Стартовая Предметный указатель Новости науки и техники
Новости науки и техники
Доступная практика научной коммуникации
Современные методы и средства научной коммуникации
Бесплатный открытый доступ к результатам научных исследований с правом законного их использования представляет актуальную и важную задачу научной коммуникации. При этом особый интерес представляет реализация практики открытого бесплатного доступа научных организаций и отдельных исследователей к онлайновым публикациям научных результатов. Далее...

Средства коммуникации

обратной задачи рассеяния метод

ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ МЕТОД - метод исследования нек-рых нелинейных уравнений математической физики. Введён К. Гарднером (С. S. Gardner), Дж. Грином (J. М. Greene), М. Крускалом (М. D. Kruskal) и Р. Миурой (R. М. Miura) в 1967, хотя отд. элементы метода были известны ещё в 19 в. (см. Беклунда преобразование ).Основан на представлении исследуемого нелинейного ур-ния в виде условия совместности для системы линейных ур-ний. Первонач. вариант метода, использующий теорию рассеяния для дифференц. операторов (отсюда назв. метода), был применён к Кортевега - де Фриса уравнению

15009-1.jpg

к-рое является условием совместности переопределённой линейной системы ур-ний

15009-2.jpg

15009-3.jpg

и эквивалентно операторному соотношению (представлению Лакса)

15009-4.jpg

Ур-ние (2) - стационарное одномерное Шрёдингера уравнение с потенциалом и(х, t), зависящим от времени t как от параметра [предполагаем, что и(х, t)достаточно быстро убывает при15009-5.jpg ].
Основные понятия. Волновые ф-ции15009-6.jpg соответствующие непрерывному спектру оператора15009-7.jpg определим асимптотич. выражениями

15009-8.jpg

Из представления (4) следуют соотношения

15009-9.jpg

Ф-ция15009-10.jpg имеет смысл амплитуды рассеяния назад, ф-ция15009-11.jpg - амплитуды рассеяния вперёд. Ф-ция15009-12.jpg аналитична и имеет на верх. мнимой полуоси конечное число нулей15009-13.jpg определяющих дискретный спектр оператора Шрёдингера15009-14.jpg Положение нулей не зависит от времени. Собств. ф-ции дискретного спектра15009-15.jpg определим нормировкой15009-16.jpg15009-17.jpg при15009-18.jpg тогда15009-19.jpgпри х --> -15009-20.jpg Из ф-л (5) следует, что

15009-21.jpg

Рассмотрим интегральное уравнение Гельфанда - Левитана - Марченко для ф-ции К (х, z), позволяющей решить обратную задачу рассеяния:

15009-22.jpg

здесь

15009-23.jpg

15009-24.jpg

При помощи ф-лы и(х)= 2dK(x, x)/dx можно восстановить потенциал в ур-нии Шрёдингера (2) по набору т. н. данных рассеяния, т. е. величин15009-25.jpgсп. При физически очевидных предположениях15009-26.jpg М 2n > 0,15009-27.jpg эта задача однозначно разрешима.
Вместо данных рассеяния можно говорить о функции15009-28.jpg
О. з. р. м. основан на соотношениях (5), (6), определяющих зависимость данных рассеяния от времени и позволяющих решать задачу Коши для ур-ния (1) по схеме

15009-29.jpg

На I этапе решается прямая задача рассеяния, на III этапе - обратная. Для эфф. решения этих задач, вообще говоря, необходимы численные расчёты. Достоинство О. з. р. м. состоит в том, что он позволяет сколь угодно далеко продвинуться по времени без потери точности.
При15009-30.jpg ур-ние (7) сводится к системе N линейных алгебраич. ур-ний и его решение выражается в элементарных ф-циях. Это решение описывает взаимодействие N уединённых волн (солитонов)и наз. N-солитонным. При любом t профили. N-солитонных решений представляют собой по отношению к ур-нию Шрёдингера безотражат. потенциалы (потенциалы Баргмана), на к-рых не происходит отражения назад.
Описанный вариант О. з. р. м. можно рассматривать как нелинейный аналог метода разделения переменных при решении задачи Коши для линейных эволюц. ур-ний (напр., диффузии уравнения). Этот вариант метода можно использовать также для решений ур-ния Кортевега - де Фриса, убывающих в одном направлении, но нельзя использовать для неубывающих решений. Нек-рые из таких решений можно построить методами алгебраич. геометрии. Профили этих решений - периодич. или квазипериодич. потенциалы, в непрерывном спектре к-рых имеется конечное число п запрещённых зон (см., напр., Бриллюэна зона ).Простейший из них (однозонный потенциал) выражается через эллиптические функции и описывает частное решение ур-ния (1) - стационарную периодич. волну. Общее решение (n-зонный потенциал) описывает взаимодействие п таких волн. С n-зонными потенциалами связаны15009-31.jpg-функции Якоби, при помощи к-рых можно записать и решения линейной системы (2), (3) - функции Блоха.
Применение метода. Описанная схема применима к разл. нелинейным дифференц. и интегро-дифференц. ур-ниям, представимым в виде

15009-32.jpg

Здесь15009-33.jpg - произвольная рациональная ф-ция переменной15009-34.jpg а15009-35.jpg - т. н. рекурсионный оператор:

15009-36.jpg

[для ур-ния Кортевега - де Фриса15009-37.jpg ]. В частном случае15009-38.jpg ур-ния (8) (т. н. высшие ур-ния Кортевега - де Фриса) являются дифференциальными и имеют порядок (2т + 1). Ур-ния (8) являются условиями совместности линейной системы ур-ний, к-рая отличается от системы (2), (3) видом оператора15009-39.jpg. Если15009-40.jpg - полином по переменной15009-41.jpg то15009-42.jpg - дифференц. оператор.
Все ур-ния (8) имеют n-солитонные и конечнозонные решения. Каждое из ур-ний (8) имеет бесконечное число интегралов движения. В качестве интеграла можно взять любой функционал от сохраняющейся ф-ции15009-43.jpg Интегралы вида

15009-44.jpg

можно выразить через ф-цию и и её производные по х, напр.:

15009-45.jpg

Все ур-ния (8) являются гамильтоновыми системами. Однако гамильтонова структура задаётся для них неоднозначно. Для задания этой структуры нужно определить скобку Пуассона15009-46.jpg между функционалами от ф-ции и. Кроме обычной скобки Пуассона

15009-47.jpg

можно ввести след, скобку Пуассона

15009-48.jpg

Здесь15009-49.jpg - произвольная рациональная ф-ция переменной15009-50.jpg
Любая из скобок Пуассона между любыми двумя интегралами движения равна 0. Этот факт тесно связан со свойством полной интегрируемости: нелинейное ур-ние в частных производных (8) распадается на бесконечную систему обыкновенных дифференц. ур-ний.
Дальнейшее расширение класса ур-ний, к к-рым применим О. з. р. м., связано с др. выбором оператора15009-51.jpg В качестве15009-52.jpg можно взять оператор 3-го или более высокого порядка. С каждым оператором15009-53.jpg связаны свой рекурсионный оператор и своя бесконечная серия ур-ний вида (8). Лишь нек-рые из этих ур-ний имеют физ. применения. Так, оператор 3-го порядка позволяет исследовать возникающее в теории нелинейных волн ур-ние Буссинеска

utt +uxx + ихххх + (u2)хх = 0.

В качестве оператора15009-54.jpgможно взять разностные операторы, что позволяет применить О. з. р. м. к дифференциально-разностным ур-ниям, среди к-рых особенно интересны ур-ние Вольтерры

15009-55.jpg

встречающееся в матем. биофизике и теории плазменной турбулентности, а также ур-ние для цепочки. Тода

15009-56.jpg

описывающее нелинейную модель одномерного кристалла. Оператор15009-57.jpg может быть сингулярным интегральным оператором, такие операторы возникают в краевых задачах теории аналитич. ф-ций. Их можно использовать для изучения нелинейных ур-ний, возникающих в теории внутр. волн. Оператор15009-58.jpg может быть матричным. Так, для применения О. з. р. м. к Шрёдингера уравнению нелинейному нужно подставить в ур-ние (2) вместо оператора15009-59.jpg одномерный оператор Дирака (см. Дирака уравнение ).При изучении важной для нелинейной оптики задачи о резонансном взаимодействии системы трёх волн с помощью О. з. р. м. в качестве15009-60.jpg следует использовать обобщение оператора Дирака.
Обобщения метода. Описанная схема О. з. р. м. допускает разл. обобщения. Зависимость ур-ний, входящих в линейную систему, от спектрального параметра15009-61.jpg может описываться рациональными или эллиптич. ф-циями и даже дифференц. операторами по15009-62.jpg Условия совместности линейной системы образуют разнообразный набор нелинейных ур-ний, имеющих, вообще говоря, переменные коэффициенты. Многие из этих ур-ний находят применение в физике, напр. в нелинейной оптике, теории ферромагнетизма и общей теории относительности. Для отыскания солитонных решений этих ур-ний развиты простые методы, основанные на свойствах аналитич. ф-ций.
Существует неск. вариантов обобщения О. з. р. м. на многомерный случай, однако лишь нек-рые ур-ния используются в физике, напр. Кадомцева - Петвиашвили уравнение и ур-ние дуальности для Янга - Миллса полей. Теория таких ур-ний не завершена.
Развитие О. з. р. м. позволило по-новому взглянуть на теорию конечномерных интегрируемых систем. В О. з. р. м. можно включить почти все известные системы такого рода. О. з. р. м. стимулировал исследования в разл. областях математики (спектральная теория дифференц. операторов, классич. алгебраич. геометрия). Результаты этих исследований используются в теории элементарных частиц (релятивистские струны).

Лит.: Теория солитонов. Метод обратной задачи, М., 1980; Лэм Дж., Введение в теорию солитонов, пер. с англ., М., 1983; Абловиц М., Сигур X., Солитоны и метод обратной задачи, пер. с англ., М., 1987.

В. Е. Захаров.

  Предметный указатель