обратной задачи рассеяния метод

ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ МЕТОД - метод исследования нек-рых нелинейных уравнений математической физики. Введён К. Гарднером (С. S. Gardner), Дж. Грином (J. М. Greene), М. Крускалом (М. D. Kruskal) и Р. Миурой (R. М. Miura) в 1967, хотя отд. элементы метода были известны ещё в 19 в. (см. Беклунда преобразование ).Основан на представлении исследуемого нелинейного ур-ния в виде условия совместности для системы линейных ур-ний. Первонач. вариант метода, использующий теорию рассеяния для дифференц. операторов (отсюда назв. метода), был применён к Кортевега - де Фриса уравнению

к-рое является условием совместности переопределённой линейной системы ур-ний

и эквивалентно операторному соотношению (представлению Лакса)

Ур-ние (2) - стационарное одномерное Шрёдингера уравнение с потенциалом и(х, t), зависящим от времени t как от параметра [предполагаем, что и(х, t)достаточно быстро убывает при ].
Основные понятия. Волновые ф-ции соответствующие непрерывному спектру оператора определим асимптотич. выражениями

Из представления (4) следуют соотношения

Ф-ция имеет смысл амплитуды рассеяния назад, ф-ция - амплитуды рассеяния вперёд. Ф-ция аналитична и имеет на верх. мнимой полуоси конечное число нулей определяющих дискретный спектр оператора Шрёдингера Положение нулей не зависит от времени. Собств. ф-ции дискретного спектра определим нормировкой при тогдапри х --> - Из ф-л (5) следует, что

Рассмотрим интегральное уравнение Гельфанда - Левитана - Марченко для ф-ции К (х, z), позволяющей решить обратную задачу рассеяния:

здесь

При помощи ф-лы и(х)= 2dK(x, x)/dx можно восстановить потенциал в ур-нии Шрёдингера (2) по набору т. н. данных рассеяния, т. е. величинс_п. При физически очевидных предположениях М ²_n > 0, эта задача однозначно разрешима.
Вместо данных рассеяния можно говорить о функции
О. з. р. м. основан на соотношениях (5), (6), определяющих зависимость данных рассеяния от времени и позволяющих решать задачу Коши для ур-ния (1) по схеме

На I этапе решается прямая задача рассеяния, на III этапе - обратная. Для эфф. решения этих задач, вообще говоря, необходимы численные расчёты. Достоинство О. з. р. м. состоит в том, что он позволяет сколь угодно далеко продвинуться по времени без потери точности.
При ур-ние (7) сводится к системе N линейных алгебраич. ур-ний и его решение выражается в элементарных ф-циях. Это решение описывает взаимодействие N уединённых волн (солитонов)и наз. N-солитонным. При любом t профили. N-солитонных решений представляют собой по отношению к ур-нию Шрёдингера безотражат. потенциалы (потенциалы Баргмана), на к-рых не происходит отражения назад.
Описанный вариант О. з. р. м. можно рассматривать как нелинейный аналог метода разделения переменных при решении задачи Коши для линейных эволюц. ур-ний (напр., диффузии уравнения). Этот вариант метода можно использовать также для решений ур-ния Кортевега - де Фриса, убывающих в одном направлении, но нельзя использовать для неубывающих решений. Нек-рые из таких решений можно построить методами алгебраич. геометрии. Профили этих решений - периодич. или квазипериодич. потенциалы, в непрерывном спектре к-рых имеется конечное число п запрещённых зон (см., напр., Бриллюэна зона ).Простейший из них (однозонный потенциал) выражается через эллиптические функции и описывает частное решение ур-ния (1) - стационарную периодич. волну. Общее решение (n-зонный потенциал) описывает взаимодействие п таких волн. С n-зонными потенциалами связаны-функции Якоби, при помощи к-рых можно записать и решения линейной системы (2), (3) - функции Блоха.
Применение метода. Описанная схема применима к разл. нелинейным дифференц. и интегро-дифференц. ур-ниям, представимым в виде

Здесь - произвольная рациональная ф-ция переменной а - т. н. рекурсионный оператор:

[для ур-ния Кортевега - де Фриса ]. В частном случае ур-ния (8) (т. н. высшие ур-ния Кортевега - де Фриса) являются дифференциальными и имеют порядок (2т + 1). Ур-ния (8) являются условиями совместности линейной системы ур-ний, к-рая отличается от системы (2), (3) видом оператора. Если - полином по переменной то - дифференц. оператор.
Все ур-ния (8) имеют n-солитонные и конечнозонные решения. Каждое из ур-ний (8) имеет бесконечное число интегралов движения. В качестве интеграла можно взять любой функционал от сохраняющейся ф-ции Интегралы вида

можно выразить через ф-цию и и её производные по х, напр.:

Все ур-ния (8) являются гамильтоновыми системами. Однако гамильтонова структура задаётся для них неоднозначно. Для задания этой структуры нужно определить скобку Пуассона между функционалами от ф-ции и. Кроме обычной скобки Пуассона

можно ввести след, скобку Пуассона

Здесь - произвольная рациональная ф-ция переменной
Любая из скобок Пуассона между любыми двумя интегралами движения равна 0. Этот факт тесно связан со свойством полной интегрируемости: нелинейное ур-ние в частных производных (8) распадается на бесконечную систему обыкновенных дифференц. ур-ний.
Дальнейшее расширение класса ур-ний, к к-рым применим О. з. р. м., связано с др. выбором оператора В качестве можно взять оператор 3-го или более высокого порядка. С каждым оператором связаны свой рекурсионный оператор и своя бесконечная серия ур-ний вида (8). Лишь нек-рые из этих ур-ний имеют физ. применения. Так, оператор 3-го порядка позволяет исследовать возникающее в теории нелинейных волн ур-ние Буссинеска

u_tt +u_xx + и_хххх + (u²)_хх = 0.

В качестве оператораможно взять разностные операторы, что позволяет применить О. з. р. м. к дифференциально-разностным ур-ниям, среди к-рых особенно интересны ур-ние Вольтерры

встречающееся в матем. биофизике и теории плазменной турбулентности, а также ур-ние для цепочки. Тода

описывающее нелинейную модель одномерного кристалла. Оператор может быть сингулярным интегральным оператором, такие операторы возникают в краевых задачах теории аналитич. ф-ций. Их можно использовать для изучения нелинейных ур-ний, возникающих в теории внутр. волн. Оператор может быть матричным. Так, для применения О. з. р. м. к Шрёдингера уравнению нелинейному нужно подставить в ур-ние (2) вместо оператора одномерный оператор Дирака (см. Дирака уравнение ).При изучении важной для нелинейной оптики задачи о резонансном взаимодействии системы трёх волн с помощью О. з. р. м. в качестве следует использовать обобщение оператора Дирака.
Обобщения метода. Описанная схема О. з. р. м. допускает разл. обобщения. Зависимость ур-ний, входящих в линейную систему, от спектрального параметра может описываться рациональными или эллиптич. ф-циями и даже дифференц. операторами по Условия совместности линейной системы образуют разнообразный набор нелинейных ур-ний, имеющих, вообще говоря, переменные коэффициенты. Многие из этих ур-ний находят применение в физике, напр. в нелинейной оптике, теории ферромагнетизма и общей теории относительности. Для отыскания солитонных решений этих ур-ний развиты простые методы, основанные на свойствах аналитич. ф-ций.
Существует неск. вариантов обобщения О. з. р. м. на многомерный случай, однако лишь нек-рые ур-ния используются в физике, напр. Кадомцева - Петвиашвили уравнение и ур-ние дуальности для Янга - Миллса полей. Теория таких ур-ний не завершена.
Развитие О. з. р. м. позволило по-новому взглянуть на теорию конечномерных интегрируемых систем. В О. з. р. м. можно включить почти все известные системы такого рода. О. з. р. м. стимулировал исследования в разл. областях математики (спектральная теория дифференц. операторов, классич. алгебраич. геометрия). Результаты этих исследований используются в теории элементарных частиц (релятивистские струны).

Лит.: Теория солитонов. Метод обратной задачи, М., 1980; Лэм Дж., Введение в теорию солитонов, пер. с англ., М., 1983; Абловиц М., Сигур X., Солитоны и метод обратной задачи, пер. с англ., М., 1987.

В. Е. Захаров.