объёмный резонатор

ОБЪЁМНЫЙ РЕЗОНАТОР электромагнитный - замкнутая или почти замкнутая полость с хорошо проводящими стенками, внутри к-рой могут существовать слабозатухающие эл--магн. колебания. О. р. могут иметь разл. формы экранирующих (проводящих) оболочек: сферические, цилиндрические, прямоугольные и т. п. Существуют О. р. с мпогосвязными в сечениях границами, напр. бисферические, коаксиальные. Хотя под О. р. всегда подразумевают трёхмерные объекты, иногда говорят о двумерных и даже одномерных О. р., имея в виду системы, поля в к-рых слабо зависят от одной или двух декартовых координат.
Простейшей моделью, описывающей спектральные свойства одномерного О. р., является идеальный интерферометр Фабри - Перо, состоящий из двух бесконечно проводящих плоскостей, между к-рымн, последовательно отражаясь, "мечется" плоская эл--магн. волна. Как и в случае струны с жёстко закреплёнными концами, в такой системе возможны собственные (нормальные) синусоидальные колебания (моды) с частотами где l - расстояние между отражателями (при заполнении средой с проницаемостямии надо заменить с нап= 1,2, 3,... - число полуволн укладывающихся между пластинами.
В двумерных и трёхмерных О. р. общая картина собств. эл--магн. колебаний существенно богаче по спектру собств. частот, поляризац. характеристикам и по распределению полей в пространстве. Для отыскания собств. колебаний эл--магн. поля в таких О. р. приходится решать краевую задачу для Максвелла уравнений с зависящими от проводимости стенок граничными условиями. Обычно вначале рассчитывают т. и. идеальный О. р., у к-рого потери в заполняющей среде и на излучение отсутствуют, а стенки являются бесконечно проводящими (идеально отражающими). При этом задача о собств. колебаниях сводится (в однородной среде) к решению векторного волнового уравнения для поля Е при условии обращения в нуль его тангенциальной составляющей на стенках резонатора S:

Прямоугольный резонатор. Если полость О. р. представляет собой прямоуг. параллелепипед 0ха, Оуb, 0zl (рис. 1), то при решении задачи (1) используют декартову систему координат, в к-рой переменные векторного волнового ур-ния допускают разделение. Такой О. р. можно рассматривать как "закороченный" (перегороженный проводящими стенками) отрезок прямоуг. волновода металлического, ориентированный, напр., в z-направлснии и имеющий длину l; он напоминает интерферометр Фабри - Перо с той лишь разницей, что между плоскостями z=0 и z = l

Рис. 1. Прямоугольный объёмный резонатор.

теперь "мечутся" волноводные моды, т. е. плоские неоднородные волны. Поэтому классификацию собств. колебаний прямоуг. О. р. обычно производят по типам волноводных мод, как бы "пойманных" между плоскостями z = 0, z = l. Различают колебания ТЕ_птр- и TМ_птр-типов. В первом случае речь идёт о стоячей волноводной ТЕ-волне, в к-рой вектор Е поляризован в плоскости z= const, а проекции полей Е и Н на оси (х, y, z)имеют вид

Здесь k_x, k_у, k_z - компоненты волнового числа k:

причём граничное условие фиксирует величины этих компонент

Следовательно, спектр собств. частот определяется ф-лой

Индексы n, т, р пробегают значения 0, 1, 2,..., но в нуль может обращаться только один из них. Мин. собств. частота свойственна моде, у к-рой равен нулю индекс, относящийся к наим. размеру О. р., напр. при l > b > а это Структура поля в такой моде, а также структура поля моды TE₁₁₁ воспроизведены на рис. 2. Поля типа ТМ_птр можно получить из (2)заменой E - > Н, Н - > Е,однако при этом граничное условиепреобразуется в т. е. изменяются эл--динамич. свойства стенок резонатора: они вместо "электрических" становятся "магнитными".
Для записи TМ-полей в идеальном О. р. с "электрическими" стенками соответствующее "магнитным" стенкам решение необходимо сдвинуть на четверть периода, т. е. заменить В результате такого сдвига спектр собств. колебаний (4), (5) останется без изменений, но ни один из индексов п, т, р не сможет уже принимать нулевое значение, все они будут начинаться с 1: п = 1, 2, 3,...; т = 1, 2, 3, ...; р = 1, 2, 3,.... Распределение поля в моде типа ТМ₁₁₁ показано на рис. 3. Т. о., все собств. колебания изображённого на рис. 1 идеального О. р. с ненулевыми индексами, п0, m0, р0, оказываются, ло крайней мере, двукратно вырожденными по ТЕ- и ТМ-поляризацпям. Степень вырождения может быть и более высокой, если к--л. из размеров а, b, l совпадают между собой. Макс, кратность вырождения (12) достигается для частот кубического О. р. (а = b =l).

Рис. 2. Простейшие колебания (моды) TЕ-типа в прямоугольном объёмном резонаторе. Распределение электрическ (сплошные линии) и магнитного (пунктир) полей.

Рис. 3, Распределение электрического (сплошные линии) и магнитного (пунктир) полей в моде типа TМ₁₁₁ прямоугольного объёмного резонатора.

Резонаторы, в к-рых возбуждены вырожденные моды, эквивалентны LC-контурам, имеющим одну и ту же собств. частоту но никак не связанным друг с другом. При наличии индуктивной или ёмкостной связи вырождение снимается, такая система контуров будет колебаться на новых нормальных частотах, различающихся между собой. В случае двух контуров (двух мод) зависимость новых частот от старых определяется известным графиком Вина (см. также Связанные системы ).В О. р. связь между вырожденными модами может осуществляться небольшой деформацией стенок или внесением внутрь небольших возмущающих тел, напр. проводящих шариков радиусом при помещении последних в пучности поля Е(Н)связь получается ёмкостной (индуктивной). На такой перестройке О. р. при внесении внутрь малых локализов. вкраплений основан один из методов измерений распределения полей в О. р.

Рис. 4. Разбиение колебания ТЕ₀₂₅ прямоугольного объёмного резонатора на "подмоды" типа TE₀₁₁.

В прямоуг. О. р. поля имеют ячеистую структуру: любая высокая мода в них разбивается на "подмоды" типа ТМ₁₁₁, TE₁₁₁, или ТЕ₀₁₁, как это показано на рис. 4. Низкие моды прямоуг. О. р. следует рассматривать в качестве элементарных. В технике довольно часто (но не всегда) О. р. используют в режиме одного колебания, обычно обладающего наинпзшей собств. частотой.
Цилиндрический резонатор. С помощью плавных деформаций стенок О. р. можно проследить за топологически подобными изменениями структуры собств. мод.

Рис. 5. Простейшие колебания (моды) в цилиндрическом объёмном резонаторе. Распределение электрического (сплошные линии) и магнитного (пунктир) полей.

Так, осн. мода ТЕ₁₁₀прямоуг. резонатора преобразуется в моду типа ТМ₀₁₀ цилиндрич. резонатора. Смена обозначений связана с тем, что в координатахr, z (рис. 5) поле не зависит от координат и z. Строгие количеств. данные о частотном спектре и структуре собств. колебаний цилиндрич. (и любого другого) резонатора удаётся получить только из непосредств. решения краевой задачи (1): в цилиндре радиусом r₀ и высотой l при l < 2,04r₀ мин. частоту имеет мода TM₀₁₀,

с ростом l происходит смена осн. колебания, им становится мода TE₁₁₁ (H_z0, Н_r0, Е_r0, 0), Среди собств. колебаний цилнндрич. резонатора типа ТЕ наиб. простой структурой обладает симметричная относительно оси z мода ТЕ₀₁₁(H_z 0, Н_r0,
Хотя эта мода не является основной её часто используют на практике благодаря более низким, чем у моды ТЕ₁₁₁, потерям, связанным с непдеаль-ностью стенок резонатора. Фигурирующие в ф-лах для собств. частот числа 1,84; 2,40; 3,38 являются корнями ф-ции Бесселя и её производных: J'₀ (1,84) = 0, J₀ (2,40) = 0, J₁(3,83) = 0.
На рис. 6 показана возможность последоват. трансформации цилиндрич. резонатора в резонатор клистронного типа с гантелеобразным аксиальным сечением, к-рый можно рассматривать как экранированный LC-контур, где конденсатор С и индуктивность L составляют единое целое.
Добротность резонатора. Реальные О. р. отличаются от идеальных О. р. прежде всего наличием потерь (в среде, заполняющей полость, в экранирующих стенках, а также в местах ввода и вывода энергии). Если потери в заполняющей среде распределены однородно, то они не вносят изменений в структуру отд. компонент полей, но превращают чисто действительные собств. частоты в комплексные: соответствующие моды становятся затухающими: Декремент затухания определяется путём замены в (3) и (5) и в случае малых потерь равенПоглощение в экранирующей оболочке, как правило, учитывают методом малых возмущений. Удобно использовать Леонтовича граничное условие для тангенциальных составляющих полей Е, Н, к-рое фактически лишь слегка модифицирует краевую задачу (1). По методу малых возмущений рассчитывают обычно и влияние устройств ввода-вывода эл--магн. энергии, связывающих объёмный резонатор с внешними системами.

Рис. 6. Переход от цилиндрического резонатора с модой типа ТМ₀₁₀ при плавной деформации стенок к резонатору клистронного типа, в котором электрическое (сплошные линии) и магнитное (пунктир) поля пространственно разделены (как в колебательном контуре).

По аналогии с LC-контурами качество О. р. часто характеризуют его добротностью Q. Добротность определяют либо по ушпрению резонансных линий, либо как отношение запасённой в О. р. энергии W (средней за период колебаний ) к мощности ср. потерь Р: Q =W/P. Последнее определение всегда требует уточнения, т. к. зависит от выбора "границ раздела" между областью, где энергия запасается, и областью, где она диссипируется.
В случае высокодобротных О. р. потери можно считать аддитивными и каждому их каналу поставить в соответствие свою (парциальную) добротность Q_i1. Так, добротность, связанная с поглощением в среде, равна а добротность, связанная с поглощением в стенках, Q₂ ~ V/S (V - объём, S - поверхность полости, - толщина скин-слоя). Особую роль в теории О. р. играет добротность связи, или нагруженная добротность Q₃, определяющая потери на излучение вовне. В режиме оптимального резонансного возбуждения величина Q₃ равна половине суммарной добротности: Q₃ = Q/2 (Q^{-1 =}).
Поскольку любой О. р. является многомодовым, то следует иметь в виду, что по мере уменьшения Q уширение резонансных линий может стать сравнимым с расстоянием между соседними собств. частотами, к-рые по существу уже перестают быть таковыми. При этом О. р. утрачивает свои избирательные (резонансные) свойства. Мин. значения добротностей, при к-рых ещё можно говорить о резонансных эффектах, ~10. Обычно добротности О. р. характеризуются значительно более высокими числами; напр., на осн. колебаниях в СВЧ-дпапазоне они достигают 10³, а при применении сверх-проводящих экранов ~10⁶ - 10⁷.
Как уже отмечалось, О. р. чаще всего используют на низших собств. частотах. Однако иногда необходимо работать с высокими модами, избегая паразитного возбуждения других, "нерабочих" мод. С данной проблемой, к-рую наз. проблемой селекции мод, приходится сталкиваться, напр., в электронике СВЧ, где в интересах повышения мощности часто объём резонатора стараются делать большим по сравнению с
Возбуждение О. р. осуществляют обычно с помощью штырей, петель, щелей, отверстий, к к-рым подводят извне эл--магн. энергию, примерно так же, как в случае волноводов (см. Антенна ).В теории такие возбуждающие устройства часто можно заменить на эквивалентные им сторонние электрич. и магн. токи с плотностями и Для эфф. возбуждения О. р. требуется, чтобы ток j^(e) был ориентирован вдоль поля Е, а ток j^(m) - вдоль поля Н нужной моды, т. к. соответствующие коэф. возбуждения пропорц. интегралам и С чисто матем. позиций задача о вынужденных колебаниях О. р. сводится к решению ур-ния (1), в правой части к-рого стоит возбуждающая сила
О. р. с металлич. стенками применяют в технике СВЧ (10⁹ - 10¹¹ Гц) как частотные фильтры и резонансные колебат. системы генераторов, усилителей, приёмных устройств, анализаторов спектра и др. Начиная с частот ~10¹¹ Гц О. р. при работе на первой моде становятся излишне миниатюрными (l - - 1 мм), к тому же их добротность ухудшается по закону Q ~ поскольку толщина скин-слоя уменьшается пропорц. а размеры О. р. - пропорц. В миллиметровом, субмиллиметровом и оптич. диапазонах О. р. вытеснены большими (в масштабе) открытыми резонаторами квазиоптич. типа, в к-рых осуществляется разрежение спектра собств. частот за счёт "высвечивания" части мод через открытые участки боковых поверхностей.
О. р. встречаются и в природных условиях, причём экранирующие поверхности у них не обязательно хорошо проводящие. Напр., существует бисферич. О. р. Земля - ионосфера. Земля является электропроводящим экраном, а ионосфера - рефракционным (из-за полного внутр. отражения волн). Аналогичные О. р., обычно представляющие собой отрезки волноводов диэлектрических (плоско-параллельных или цилиндрических), встречаются и в технике.

Лит.: Вайнштейн Л. А., Электромагнитные волны, 2 изд., М., 1988; Лебедев И. В., Техника и приборы СВЧ, 2 изд., т. 1, М., 1970; Джексон Дж., Классическая электродинамика, пер. с англ., М., 1965; Каценеленбаум Б. 3., Высокочастотная электродинамика, М., 1966; Никольский В. В., Никольская Т. И., Электродинамика и распространение радиоволи, 3 изд., М., 1989.

М. А. Миллер, А. И. Смирнов.