операторы

ОПЕРАТОРЫ в квантовой теории - символич. изображение составленных но определённым правилам матем. операций (алгебраич., дифференциальных, интегральных, перестановочных и т. д.), используемых в квантовой теории для преобразования встречающихся в ней величин. Если состояние квантовой системы описывается с помощью волновой ф-ции (для конкретности, напр., в Шрёдингера представлении), то О. или их последовательность в конечном счёте действуют на эту ф-цию, сопоставляя с ней волновую ф-цию, соответствующую уже др. состоянию системы. В др. формализмах квантовой теории (напр., когда состояние системы фиксируется с помощью О. матрицы плотности или в представлениях, когда является фиксир. вектором в гильбертовом пространстве)О. действуют на др. О., характеризующие состояние системы или к--л. её характеристики. Ниже будут рассмотрены наиб. часто встречающиеся типы О.

Операторы динамических величин Общие положения. В соответствии с осн. принципами квантовой механики (в линейной относительно -функции теории) каждой физ. величине F ставится в соответствие линейный самосопряжённый О. преобразующий-функцию в новую, но принадлежащую тому же классу ф-цию (где f - число). Если кси задана в виде разложения
по заранее выбранным базисным ф-циям (определяющим конкретное представление как волновой ф-ции, так и действующих на неё О.), т. е. задана как вектор Ф(t) = {Ф_п(t)} в бесконечномерном гильбертовом пространстве, то действие 0. приводит помимо умножения на число f к повороту вектора Ф в этом пространстве, а изменение его компонент Ф_п - > Ф'_п - к перераспределению квантовомеханич. вероятностей |Ф_п(t)|² обнаружить систему в каждом из состояний, характеризуемых Ф-ции и считаются нормированными на 1, т. е. вне зависимости от наличия штриха

С каждым О. в квантовой механике связывается ур-ние определяющее его собств. значения f_п и полную систему ортонормированных собств. ф-ций подчинённых определённым граничным и всем необходимым общим для-функций условиям. Совокупность величии {f_п} определяет спектр возможных значений физ. величины F, а система ф-ций {; (каждая из к-рых характеризует состояние, в к-ром эта величина имеет значение f_n) может служить базисом пространства, в к-ром представляются все др. состояния системы.
Требование линейности О.

(гдеи - волновые ф-цни двух возможных состояний системы, c₁ и с₂ - числа) можно рассматривать как выражение суперпозиции состояний принципа в квантовой механике, условие же самосопряжённости оператора обеспечивает действительность квантовомеханич. ср. значений физ. величины F, к-рые определяются как

где - волновая ф-ция состояния, для к-рого определяется ср. значение F, а - её комплексно сопряжённая величина (если - многокомпонентная ф-ция, то вместо здесь стоит эрмитово сопряжённая ф-ция). Определяя О. транспонированный по отношению к исходному с помощью соотношения

можно записать условие самосопряжённости О.в виде где В случае, когда система находится в одном из состояний ср. значениеавтоматически совпадает с собств. значением f_n. Более того, ур-ние, определяющее собств. ф-ции и собств. значения О. математически эквивалентно обращению в нуль квантовомеханич. дисперсии (не только квадратичной, но и любого порядка) величины F: для состояний совпадающих с любым из В связи с этим говорят, что в рамках квантовомеханических представлений измерение физ. величины F может привести только к к--л. из значений f_n.
Алгебраич. действия с О. определяются согласно ф-лам

Деление на О. определяется с помощью введения обратного О. такого, что где I означает О. умножения на единицу, причём = для f_n 0. Если О. выступает в качестве аргумента нек-рой ф-цни то О.понимается как разложение этой ф-ции в формальный степенной ряд, в к-ром вместо степенейстоят соответствующие степени О.

а его собств. значения непосредственно выражаются через собств. значения

Еслп два О.иимеют одну и ту же систему собств. ф-ций, и то порядок действия этих О. в произведении безразличен и коммутатор этих О. равен нулю:
И обратно, величины F и G могут одновременно иметь определённые значения только в том случае, если коммутатор О.иравен нулю. В противном случае физ. величины F и G не могут (в рамках квантовой теории) одновременно иметь точные значения. Некоммутативность ряда О. физ. величин приводит к существованию соответствующих неопределённостей соотношений в квантовой механике. Т. к. при эрмитовом сопряжении произведения двух О. порядок их расположения меняется, то произведение эрмитовых О. будет также эрмитовым О. только в случае, если эти О. коммутируют друг с другом.
Постановка задачи на полное определение ф-ции состояния и полного набора квантовых чисел п, характеризующих это состояние, для системы с степенями свободы (с обязат. включением степени свободы, связанной с возможными энергетич. состояниями) заключается в построении полного набора независимых коммутирующих друг с другом О. характеризующих положение системы по отношению к её степеням свободы, и совместном решении ур-ний

со всеми необходимыми для волновой ф-циидополнит. условиями, соответствующими характеру рассматриваемой задачи.
Конкретное матем. выражение О. дипамич. величины зависит от выбора пространства х, на к-ром определены ф-ции состояния(х).
О. в конфигурационном (координатном) представлении. Если волновая ф-цня системы задана как ф-ция пространств, координат и времени, то простейшими О., с помощью к-рых строятся все остальные О. динамич. величин, являются О. координаты определяемый как умножение на координатуп О. импульса являющийся дифференц. О. первого порядка:

Собств. ф-ция О. координаты, соответствующая собств. значению r₀, представляет собой дельта-функцию Дирака: а собств. ф-ция О. импульса, соответствующая собств. значению р, - плоскую волну

[в обоих случаях нормировка и произведена на-функцию]. О. любой динамич. величины F(p,r)определяется как

Т. к.ине имеют общей системы собств. ф-ций, то О. дииамич. величин, как правило, нe коммутируют друг с другом, в частности

но
Для системы из N частиц динамич. переменные представляются совокупностью координат r₁, ..., r_N и импульсов р₁, ..., p_N и в написанных выше ф-лах аргументы rи заменяются на r₁, ..., r_Nи ...,где каждое является дифференц. О., действующим на аргумент r_iф-ции(r₁, ..., r_N).
В качестве примеров для О. может служить оператор Гамильтона (гамильтониан)играющий принципиальную роль во всей квантовой теории и определяющий данную конкретную систему, и О. орбитального (углового) момента Для N взаимодействующих между собой нерелятивистских частиц гамильтониан имеет вид

где m_i - масса i-й частицы, U(r_i) и Ф(r_i, r_j) - потенциалы взаимодействия частиц с внеш. полем и друг с другом (если это взаимодействие не зависит от скоростей частиц). Для системы заряж. частиц О. импульса заменяется:

где A(r,t) - векторный потенциал эл--магн. поля, e_i - заряд частицы (в гауссовой системе единиц).
О. моментапредставляет собой сумму О. моментов для каждой из N частиц. Для одной частицы Компоненты О. моменты не коммутируют друг с другом,(две др. лары соотношении получаются при циклич. замене х - > у - > z - > x), но поэтому в квантовой теории имеет смысл говорить о состояниях с определёнными значениями квадрата момента и одной из его компонент, обычно Эти О. как коммутирующие друг с другом имеют общую систему собств. ф-ции [сферические функции Y_i^mгде и - угл. переменные сферич. координат] и характеризуются собств. значениями и где l = 0,1, 2,... и т = - l, - l + 1, ..., l - соответственно орбит. и магн. квантовые числа. Если частица движется в центрально-симметричном поле U(r)= U(| r |), то образуют полный набор коммутирующих О. для данной системы с общей системой собств. ф-ций причём l определяет не только величину М² (и наряду с гл. квантовым числом п энергетич. состояние системы), но и пространственную чётность состояния, характеризующую изменение волновой ф-ции при инверсии координат, ( - О. инверсии), т. е. чётность состояния совпадает с чётностью l.

Импульсное представление. Если разложить по собств. ф-циям О. импульса:

то волновой ф-цией системы в импульсном представлении (в к-ром квадрат её модуля определяет распределение плотности вероятности распределения по р)будет её фурье-образ Ф (р). В соответствии с этим преобразованием О. координаты становится дифференциальным, а О. импульса - О. умножения:

Нормированные на-функцию собств. ф-ции этих О. имеют вид

О. динамич. величин определяются как

Матричное представление. Рассмотренные выше представления являются частными случаями, когда в качестве системы базисных ф-ций {(х)}выбирались собств. ф-ции координаты или импульса. В общем случае волновая ф-ция системы(x,t)может быть задана совокупностью компонент Ф(t) = {Ф_n(t)} в пространстве с достаточно произвольно выбранным базисом {(t)},
причём величины |Ф_n(t)|² определяют вероятности обнаружить систему в каждом из состояний(х). Представляя(x,t)в виде столбца из её компонент {Ф_n(0)} [сопряжённую ей - в виде строки из элементов Ф_n(t)] а в виде квадратной матрицы

можно записать результат действия этого О. в виде алгебраич. соотношений, определяющих изменённые в результате поворота вектора Ф(t) значения компонент Ф'(t) через их исходные значения:

Матричные представления могут быть дискретными, непрерывными (как в случаях координатного и импульсного представления) и смешанного типа, когда часть квантовых чисел, входящих в n, дискретна, часть непрерывна. Приведём неск. общих соотношений в матричном выражении. Алгебраич. действия над О.:

условие самосопряжённости:

единичный О. [в случае дискретного спектра где - Кронекера символ ,в случае непрерывного спектра(п - т)=(п - m), где(п - т) - дираковская-функция]; ф-ла для ср. значений:

Проблема расчёта собств. значении и собств. ф-ций сводится к решению системы однородных относительно компонент Ф_n ур-ний

причём условие существования нетривиального решения для {Ф_n}

является ур-нием (степени, равной рангу матриц, фигурирующих в данном представлении), определяющим спектр собств. значений {f_n}.
Если в качестве базиса {(х)}выбрана система собств. ф-ции О. то его матричное представление диагонально, поэтому проблему определения собств. ф-ций и собств. значений нек-рого О. или неск. коммутирующих друг с другом О. можно представить как проблему одноврем. диагонализации их матричных представлений.
Если в качестве базисных ф-ций {(х)}используются собств. ф-ции оператора Гамильтона, то говорят об энергетич. представлении О. и ф-ций состояния. Однако собств. ф-ции О. как правило, неизвестны. Поэтому в ряде случаев в качестве системы базисных ф-ций выбирают собств. ф-ции той части полного гамильтониана для к-рой удаётся получить точное решение для собств. ф-ций и собств. значений, и затем уже в этом матричном представлении развивают теорию возмущений по параметру, к-рому пропорц. часть как для расчёта собств. значенийполного так и его собств. ф-ций.
Матричное представление является органичным для О. момента ввиду дискретности квантовых чисел l и m. Т. к. каждому l соответствует 2l + 1 значений числа т, то собств. ф-ции О. и представляются столбцами, а О. момента - матрицами (2l + 1)-ранга, ненулевые элементы к-рых определяются ф-лами

Эти же соотношения справедливы и для О. полного момента включающего помимо О. орбит, момента также и О. спина (для к-рого нематричного представления просто не существует), причём квантовое число j, заменяющее в этом случае l в приведённых выше ф-лах, принимает ряд целых или полуцелых значении, а число т = - j,- j + 1,...,j пробегает 2j + 1 значений.
Общие ф-лы для О. момента определяют также и О. спинового момента частицы Так, для частиц со cпином ¹/₂ О. спина где - двухрядные Паули матрицы .Поэтому и состояние электрона (в нерелятивистской теории) будет описываться соответственно двухкомпопентной волновой ф-цией [ причём помимо классич. замены в гамильтониане этой системы р- > р - (е/с)А он должен быть дополнен энергией взаимодействия - собств. магн. момента электрона внеш. магн. полем(r,t.)].В релятивистской теории электрона состояние частицы описывается четырёхкомпонентной волновой ф-цией (не исключено матричное представление для каждой из них) в соответствии с разл. спиновыми состояниями электрона и состояниями частица и античастица, а О. выражается четырёхрядными матрицами, элементы к-рых сами могут быть О. в к--л. x-представлении. Простейшие примеры полных наборов коммутирующих О. для случая свободного движения электрона: гамильтониан импульс, проекция спина на направление импульса где а - четырёхрядные Дирака матрицы; или О._D,,и О. инверсии Собств. ф-ции при первом выборе характеризуются плоскими волнами (с импульсом р), проекцией спина s =¹/₂ и энергией при втором - сферич. волнами, числами j, т и l (чётность). При движении электрона в центрально-симметричном поле U(|r|)системой коммутирующих О., полностью определяющих состояние системы, являются гамильтониан О. квадрата полного момента, его проекции и чётности Для частиц со спином 1 необходимо использовать уже как минимум трёхрядные матрицы и т. д.

Представление вторичного квантования эффективно при рассмотрении систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц (проблема мн. тел в статистич. механике; см. Квантовая теория многих частиц), или систем, допускающих существование любого числа частиц одного и того же сорта (см. Квантовая теория поля ),и является одним из наиб. естеств. способов учёта свойств симметрии волновых ф-ций системы по отношению к перестановкам одинаковых частиц. В основе своей - это матричное представление, для формулирования к-рого используются N-частичные базисные ф-ции с определённым типом симметрии(х), сконструированные как симметризов. или аитисимметризов. произведения одночастичных ф-ций (чаще всего для этого используются известные решения задач на свободное движение частицы данного типа), где х = х_l, ..., х_N, а в наборе квантовых чисел п= {...,n_f,...} каждое из n_f указывает, сколько раз в структуре данной базисной ф-ции встречается ф-ция с данным индексом f. Числа n_f наз. числами заполнения (очевидно, а базисные ф-ции обычно обозначают символами(х) = | .... n_f, ... >, введёнными П. А. М. Дираком (Р. A. М. Dirac), при этом Отличие систем, симметричных и антисимметричных по отношению к перестановкам двух частиц, проявляется в том, что в первом случае (бозе-частицы) n_fмогут принимать любые целые неотрицат. значения, а во втором (ферми-частпцы) - только 0 и 1. Это ограничение на числа заполнения для ферми-систем выражает Паули принцип. О. динамич. величин, представленные соответствующими матрицами <...n_f, ... ... |F| ..., n'_f,... >, действуя на волновую ф-цию, имеющую в этом представлении вид вектора с компонентами Ф(...,n_f ,...), характеризуемыми определёнными наборами чисел n_f, "перепутывают" эти наборы. Иными словами, вместо нек-рого Ф(...,n_f,...) в результате действия О. F появляется амплитуда Ф(...,n_f',...), к-рая характеризуется уже другими, изменёнными числами заполнения тех же состояний f, т. е. О. в этом представлении меняют числа частиц в каждом из состоящих f. Удобно рассматривать "элементарные" О., изменяющие на единицу к--л. из чисел заполнения n_f, т. и. О. рождения и О. уничтожения частицы в состоянии f, и с их помощью выражать более сложные О. F. Действие каждого такого О. рождения и уничтожения меняет на единицу не только определённое число n_f, но и общее число частиц N. Т. о., для использования формализма вторичного квантования необходимо оперировать с бесконечным набором пространств и соответствующих им базисных систем ф-ций [..., n_f ,...> для всех значений общего числа N от нуля до бесконечности. Конкретный результат действия элементарных О. на эти базисные ф-ции определяется с помощью непосредств. расчёта соответствующих матричных элементов. Действие их на |..., n_f ,...> в случае бозе-систем можно представить в виде

для О. уничтожения a_f и

для О. рождения а_f⁺ , причем ни а_f, ни а_f⁺ не действуют на числа n_f', если f 'f. Отсюда следуют перестановочные соотношения

В случае ферми-систем а_f и а_f⁺ имеют тот же смысл О. изменения на единицу числа n_f, но учёт антисимметрии базисных ф-ций по отношению к перестановкам индексов частиц и ограничение чисел заполнения двумя значениями О, 1 приводят к перестановочным соотношениям антикоммутации:

В ряде задач, когда гамильтониан системы целиком выражается в терминах спиновых О., удобны О. рождения и уничтожения с коммутац. соотношениями смешанного типа:

По своей матем. природе они тождественны бозе-O., но действуют в урезанном пространстве чисел заполнения, допускающем значения n_f =0 и n_f=1. Их называют паули - О., т. к. они непосредственно связаны со спиновыми матрицами Паули:

Во всех случаях О. n_f = а_f⁺ а_f является О. числа частиц в состоянии f и имеет собств. значения n_f = 0, 1, 2, ... для бозе-систем и n_f = 0, 1 для ферми- и паули-систем.
Чаще всего в приложениях индекс f означает импульс и спин f = (р,)частицы, т. е. в качестве базисных ф-ций |..., n_f,... > выбираются симметризов. или антисимметризов. произведения ф-ций где - плоская волна (V - объём

системы), - спиновая ф-ция. Тогда а_f⁺ и a_f - О. рождения и уничтожения частицы с данным значением импульса и спина. Возможно и "координатное" (или к--л. иное) представление этих О., определяемое с помощью преобразования типа фурье-преобразования:

О. дпнамич. величин в представлении вторичного квантования строятся след. образом: величинам аддитивного динамич. типа, таким, что (напр., полный импульс системы из N частиц,их полная кинетич. энергия, энергия взаимодействия с внеш. полем и т. д.) соответствуют О.

где <f|F|f' > - О. в f-представлении, матричные элементы к-рого рассчитываются с помощью ф-ций величинам бинарного типа (напр., энергии взаимодействия частиц друг с другом) соответствуют О.

где < f₁f₂|G|f'₁f'₂ > - матричный элемент О.в f-представлении, рассчитанный с помощью системы ф-ций и т. д.
Напр., гамильтониан системы нерелятивистских частиц с центр. их взаимодействием Ф(r_i ,r_j) = Ф(r_i - r_j), находящихся во внеш. поле U(r), в представлении вторичного квантования имеет вид

где и - фурье-образы потенциалов Ф и U, причём для частиц со спином нижний индекс у а⁺ и а помимо волнового вектора k включает и спиновый индекс s:и т. д. Каждое слагаемое этого О. имеет наглядный смысл: общая кинетич. энергия представлена как сумма по всем k кинетич. энергий умноженных на числа частиц a_k⁺ak =n_k с этой энергией, каждое слагаемое из второй суммы учитывает рассеяние частицы k - > k + на фурье-компоненте внеш. поля а из третьей суммы - рассеяние двух частиц (k,k') - > (k+ x, k' -) на фурье-компоненте потенциала их взаимодействия
Помимо модели прямого взаимодействия частиц, возможной только в нерелятивистской теории, рассматривается взаимодействие частиц с разл. полями, переносящими это взаимодействие: в электродинамике с эл--магн. полем (полем фотонов), в статистич. физике - с полем фононов и т. д. В гамильтониан системы в этом случае необходимо добавить свободную энергию этого поля и О. взаимодействия его с частицами системы,имеющий вид

причём элементарный акт этого взаимодействия имеет характер рассеяния частицы с испусканием (или поглощением) кванта поля b. Подобные наглядные представления о взаимодействии послужили одним из стимулов развития диаграммной техники в квантовой теории поля и в квантовой статистике.

О. энергии и производные О. по времени. В квантовой теории О. энергии определяется как первая производная по времени, С его помощью записывается ур-ние Шрёдингера - осн. ур-ние квантовой механики, являющееся ур-нием движения для волновой ф-цип, После подстановки оно превращается в ур-ние на собств. значения гамильтониана, и определяет стационарные состояния системы. О. производной по времени физ. величины F определяется в соответствии с ур-нием движения для как

что позволяет определять в квантовой механике О. величин типа скоростей, ускорений и т. д. Если величина F не зависит явно от времени и коммутатор то эта величина является интегралом движения.
В релятивистской теории помимо ур-ний, содержащих О.в первой степени, напр. Дирака уравнение используются ур-ния второго порядка по(Клейна - Гордона уравнение], для однокомпонентной-функции частицы без спина, а также для векторных 4-компонентных ф-ций и тензорных более высокого ранга. Оператор можно рассматривать как нулевую компоненту релятивистского О. энергии-импульса = 0,1,2,3, что позволяет использовать для релятивистских ур-ний удобную лоренц-ковариантную запись.
Различные временные представления О. Рассмотренная выше схема квантовой теории, когда не зависящей от времени динамич. величине F ставится в соответствие также не зависящий от t О.а эволюция системы целиком определяется поведением волновой ф-ции, подчиняющейся ур-нию Шрёдингера, формальное решение к-рого можно представить как

наз. Шрёдингера представлением для О. и ф-ций состояния. Из возможных др. временных представлений отметим два, широко используемых в квантовой теории. В Гейзенберга представлении-функция является пост. вектором; полагая в приведённой выше ф-ле t₀= 0, можно представить эту ф-цию как нач. значение рассмотренной ранее =а зависимость от t переносится на О. динамич. величин:

ур-ние движения для к-рых имеет вид
Для построения взаимодействия представление существенно разделение на части, связанное обычно с применением теории возмущений. В атом временном представлении зависимостьот t определяется с помощью нулевого гамильтониана:

а эволюция волновой ф-ции определяется О.

причём формальное решение этого ур-ния можно записать как

где оператор S-матрицы (наз. матрицей рассеяния)

Матрица плотности, матрица рассеяния и другие О.

Наряду с О., непосредственно связанными с определёнными физ. переменными, в квантовой теории используются О., к-рые определяют все свойства системы, включая её состояние, или ряд её свойств. Выше предполагалось, что состояние кваитовомеханич. системы фиксируется с помощью волновой ф-ции, представляемой вектором Ф(t) = {Ф_n(t)}. Если этому т. н. чистому состоянию поставить в соответствие О. с матричными элементами <n|р| т> = Ф_n*(t)Ф_m(t), то ср. значения физ. величины F запишутся как

а сам О. p(t) в соответствии с ур-нием Шрёдингера для Ф(t)будет удовлетворять ур-нию

и иметь формальное решение в виде

О. р наз. матрицей плотности. Он характеризует систему и в случаях, когда она находится в т. н. смешанном состоянии, что существенно, напр.. при рассмотрении статистич. систем. Матричное представление О. р может быть определено в смешанном представлении (напр., в координатно-импульсном), что невозможно в традиц. квантовой механике, оперирующей с чистыми квантовомеханич. состояниями. О. допускает помимо шрёдиигеровского и иные временные представления.
О. S-матрицы (и его модификаций, включая температурные варианты) определяет изменение свойств системы по отношению к нек-рому известному "исходному" состоянию, напр. к состоянию с "выключенным" взаимодействием частиц (для этого в добавляют фактор ехр{ - |t|}, > 0, - > 0, обеспечивающий выключение взаимодействия при t - >). Тогда для конечного t (t₀ - > -) введённый ранее О. можно представить как бесконечный ряд, записываемый условно в виде т. н. Т-экспоненты, т. е. упорядоченного по временным аргументам (см. Хронологическое произведение)степенного её разложения:

Этот ряд служит основой для построения приближений в рамках теории возмущений по
О. t-матрицы, родственной О. S, на простейшем примере задачи двух тел (задачи рассеяния) модифицирует падающую из бесконечности на рассеивающий центр H₁ = Ф(r)плоскую волну в расходящуюся волну (в соответствии с граничными условиями квантовомеханич. задачи рассеяния), так что Ур-ние Шрёдингера, записанное в терминах t-О., и его формальное решение имеют вид

В случаях, когда потенциал Ф(r) не имеет фурье-образа (напр., прп взаимодействии твёрдых сфер конечного радиуса), а использование импульсного варианта представления вторичного квантования всё же рационально, импульсное представление t-О.заменяет несуществующую величину v(q), причём при малых передачах импульса |q| матричный элемент t-О. выходит на константу, пропорц. длине рассеяния а:

О. преобразований. В квантовой теории такие О. широко используются для осуществления переходов к др. представлениям и координатам, для трансляций и поворотов в разл. пространствах, сдвига во времени, дискретных преобразований самого разного физ. содержания. Рассмотрим нек-рые из них.
Пусть - система базисных ф-ций, определяющих нек-рое n-представление О. и волновых ф-ций, а - др. базисная система, соответствующая-представлению. Переход от одной системы к другой

где можно символически записать с помощью линейного унитарного О. U, матричное представление к-рого приведено выше, как Условие унитарности U⁺U = I является следствием ортонормироваиности базисных ф-ций и Т. к. обратный О. U^-1 = U⁺, то обратное преобразование имеет видОбозначая символом F матричное представление О. в т-представлепии <n|F|n'> и символом матрицу , будем иметь в компактной записи правило преобразования О. динамич. переменной от одного представления к другому в виде F'= U⁺FU. Преобразование ф-ции состояния, определяемой в n-представлении совокупностью компонент Ф = {Ф_n}, а в-представлении - совокупностью штрихованных компонент Ф' = записывается как Ф' = U⁺Ф.
Унитарные преобразования U сохраняют нормировку волновых ф-ций, свойство их ортогональности, порядок действия О. дниамич. величин, сумму их диагональных элементов

и т. д. Проблему определения собств. значений О. F можно свести к проблеме построения такого О. U, к-рый превращал бы матрицу <n|F|n'> в диагональную:

Примеры О. преобразований приводились выше. Так, переход к представлению Гейзенберга осуществлялся с помощью О. к представлению взаимодействия - с помощью переход от координатного представления к импульсному (в одномерном случае) производится с помощью непрерывной матрицы и т. д.
О. U используются при преобразовании систем координат. При рассмотрении непрерывных преобразований (сдвиг, вращение) достаточно ограничиться бесконечно малым преобразованием данного типа. Напр., О. бесконечно малого смещения координат непосредственно определяется первыми членами разложения ф-ции в ряд Тейлора:

откуда для О. конечной трансляции получаем Аиалогичная процедура с бесконечно малым смещением во времени приводит для конечного сдвига наt к известному результату:

[в представлении взаимодействия где S(t₁, t₂) - S-матрица]. При бесконечно малом повороте на угол на скалярную ф-цию(r)действует О. а для частицы со спиом О.
О. конечного поворота, как видно из этих ф-л, представляются матрицами (2j + 1)-го ранга. В релятивистской теории при бесконечно малых поворотах в четырёхмерном пространстве на угол (при Лоренца преобразованиях)О. преобразования ф-ции состояния можно записать как U = 1/2 где для четырёхкомпонентной ф-ции фермиона О. целиком выражается с помощью Дирака матриц в виде
Дискретные преобразования U связаны не только с преобразованиями типа отражений в пространстве и времени, но и с изменением дискретных величин, таких как электрич. заряд, барионное число, странность, очарование, цвет и т. д. Приведём примеры О. дискретных преобразований, использующихся в теории релятивистских фермн-частиц, к-рые несложным образом выражаются через: пространственная инверсия ( r' - > - r, х'₀= х₀) - U = обращение времени (r' - r, х' = - х₀)- U =полная инверсия (r' - > - r, х'_о = - х₀) - U -где Возможны и др. законы преобразования кси при отражениях; напр., при r' - > - r возможны (помимо упомянутого) ещё три варианта преобразования волновой ф-ции:U =(так преобразующиеся при отражениях-функции наз. псевдоспинорами). Аналогичные варианты существуют и для законов преобразований при др. отражениях. К дискретным преобразованиям примыкает операция зарядового сопряжения, имеющая вид

О. перестановок. Такие О. необходимы при рассмотрении систем двух и более одинаковых частиц. С помощью простейшего О. перестановки индексов двух частиц

можно построить любой О. перестановки этих индексов, представив его как произведение парных перестановок: Операторлинеен,

симметричен, совпадает с обратным, унитарен, Т. к. в системе одинаковых частиц О. перестановки их индексов не изменяет ни О. динамич. величии (в частности, гамильтониана системы, т. е. =0), ни граничных и др. дополнит. условий, то волновые ф-ции и отличающиеся расположением двух индексов частиц у их аргументов, удовлетворяющие одной и той же системе ур-ний и дополнит. условий, описывают одно и то же микроскопия, состояние, т. е. где = схр {i} - фазовый множитель. Повторное применение к этому соотношению О. определяет для собств. значения О.условие = 1, т. е. - ф-ция состояния системы одинаковых частиц по отношению к перестановкам их индексов либо симметрична, (случай системы бозе-частиц), либо антисимметрична, (случай системы ферми-частиц), где - число парных перестановок на к-рые распадается данная перестановка При этом ввиду того, что= 0, характер симметрии волновой ф-ции является пост. свойством данной системы.
Для двух ферми-частиц О. перестановки имеет вид где - соответственно О. обмена спинами, зарядами и координатами. Т. к. для ферми-систем= -1, то для О. перестановки фермионов местами
где - матрицы Паули, действующие на спиновые переменные каждой из частиц, а, - совпадающие по виду с матрицами Паули операторы изотопического спина.
О. проектирования вводятся при необходимости выделить из всего класса допустимых волновых ф-ций(х) подпространство ф-ций(х), удовлетворяющих определённым дополнит. требованиям (напр., подпространство ф-ций с к--л. дополнит. ограничением на числа заполнения или ф-ций, ортогональных к заданной, и т. д.). Вследствие принципа суперпозиции любую(х)можно представить как и выделить первое слагаемое с помощью проекционного О. определив его какгде

Из свойств отметим его линейность и свойство Ввиду отсутствия взаимной однозначности в сопоставлении О. проектирования не имеет обратного себе О. Следует отметить, что О. матрицы плотности по природе своей является проекционным О. - для чистого состояния Ф, когда <п'п> = = он просто совпадает с О. проектирования на это состояние: РФ =

Лит. см. при ст. Квантовая механика, Квантовая теория многих частиц, Квантовая теория поля, Квантовая хромодинамика.

И. А. Квасников.