоряется. Но вскоре астрономы поняли, что у темной энергии есть своя темная сторона. Далее...

обобщённая функция

ОБОБЩЁННАЯ ФУНКЦИЯ - матем. понятие, обобщающее классич. понятие ф-ции. Потребность в таком обобщении возникает во многих техн., физ. и матем. задачах. Понятие О. ф. даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализир. понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, плотность (пространств.) простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д. С др. стороны, в понятии О. ф. находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физ. величины в точке, а можно измерять лишь её ср. значения в достаточно малых окрестностях данной точки. Т.о., О. ф. служат удобным и адекватным аппаратом для описания распределений разл. физ. величин, поэтому О. ф. наз. также распределениями.
О. ф. были введены впервые в кон. 20-х гг. 20 в. П. Дираком (P.A.M. Dirac) в его исследованиях по квантовой механике. Основы матем. теории О. ф. были заложены С. Л. Соболевым в 1936 при решении задачи Коши для гпперболич. ур-ний, а в 50-х гг. Л. Шварц (L. Schwartz) дал систематич. изложение теории О. ф. и указал мн. применения. Теория О. ф. имеет многочисл. применения и вошла в обиход математиков, физиков и инженеров.
Основные определения. Формально О. ф. f определяют как линейный непрерывный функционал над тем или иным векторным пространством достаточно "хороших" (основных) ф-ций15006-127.jpg Важным примером основного пространства является пространство D(O)бесконечно дифференцируемых финитных в открытом множестве15006-128.jpg ф-ций15006-129.jpg Наим. замкнутое множество, вне к-рого15006-130.jpg наз. носителем15006-131.jpg Последовательность15006-132.jpg сходится к ф-ции15006-133.jpg в D(О), если носители ф-ций15006-134.jpgсодержатся в нек-ром ограниченном замкнутом подмножестве О и любая производная ф-ций15006-135.jpgсходится при15006-136.jpg равномерно по х к соответствующей производной ф-ции15006-137.jpg
Примером основной ф-ции из15006-138.jpg служит "шапочка"

15006-139.jpg

Соответствующее D(O)пространство О. ф. обозначают D'(O);15006-140.jpg15006-141.jpgСходимость последовательности О. ф. из D'(0)определяют как слабую сходимость функционалов в D'(О), т. е. fk - > 0,15006-142.jpg в D'(O)означает, что15006-143.jpg15006-144.jpg для всех15006-145.jpg
Для того чтобы линейный фунционал f на D(O)был О. ф. в О, т. е.15006-146.jpg необходимо и достаточно, чтобы для любого открытого множества15006-147.jpg существовали числа К и т такие, что

15006-148.jpg

где15006-149.jpg означает верх. грань модуля15006-150.jpg и её производных порядка15006-151.jpg

Если в неравенстве (1) целое число т не зависит от О', то О. ф. f имеет конечный порядок; наименьшее такое т наз. порядком f в О. Т. о., в силу (1) всякая О. ф. f из D'(O)имеет конечный порядок в любом15006-152.jpgО.

Пространство D'(O) - полное: если последовательность О. ф. fk, k = 1, 2, ..., из D'(O)такова, что для любой ф-ции15006-153.jpg числовая последовательность15006-154.jpg сходится, то функционал15006-155.jpgпринадлежит D'(O).
Простейшими примерами О. ф. являются функционалы, порождаемые локально интегрируемыми в О ф-циями:

15006-156.jpg

О. ф., определяемые локально интегрируемыми в О ф-циямп f(x)по ф-ле (2), наз. регулярными О. ф. в О; остальные О. ф. наз. сингулярными.
Примером сингулярной О. ф. в15006-157.jpg служит дельта-функция Дирака,15006-158.jpg Она описывает плотность массы 1, сосредоточенной в точке х = 0. При этом "шапочка"15006-159.jpgаппроксимирует15006-160.jpg-функцию,15006-161.jpg15006-162.jpgв D'. Пусть15006-163.jpg и15006-164.jpg - "шапочка". Тогда ф-ция15006-165.jpg наз. регуляризацией О. ф. f и15006-166.jpg15006-167.jpgв D' (О). Более того, всякая f из D'(O)есть слабый предел ф-ций из D(O). Последнее свойство иногда берут в качестве исходного для определения О. ф., что вместе с теоремой о полноте пространства О. ф. приводит к эквивалентному определению О. ф.
О. ф., вообще говоря, не имеют значений в отд. точках. Тем не менее можно говорить о совпадении О. ф. с локально интегрируемой ф-цией на открытом множестве: О. ф. f из D'(O)совпадает в О'15006-168.jpgО слокально интегрируемой в О' ф-цией f0(х), если её сужение на О' есть f0, т. е. в соответствии с (2)

15006-169.jpg

для всех15006-170.jpg при этом считается f = f0(x),15006-171.jpg В частности, при f015006-172.jpg 0 получается определение того, что О. ф. f обращается в нуль в О'. Множество точек О, ни в какой окрестности к-рых О. ф. f не обращается в нуль, наз. носителем О. ф. f и обозначается supp f. Если supp15006-173.jpg то О. ф. / наз. финитной в О.
Справедлива теорема о кусочном склеивании О. ф.: пусть в окрестности Uy15006-174.jpgО каждой точки у задана О. ф. fy из D'(Uy), причём элементы fу согласованы, т. е. fy1 = fy2 в15006-175.jpg тогда существует О. ф. f из D'(О), совпадающая с fyв Uупри всех у15006-176.jpg0.
Напр., для15006-177.jpg-функции Дирака: supp15006-178.jpg= {0}. О. ф.15006-179.jpg определяемая равенством

15006-180.jpg

наз. главным значением интеграла от ф-ции 1/х; supp15006-181.jpg О. ф.15006-182.jpg сингулярна в15006-183.jpg однако на открытом множестве х15006-184.jpg0 она регулярна и совпадает с 1/х.

Поверхностная15006-185.jpg -функция. Пусть S - кусочно гладкая поверхность и15006-186.jpg - непрерывная ф-ция на S. О.ф.15006-188.jpg определяется равенством

15006-187.jpg

При этом15006-189.jpg вне S,15006-190.jpg - сингулярная О. ф. Эта О. ф. описывает пространств. плотность масс или зарядов, сосредоточенных на поверхности S с поверхностной плотностью15006-191.jpg (плотность простого слоя).
Линейные операции над О. ф. вводят как расширение соответствующих операций над основными ф-циями.
Замена переменных. Пусть f15006-192.jpgD'(Oх = Ау+ b - линейное преобразование О на Ol det A15006-193.jpg 0. О. ф. f(Ay + b)из D'(О')определяют равенством

15006-194.jpg

В частности, если15006-195.jpg15006-196.jpg(х =15006-197.jpg - подобие), то15006-198.jpg если А - I(х=у+b - сдвиг на b), то15006-199.jpg Ф-ла (3) позволяет определить трансляционно инвариантные, сферически симметричные, центрально симметричные, однородные, периодические и т. д. О. ф.
Пусть непрерывно дифференцируемая ф-ция а имеет только простые нули х1, x2, ... на оси15006-200.jpg Ф-цию15006-201.jpg(а(х))определяют равенством

15006-202.jpg

Напр.,15006-203.jpg15006-204.jpg

15006-205.jpg

15006-206.jpg

Произведение. Пусть f15006-207.jpgD'(015006-208.jpg произведение аf = fа определяют равенством

15006-209.jpg

Оказывается, что af15006-210.jpgD'(0)и для обычных ф-ций произведение аf совпадает с обычным умножением ф-ций f(xа(х). Напр.,15006-211.jpg15006-212.jpg
Однако эта операция произведения не допускает распространения на любые О. ф. так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной. В нек-рых классах О. ф. такое произведение можно определить, однако оно может оказаться неоднозначным.
Дифференцирование. Пусть f15006-213.jpgD'(O). Обобщённую производную О. ф. f

15006-214.jpg порядка15006-215.jpg определяют равенством

15006-216.jpg

Т. к. операция15006-217.jpg линейна и непрерывна, то функционал15006-218.jpg определяемый правой частью равенства (4), есть О. ф. из D'(O).
Имеют место след. свойства: операция15006-219.jpg линейна и непрерывна, любая О. ф. из D'(O)бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле); дифференцирование не зависит от порядка; справедлива ф-ла Лейбница для дифференцирования произведения аf, где15006-220.jpg дифференцирование не увеличивает носителя; всякая О. ф. f из D'(О)во всяком открытом множестве О'15006-221.jpgО есть нек-рая производная от непрерывной ф-ции в О'; любое дифференц. ур-пие Lu = f, f15006-222.jpgD'(О)с пост. коэф. разрешимо в D'(O); любая О. ф. f порядка N с носителем в точке 0 единств, образом представима в виде

15006-223.jpg

Напр.,15006-224.jpg где15006-225.jpg - ф-ция Хевисайда:15006-226.jpgх >= 0;15006-227.jpgх < 0;15006-228.jpg

ф-ция -15006-229.jpg описывает плотность зарядов, соответствующую диполю момента, равного +1 в точке х = О и ориентированного вдоль положительного направления оси х.

Обобщением15006-229.jpg является нормальная производная от плотности простого слоя на ориентируемой поверхности S:

15006-230.jpg

О. ф. -15006-231.jpg описывает пространств. плотность зарядов, соответствующих распределению диполей на поверхности S с поверхностной плотностью момента15006-232.jpg и ориентированных вдоль заданного направления нормали n на S (плотность двойного слоя).
Общее решение ур-ния хи = О в классе15006-233.jpg есть и(х) =15006-234.jpg15006-235.jpg k = 0,1, ...,m - 1. Тригонометрич. ряд

15006-236.jpg

сходится в D', и его можно дифференцировать в D' почленно любое конечное число раз;

15006-237.jpg

Прямое произведение. Пусть f(xg(y)- локально интегрируемые ф-ции в пространствах15006-238.jpg и15006-239.jpg соответственно. Ф-ция f(xg(y) локально интегрируема в15006-240.jpg она определяет регулярную О. ф.

15006-241.jpg

наз. прямым произведением f и g. Ф-ла (5) служит основой для определения прямого произведения О. ф. f(x)из15006-242.jpg и g(y)из15006-243.jpg Прямое произведение коммутативно и ассоциативно. Напр.,15006-244.jpg15006-245.jpg

Свёртка. Если f(xg(x)локально интегрируемы в15006-246.jpg и ф-ция15006-247.jpg также локально интегрируема в15006-248.jpg то свёрткой f * g наз. ф-ция

15006-249.jpg

Эта ф-ция локально интегрируема в15006-250.jpg и определяет регулярную О. ф.:

15006-251.jpg

Свёртка заведомо существует, если одна из ф-ций f или g финитна. Если свёртка существует, то она коммутативна: f * g = g * f; справедливы ф-лы дифференцирования свёртки:

15006-252.jpg

Если учесть, что15006-254.jpg получим15006-255.jpg15006-253.jpg
Свёртка, вообще говоря, не ассоциативна. Однако если рассмотреть, напр., совокупность D'+ О. ф. из D'(15006-256.jpg), обращающихся в нуль при х < 0, то их свёртка существует и ассоциативна.
О. ф.15006-257.jpg из D' наз. фундаментальным решением (ф-цией точечного источника) дифференц. оператора L(д)с пост. коэффициентами, если она удовлетворяет ур-нию

15006-258.jpg

Зная фундам. решение15006-259.jpg оператора L(д), можно построить решение ур-ния L(d)u = f для тех f из D', для к-рых свёртка f *15006-260.jpgсуществует, и это решение даётся ф-лой15006-261.jpg Напр., для ур-ния15006-262.jpg

15006-263.jpgп = 2;15006-264.jpg п = 3

(см. также Грина функция).

Преобразование Фурье определяют для класса О. ф. S' = S'(15006-265.jpg) медленного роста. Пространство основных ф-ций S = S(15006-266.jpg)состоит из ф-ций, убывающих на бесконечности вместе со всеми производными быстрее любой степени | х | -1. Норма в S задаётся выражением

15006-267.jpg

Локально интегрируемые в15006-268.jpg ф-ции медленного роста содержатся в S', определяя по ф-ле (2) регулярные функционалы на S. Всякая О. ф. из S' есть нек-рая производная от непрерывной ф-ции медленного роста и, стало быть, имеет конечный порядок в15006-269.jpg
Преобразование Фурье F [f ]О. ф. f из S' определяется равенством

15006-270.jpg

где15006-271.jpg классич. преобразование Фурье. Обратная операция к F:

15006-272.jpg

Основные ф-лы для f15006-273.jpgS':

15006-274.jpg

если g финитна. Если О. ф. f - периодическая с периодом Т = (Т1, ..., Тп), Tj> 0, то f15006-275.jpgS' и её можно разложить в тригонометрич. ряд

15006-276.jpg

сходящийся к f в S'; здесь

15006-277.jpg

Напр.,15006-278.jpg в частности F[1] =15006-279.jpg15006-280.jpg в частности15006-281.jpg
Преобразование Лапласа в одномерном случае.15006-282.jpg Пусть S'+ - пересечение множеств S' и D'+ , тогда множество О. ф. из D'+, таких, что15006-283.jpg при всех15006-284.jpg > а, обозначают D'+(a). Если f и15006-285.jpg то15006-286.jpg причём (f * g)exp( -15006-287.jpgх) = /ехр( -15006-288.jpgх) * gexp ( -15006-289.jpgх),15006-290.jpg> а.
Пусть f15006-291.jpgD '+ (a), тогда преобразование Лапласа f есть

15006-292.jpg

Lf (p) - аналитич. ф-ция в полуплоскости15006-293.jpg > а. Ф-цию f(x)наз. оригиналом, ф-цию Lf (p) - изображением, между ними имеется взаимно однозначное соответствие f(x)<-> Lf(p),15006-294.jpg > а. Обратное преобразование определяют равенством

15006-295.jpg

Справедливы след. ф-лы:

15006-296.jpg

Напр.,

15006-297.jpg15006-298.jpgр - любое, m = 0,1,...

Лит.: Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции, в. 1 - 3, М., 1958; Дирак П. А. М., Принципы квантовой механики, пер. с англ., 2 изд., М., 1979; Шварц Л., Математические методы для физических наук, пер. с франц., М., 1965; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1988; его ж е, Обобщенные функции с математической физике 2 изд., М., 1979; Антосик П., Микусинский Я. Сикорский Р., Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход, пер. с англ., М., 1976; Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики, пер. с англ. т. 1, М., 1982; Боголюбов Н. Н., Логунов А. А. Оксак А. И., Тодоров И. Т., Общие принципы квантовой теории поля, М., 1987.

В. С. Владимиров.

  Предметный указатель