операторное разложение

ОПЕРАТОРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ - представление произведений неск. локальных операторов, определённых в разл. точках пространства-времени, в виде суммы отд. локальных операторов.
В квантовой теории поля (КТП) из-за сингулярного поведения Грина функций на малых расстояниях возникает трудность при построении локальных составных операторов из произведений гейзенберговских полей (см. Гейзенберга представление)(х) (х - точка пространства-времени). В теории свободных полей для этой цели используется понятие нормального произведения (обозначается: ... :). Напр., для случая скалярного поля локальными операторами являются

и т. д. ( v = 0, 1, 2, 3,

= д/дх^u). Общий рецепт для построения локальных составных операторов, справедливый как для свободных, так и для взаимодействующих полей, даёт О. р. Вильсона [1]:

где А(х), В(у)и О_п(х) - локальные операторы, С_п(х - y) - коэффициентные ф-ции, являющиеся обобщением ф-ций Грина.
Величины C_n(z)содержат сингулярности типа где добавка необходима для того, чтобы матричный элемент от левой части соотношения (1) удовлетворял правильным спектральным свойствам (см. Спектральное представление), вытекающим из положительности эпергии для всех промежуточных состояний. Показатели степени Р_п могут быть выражены через размерности (в единицах массы) операторов А, В и О_n по ф-ле Р_п =гдеd_i - канонич. размерности операторов, - их аномальные размерности.
О. р. (1) справедливо во всех порядках теории возмущений в перенормируемых моделях КТП (см. Перенормируемость взаимодействий). В теории возмущений размерности полей равны каноническим ( =0), а коэффициентная ф-ция C_n(z)помимо степени содержит в виде множителя полином по ln( - z²). Гл. вклад в сумму (1) при х - > у вносят операторы с мин. размерностью, среди к-рых самыми важными являются единичный оператор I (d_I=1), сохраняющиеся (точно или приближённо) токи(d_j = 3) и тензор энергии-импульса(d₀ = 4). При учёте взаимодействия размерность операторов I, и не меняется. Из этого, в частности, следует, что матричный элемент от хронологического произведения (Т)двух эл--магн. токов по вакуумному состоянию

при х - > 0 ведёт себя так же, как в свободной теории. Сечение е⁺е^--аннигиляции в адроны, к-рое определяется мнимой частью этого матричного элемента в импульсном представлении, при больших энергиях (в системе центра инерции) пропорционально(где - постоянная тонкой структуры), что согласуется с экспериментом. Поправки к вакуумному среднему (*), возникающие из-за операторов О_п(х)с более высокими размерностямиО₂(х) =где - кварковое и глюонное поля. Г - нек-рая матрица (черта над означает дираковское сопряжение), приводят к вкладам

нарушающим масштабную инвариантность сечения е⁺с^--аннигиляции [2].
Существует другая версия ф-лы (1), а именно: О. р. произведения Двух операторов на световом конусе

где, как и ранее, для простоты предполагается, что А(х)и В(0)являются скалярными по отношению к Лоренца преобразованиям (т - характерная масса адрона, - нек-рый тензорный оператор, = 0,1,2,3).
Для классификации локальных операторов удобно ввести понятие твиста. Твист тензора равен по определению разности его размерности и спина S_n. Гл. вклад в разложение (2) дают операторы, имеющие мин. значение твиста; при этом их спины и моменты могут быть произвольными. Напр., для операторов, билинейных по кварковым полям, мин. твист (два) имеет выражение где символ S означает симметризацию по всем лореицевым индексам и выделение следов. В квантовой хромодинамике (КХД) для обеспечения калибровочной инвариантности следует в заменить все производные на ковариантные:(здесь - потенциал глюонного ноля, g - константа взаимодействия в КХД). В силу асимптотической свободы и ренормализационной гриппы коэффициентные ф-ции С_n^k( - х²)в ф-ле (2) ведут себя при х2 - > 0 как

где с_п - числа, к-рые могут быть найдены в рамках теории возмущений. О. р. на световом конусе (2) используется, в частности, для нахождения логарифмич. и степенных эффектов нарушения масштабно-инвариантного поведения структурных функций лептоп-адронных глубоко неупругих процессов (3).
О. р. является эфф. способом вычисления и классификации разл. вкладов в физ. амплитуды процессов и находит широкое распространение в приложениях КТП. Возможности применения ф-л (1), (2) в адронной физике связаны с тем, что вид коэффициентных ф-ций С_п, как правило, может быть установлен с помощью теорий возмущений, независимо от специфики сильного взаимодействия, после чего сравнение матричных элементов по физ. адронным состояниям от левой и правой частей равенства (1) [или (2)] приводит к соотношениям между физ. амплитудами.
Строгое доказательство О. р. пока существует только в рамках теории возмущений для простых перснормируемых моделей КТП [4].

Лит.: 1) Wilsоn К. G., Non-Lagrangian models of current algebra, "Phys. Rev.", 1969, v. 179, p. 1499; 2) Shifman M. A., Vainshtein A. I., Zakharоv V. I., QCD and resonance physics. Theoretical foundations, "Nucl. Phys. B", 1979, v. 147, p. "385; 3) Grоss D. J., Wi1сzek P., Asymptotically free gauge theories, "Phys. Rev. D", 1974, v. 9, p. 980; 4) Завьялов О. И., Перенормированные диаграммы Фейнмана, М., 1979.

Л. Н. Липатов.