Стартовая Предметный указатель Новости науки и техники
Новости науки и техники
ЗАГАДКА ГОЛУБЫХ ЗВЕЗД
В огромном шаровом звездном скоплении Омега Центавра находятся самые необычные звезды во Вселенной – голубые, переполненные гелием.
В прошлом году с помощью телескопа Хаббл ученые обнаружили, что в шаровом скоплении Омега Центавра наблюдаются красные и голубые звезды, сжигающие в своих недрах водород. Далее...

Голубая звезда

операторы

ОПЕРАТОРЫ в квантовой теории - символич. изображение составленных но определённым правилам матем. операций (алгебраич., дифференциальных, интегральных, перестановочных и т. д.), используемых в квантовой теории для преобразования встречающихся в ней величин. Если состояние квантовой системы описывается с помощью волновой ф-ции15013-64.jpg (для конкретности, напр., в Шрёдингера представлении), то О. или их последовательность в конечном счёте действуют на эту ф-цию, сопоставляя с ней волновую ф-цию, соответствующую уже др. состоянию системы. В др. формализмах квантовой теории (напр., когда состояние системы фиксируется с помощью О. матрицы плотности или в представлениях, когда15013-65.jpg является фиксир. вектором в гильбертовом пространстве)О. действуют на др. О., характеризующие состояние системы или к--л. её характеристики. Ниже будут рассмотрены наиб. часто встречающиеся типы О.

Операторы динамических величин Общие положения. В соответствии с осн. принципами квантовой механики (в линейной относительно15013-66.jpg -функции теории) каждой физ. величине F ставится в соответствие линейный самосопряжённый О.15013-67.jpg преобразующий15013-68.jpg-функцию в новую, но принадлежащую тому же классу ф-цию15013-69.jpg15013-70.jpg (где f - число). Если кси задана в виде разложения15013-71.jpg
по заранее выбранным базисным ф-циям15013-72.jpg (определяющим конкретное представление как волновой ф-ции, так и действующих на неё О.), т. е. задана как вектор Ф(t) = {Фп(t)} в бесконечномерном гильбертовом пространстве, то действие 0.15013-73.jpg приводит помимо умножения на число f к повороту вектора Ф в этом пространстве, а изменение его компонент Фп - > Ф'п - к перераспределению квантовомеханич. вероятностей |Фп(t)|2 обнаружить систему в каждом из состояний, характеризуемых15013-74.jpg Ф-ции15013-75.jpg и15013-76.jpg считаются нормированными на 1, т. е. вне зависимости от наличия штриха

15013-77.jpg

С каждым О.15013-78.jpg в квантовой механике связывается ур-ние15013-79.jpg определяющее его собств. значения fп и полную систему ортонормированных собств. ф-ций15013-80.jpg подчинённых определённым граничным и всем необходимым общим для15013-81.jpg-функций условиям. Совокупность величии {fп} определяет спектр возможных значений физ. величины F, а система ф-ций {15013-82.jpg; (каждая из к-рых характеризует состояние, в к-ром эта величина имеет значение fn) может служить базисом пространства, в к-ром представляются все др. состояния системы.
Требование линейности О.

15013-83.jpg

(где15013-84.jpgи15013-85.jpg - волновые ф-цни двух возможных состояний системы, c1 и с2 - числа) можно рассматривать как выражение суперпозиции состояний принципа в квантовой механике, условие же самосопряжённости оператора15013-86.jpg обеспечивает действительность квантовомеханич. ср. значений физ. величины F, к-рые определяются как

15013-87.jpg

где15013-88.jpg - волновая ф-ция состояния, для к-рого определяется ср. значение F, а15013-89.jpg - её комплексно сопряжённая величина (если15013-90.jpg - многокомпонентная ф-ция, то вместо15013-91.jpg здесь стоит эрмитово сопряжённая ф-ция15013-92.jpg). Определяя О.15013-93.jpg транспонированный по отношению к исходному с помощью соотношения

15013-94.jpg

можно записать условие самосопряжённости О.15013-95.jpgв виде15013-96.jpg где15013-97.jpg В случае, когда система находится в одном из состояний15013-98.jpg ср. значение15013-99.jpgавтоматически совпадает с собств. значением fn. Более того, ур-ние, определяющее собств. ф-ции и собств. значения О.15013-100.jpg математически эквивалентно обращению в нуль квантовомеханич. дисперсии (не только квадратичной, но и любого порядка) величины F:15013-101.jpg для состояний15013-102.jpg совпадающих с любым из15013-103.jpg В связи с этим говорят, что в рамках квантовомеханических представлений измерение физ. величины F может привести только к к--л. из значений fn.
Алгебраич. действия с О. определяются согласно ф-лам

15013-104.jpg

Деление на О. определяется с помощью введения обратного О.15013-105.jpg такого, что15013-106.jpg где I означает О. умножения на единицу, причём15013-107.jpg =15013-108.jpg для fn15013-109.jpg 0. Если О.15013-110.jpg выступает в качестве аргумента нек-рой ф-цни15013-111.jpg то О.15013-112.jpgпонимается как разложение этой ф-ции в формальный степенной ряд, в к-ром вместо степеней15013-113.jpgстоят соответствующие степени О.15013-114.jpg

15013-115.jpg

а его собств. значения непосредственно выражаются через собств. значения15013-116.jpg

15013-117.jpg

Еслп два О.15013-118.jpgи15013-119.jpgимеют одну и ту же систему собств. ф-ций,15013-120.jpg и15013-121.jpg то порядок действия этих О. в произведении безразличен и коммутатор этих О. равен нулю:15013-122.jpg
И обратно, величины F и G могут одновременно иметь определённые значения только в том случае, если коммутатор О.15013-123.jpgи15013-124.jpgравен нулю. В противном случае физ. величины F и G не могут (в рамках квантовой теории) одновременно иметь точные значения. Некоммутативность ряда О. физ. величин приводит к существованию соответствующих неопределённостей соотношений в квантовой механике. Т. к. при эрмитовом сопряжении произведения двух О. порядок их расположения меняется,15013-125.jpg то произведение эрмитовых О. будет также эрмитовым О. только в случае, если эти О. коммутируют друг с другом.
Постановка задачи на полное определение ф-ции состояния и полного набора квантовых чисел п, характеризующих это состояние, для системы с15013-126.jpg степенями свободы (с обязат. включением степени свободы, связанной с возможными энергетич. состояниями) заключается в построении полного набора независимых коммутирующих друг с другом О.15013-127.jpg характеризующих положение системы по отношению к её степеням свободы, и совместном решении ур-ний

15013-128.jpg

со всеми необходимыми для волновой ф-ции15013-129.jpgдополнит. условиями, соответствующими характеру рассматриваемой задачи.
Конкретное матем. выражение О. дипамич. величины зависит от выбора пространства х, на к-ром определены ф-ции состояния15013-130.jpg(х).
О. в конфигурационном (координатном) представлении. Если волновая ф-цня системы задана как ф-ция пространств, координат и времени,15013-131.jpg то простейшими О., с помощью к-рых строятся все остальные О. динамич. величин, являются О. координаты15013-132.jpg15013-133.jpg определяемый как умножение на координату15013-134.jpgп О. импульса15013-135.jpg являющийся дифференц. О. первого порядка:

15013-136.jpg

Собств. ф-ция О. координаты, соответствующая собств. значению r0, представляет собой дельта-функцию Дирака:15013-137.jpg а собств. ф-ция О. импульса, соответствующая собств. значению р, - плоскую волну

15013-138.jpg

[в обоих случаях нормировка15013-139.jpg и15013-140.jpg произведена на15013-141.jpg-функцию]. О. любой динамич. величины F(p,r)определяется как

15013-142.jpg

Т. к.15013-143.jpgи15013-144.jpgне имеют общей системы собств. ф-ций, то О. дииамич. величин, как правило, нe коммутируют друг с другом, в частности

15013-145.jpg

но15013-146.jpg
Для системы из N частиц динамич. переменные представляются совокупностью координат r1, ..., rN и импульсов р1, ..., pN и в написанных выше ф-лах аргументы rи15013-147.jpg заменяются на r1, ..., rNи15013-148.jpg ...,15013-149.jpgгде каждое15013-150.jpg является дифференц. О., действующим на аргумент riф-ции15013-151.jpg(r1, ..., rN).
В качестве примеров для О.15013-152.jpg может служить оператор Гамильтона (гамильтониан)15013-153.jpgиграющий принципиальную роль во всей квантовой теории и определяющий данную конкретную систему, и О. орбитального (углового) момента15013-154.jpg Для N взаимодействующих между собой нерелятивистских частиц гамильтониан имеет вид

15013-155.jpg

где mi - масса i-й частицы, U(ri) и Ф(ri, rj) - потенциалы взаимодействия частиц с внеш. полем и друг с другом (если это взаимодействие не зависит от скоростей частиц). Для системы заряж. частиц О. импульса заменяется:

15013-156.jpg

где A(r,t) - векторный потенциал эл--магн. поля, ei - заряд частицы (в гауссовой системе единиц).
О. момента15013-157.jpgпредставляет собой сумму О. моментов для каждой из N частиц. Для одной частицы15013-158.jpg15013-159.jpg Компоненты О. моменты не коммутируют друг с другом,15013-160.jpg(две др. лары соотношении получаются при циклич. замене х - > у - > z - > x), но15013-161.jpg поэтому в квантовой теории имеет смысл говорить о состояниях с определёнными значениями квадрата момента и одной из его компонент, обычно15013-162.jpg Эти О. как коммутирующие друг с другом имеют общую систему собств. ф-ции [сферические функции Yim15013-163.jpgгде15013-164.jpg и15013-165.jpg - угл. переменные сферич. координат] и характеризуются собств. значениями15013-166.jpg и15013-167.jpg где l = 0,1, 2,... и т = - l, - l + 1, ..., l - соответственно орбит. и магн. квантовые числа. Если частица движется в центрально-симметричном поле U(r)= U(| r |), то15013-168.jpg образуют полный набор коммутирующих О. для данной системы с общей системой собств. ф-ций15013-169.jpg причём l определяет не только величину М2 (и наряду с гл. квантовым числом п энергетич. состояние системы), но и пространственную чётность состояния, характеризующую изменение волновой ф-ции при инверсии координат,15013-170.jpg15013-171.jpg (15013-172.jpg - О. инверсии), т. е. чётность состояния совпадает с чётностью l.

Импульсное представление. Если разложить15013-173.jpg по собств. ф-циям15013-174.jpg О. импульса:

15013-175.jpg

то волновой ф-цией системы в импульсном представлении (в к-ром квадрат её модуля определяет распределение плотности вероятности распределения по р)будет её фурье-образ Ф (р). В соответствии с этим преобразованием О. координаты становится дифференциальным, а О. импульса - О. умножения:

15013-176.jpg

Нормированные на15013-177.jpg-функцию собств. ф-ции этих О. имеют вид

15013-178.jpg

О. динамич. величин15013-179.jpg определяются как

15013-180.jpg

Матричное представление. Рассмотренные выше представления являются частными случаями, когда в качестве системы базисных ф-ций {15013-181.jpg(х)}выбирались собств. ф-ции координаты или импульса. В общем случае волновая ф-ция системы15013-182.jpg(x,t)может быть задана совокупностью компонент Ф(t) = {Фn(t)} в пространстве с достаточно произвольно выбранным базисом {15013-183.jpg(t)},15013-184.jpg
причём величины |Фn(t)|2 определяют вероятности обнаружить систему в каждом из состояний15013-185.jpg(х). Представляя15013-186.jpg(x,t)в виде столбца из её компонент {Фn(0)} [сопряжённую ей - в виде строки из элементов Фn(t)] а15013-187.jpg в виде квадратной матрицы

15013-188.jpg

можно записать результат действия этого О.15013-189.jpg15013-190.jpg в виде алгебраич. соотношений, определяющих изменённые в результате поворота вектора Ф(t) значения компонент Ф'(t) через их исходные значения:

15013-191.jpg15013-192.jpg

Матричные представления могут быть дискретными, непрерывными (как в случаях координатного и импульсного представления) и смешанного типа, когда часть квантовых чисел, входящих в n, дискретна, часть непрерывна. Приведём неск. общих соотношений в матричном выражении. Алгебраич. действия над О.:

15013-193.jpg

15013-194.jpg

условие самосопряжённости15013-195.jpg:

15013-196.jpg

единичный О.15013-197.jpg [в случае дискретного спектра15013-198.jpg где15013-199.jpg - Кронекера символ ,в случае непрерывного спектра15013-200.jpg(п - т)=15013-201.jpg(п - m), где15013-202.jpg(п - т) - дираковская15013-203.jpg-функция]; ф-ла для ср. значений:

15013-204.jpg

Проблема расчёта собств. значении и собств. ф-ций сводится к решению системы однородных относительно компонент Фn ур-ний

15013-205.jpg

причём условие существования нетривиального решения для {Фn}

15013-206.jpg

является ур-нием (степени, равной рангу матриц, фигурирующих в данном представлении), определяющим спектр собств. значений {fn}.
Если в качестве базиса {15013-207.jpg(х)}выбрана система собств. ф-ции О.15013-208.jpg то его матричное представление диагонально,15013-209.jpg поэтому проблему определения собств. ф-ций и собств. значений нек-рого О. или неск. коммутирующих друг с другом О. можно представить как проблему одноврем. диагонализации их матричных представлений.
Если в качестве базисных ф-ций {15013-210.jpg(х)}используются собств. ф-ции оператора Гамильтона,15013-211.jpg то говорят об энергетич. представлении О. и ф-ций состояния. Однако собств. ф-ции О.15013-212.jpg как правило, неизвестны. Поэтому в ряде случаев в качестве системы базисных ф-ций15013-213.jpg выбирают собств. ф-ции той части15013-214.jpg полного гамильтониана15013-215.jpg для к-рой удаётся получить точное решение для собств. ф-ций и собств. значений,15013-216.jpg и затем уже в этом матричном представлении развивают теорию возмущений по параметру, к-рому пропорц. часть15013-217.jpg как для расчёта собств. значений15013-218.jpgполного15013-219.jpg так и его собств. ф-ций.
Матричное представление является органичным для О. момента ввиду дискретности квантовых чисел l и m. Т. к. каждому l соответствует 2l + 1 значений числа т, то собств. ф-ции О.15013-220.jpg и15013-221.jpg представляются столбцами, а О. момента - матрицами (2l + 1)-ранга, ненулевые элементы к-рых определяются ф-лами

15013-222.jpg

Эти же соотношения справедливы и для О. полного момента15013-223.jpg включающего помимо О. орбит, момента15013-224.jpg также и О. спина15013-225.jpg (для к-рого нематричного представления просто не существует), причём квантовое число j, заменяющее в этом случае l в приведённых выше ф-лах, принимает ряд целых или полуцелых значении, а число т = - j,- j + 1,...,j пробегает 2j + 1 значений.
Общие ф-лы для О. момента определяют также и О. спинового момента частицы15013-226.jpg Так, для частиц со cпином 1/2 О. спина15013-227.jpg где15013-228.jpg - двухрядные Паули матрицы .Поэтому и состояние электрона (в нерелятивистской теории) будет описываться соответственно двухкомпопентной волновой ф-цией [ причём помимо классич. замены в гамильтониане этой системы р- > р - (е/с)А он должен быть дополнен энергией взаимодействия -15013-229.jpg собств. магн. момента электрона15013-230.jpg внеш. магн. полем15013-231.jpg(r,t.)].В релятивистской теории электрона состояние частицы описывается четырёхкомпонентной волновой ф-цией (не исключено матричное представление для каждой из них) в соответствии с разл. спиновыми состояниями электрона и состояниями частица и античастица, а О. выражается четырёхрядными матрицами, элементы к-рых сами могут быть О. в к--л. x-представлении. Простейшие примеры полных наборов коммутирующих О. для случая свободного движения электрона: гамильтониан15013-232.jpg импульс, проекция спина на направление импульса15013-233.jpg где15013-234.jpg15013-235.jpg а15013-236.jpg15013-237.jpg - четырёхрядные Дирака матрицы; или О.15013-238.jpgD,15013-239.jpg,15013-240.jpgи О. инверсии15013-241.jpg Собств. ф-ции при первом выборе характеризуются плоскими волнами (с импульсом р), проекцией спина s =15013-242.jpg1/2 и энергией15013-243.jpg при втором - сферич. волнами, числами j, т и l (чётность). При движении электрона в центрально-симметричном поле U(|r|)системой коммутирующих О., полностью определяющих состояние системы, являются гамильтониан15013-244.jpg15013-245.jpg О. квадрата полного момента15013-246.jpg, его проекции15013-247.jpg и чётности15013-248.jpg Для частиц со спином 1 необходимо использовать уже как минимум трёхрядные матрицы и т. д.

Представление вторичного квантования эффективно при рассмотрении систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц (проблема мн. тел в статистич. механике; см. Квантовая теория многих частиц), или систем, допускающих существование любого числа частиц одного и того же сорта (см. Квантовая теория поля ),и является одним из наиб. естеств. способов учёта свойств симметрии волновых ф-ций системы по отношению к перестановкам одинаковых частиц. В основе своей - это матричное представление, для формулирования к-рого используются N-частичные базисные ф-ции с определённым типом симметрии15013-249.jpg(х), сконструированные как симметризов. или аитисимметризов. произведения одночастичных ф-ций15013-250.jpg (чаще всего для этого используются известные решения задач на свободное движение частицы данного типа), где х = хl, ..., хN, а в наборе квантовых чисел п= {...,nf,...} каждое из nf указывает, сколько раз в структуре данной базисной ф-ции встречается ф-ция15013-251.jpg с данным индексом f. Числа nf наз. числами заполнения (очевидно, а базисные ф-ции обычно обозначают15013-252.jpg символами15013-253.jpg(х) = | .... nf, ... >, введёнными П. А. М. Дираком (Р. A. М. Dirac), при этом15013-254.jpg15013-255.jpg Отличие систем, симметричных и антисимметричных по отношению к перестановкам двух частиц, проявляется в том, что в первом случае (бозе-частицы) nfмогут принимать любые целые неотрицат. значения, а во втором (ферми-частпцы) - только 0 и 1. Это ограничение на числа заполнения для ферми-систем выражает Паули принцип. О. динамич. величин, представленные соответствующими матрицами <...nf, ... ... |F| ..., n'f,... >, действуя на волновую ф-цию, имеющую в этом представлении вид вектора с компонентами Ф(...,nf ,...), характеризуемыми определёнными наборами чисел nf, "перепутывают" эти наборы. Иными словами, вместо нек-рого Ф(...,nf,...) в результате действия О. F появляется амплитуда Ф(...,nf',...), к-рая характеризуется уже другими, изменёнными числами заполнения тех же состояний f, т. е. О. в этом представлении меняют числа частиц в каждом из состоящих f. Удобно рассматривать "элементарные" О., изменяющие на единицу к--л. из чисел заполнения nf, т. и. О. рождения и О. уничтожения частицы в состоянии f, и с их помощью выражать более сложные О. F. Действие каждого такого О. рождения и уничтожения меняет на единицу не только определённое число nf, но и общее число частиц N. Т. о., для использования формализма вторичного квантования необходимо оперировать с бесконечным набором пространств и соответствующих им базисных систем ф-ций [..., nf ,...> для всех значений общего числа N от нуля до бесконечности. Конкретный результат действия элементарных О. на эти базисные ф-ции определяется с помощью непосредств. расчёта соответствующих матричных элементов. Действие их на |..., nf ,...> в случае бозе-систем можно представить в виде

15013-256.jpg

для О. уничтожения af и

15013-257.jpg

для О. рождения аf+ , причем ни аf, ни аf+ не действуют на числа nf', если f '15013-258.jpgf. Отсюда следуют перестановочные соотношения

15013-259.jpg

15013-260.jpg

В случае ферми-систем аf и аf+ имеют тот же смысл О. изменения на единицу числа nf, но учёт антисимметрии базисных ф-ций по отношению к перестановкам индексов частиц и ограничение чисел заполнения двумя значениями О, 1 приводят к перестановочным соотношениям антикоммутации:

15013-261.jpg

15013-262.jpg

В ряде задач, когда гамильтониан системы целиком выражается в терминах спиновых О., удобны О. рождения и уничтожения с коммутац. соотношениями смешанного типа:

15013-263.jpg15013-264.jpg

По своей матем. природе они тождественны бозе-O., но действуют в урезанном пространстве чисел заполнения, допускающем значения nf =0 и nf=1. Их называют паули - О., т. к. они непосредственно связаны со спиновыми матрицами Паули:

15013-265.jpg

Во всех случаях О. nf = аf+ аf является О. числа частиц в состоянии f и имеет собств. значения nf = 0, 1, 2, ... для бозе-систем и nf = 0, 1 для ферми- и паули-систем.
Чаще всего в приложениях индекс f означает импульс и спин f = (р,15013-266.jpg)частицы, т. е. в качестве базисных ф-ций |..., nf,... > выбираются симметризов. или антисимметризов. произведения ф-ций15013-267.jpg где15013-268.jpg - плоская волна (V - объём

системы),15013-269.jpg - спиновая ф-ция. Тогда аf+ и af - О. рождения и уничтожения частицы с данным значением импульса и спина. Возможно и "координатное" (или к--л. иное) представление этих О., определяемое с помощью преобразования типа фурье-преобразования:

15013-270.jpg

О. дпнамич. величин в представлении вторичного квантования строятся след. образом: величинам аддитивного динамич. типа, таким, что15013-271.jpg (напр., полный импульс системы из N частиц,их полная кинетич. энергия, энергия взаимодействия с внеш. полем и т. д.) соответствуют О.

15013-272.jpg

где <f|F|f' > - О.15013-273.jpg в f-представлении, матричные элементы к-рого рассчитываются с помощью ф-ций15013-274.jpg величинам бинарного типа15013-275.jpg (напр., энергии взаимодействия частиц друг с другом) соответствуют О.

15013-276.jpg

где < f1f2|G|f'1f'2 > - матричный элемент О.15013-277.jpgв f-представлении, рассчитанный с помощью системы ф-ций15013-278.jpg и т. д.
Напр., гамильтониан системы нерелятивистских частиц с центр. их взаимодействием Ф(ri ,rj) = Ф(ri - rj), находящихся во внеш. поле U(r), в представлении вторичного квантования имеет вид

15013-279.jpg

где15013-280.jpg и15013-281.jpg - фурье-образы потенциалов Ф и U, причём для частиц со спином нижний индекс у а+ и а помимо волнового вектора k включает и спиновый индекс s:15013-282.jpgи т. д. Каждое слагаемое этого О. имеет наглядный смысл: общая кинетич. энергия представлена как сумма по всем k кинетич. энергий15013-283.jpg умноженных на числа частиц ak+ak =nk с этой энергией, каждое слагаемое из второй суммы учитывает рассеяние частицы k - > k +15013-284.jpg на фурье-компоненте внеш. поля15013-285.jpg а из третьей суммы - рассеяние двух частиц (k,k') - > (k+ x, k' -15013-286.jpg) на фурье-компоненте потенциала их взаимодействия15013-287.jpg
Помимо модели прямого взаимодействия частиц, возможной только в нерелятивистской теории, рассматривается взаимодействие частиц с разл. полями, переносящими это взаимодействие: в электродинамике с эл--магн. полем (полем фотонов), в статистич. физике - с полем фононов и т. д. В гамильтониан системы в этом случае необходимо добавить свободную энергию этого поля15013-288.jpg и О. взаимодействия его с частицами системы,имеющий вид

15013-289.jpg

причём элементарный акт этого взаимодействия имеет характер рассеяния частицы с испусканием (или поглощением) кванта поля b. Подобные наглядные представления о взаимодействии послужили одним из стимулов развития диаграммной техники в квантовой теории поля и в квантовой статистике.

О. энергии и производные О. по времени. В квантовой теории О. энергии определяется как первая производная по времени,15013-290.jpg С его помощью записывается ур-ние Шрёдингера - осн. ур-ние квантовой механики, являющееся ур-нием движения для волновой ф-цип,15013-291.jpg После подстановки15013-292.jpg15013-293.jpg оно превращается в ур-ние на собств. значения гамильтониана,15013-294.jpg и определяет стационарные состояния системы. О. производной по времени15013-295.jpg физ. величины F определяется в соответствии с ур-нием движения для15013-296.jpg как

15013-297.jpg

что позволяет определять в квантовой механике О. величин типа скоростей, ускорений и т. д. Если величина F не зависит явно от времени и коммутатор15013-298.jpg то эта величина является интегралом движения.
В релятивистской теории помимо ур-ний, содержащих О.15013-299.jpgв первой степени, напр. Дирака уравнение15013-300.jpg используются ур-ния второго порядка по15013-301.jpg(Клейна - Гордона уравнение],15013-302.jpg для однокомпонентной15013-303.jpg-функции частицы без спина, а также для векторных 4-компонентных ф-ций и тензорных более высокого ранга. Оператор15013-304.jpg можно рассматривать как нулевую компоненту релятивистского О. энергии-импульса15013-305.jpg15013-306.jpg = 0,1,2,3, что позволяет использовать для релятивистских ур-ний удобную лоренц-ковариантную запись.
Различные временные представления О. Рассмотренная выше схема квантовой теории, когда не зависящей от времени динамич. величине F ставится в соответствие также не зависящий от t О.15013-307.jpgа эволюция системы целиком определяется поведением волновой ф-ции, подчиняющейся ур-нию Шрёдингера, формальное решение к-рого можно представить как

15013-308.jpg

наз. Шрёдингера представлением для О. и ф-ций состояния. Из возможных др. временных представлений отметим два, широко используемых в квантовой теории. В Гейзенберга представлении15013-309.jpg-функция является пост. вектором; полагая в приведённой выше ф-ле t0= 0, можно представить эту ф-цию как нач. значение рассмотренной ранее15013-310.jpg =15013-311.jpgа зависимость от t переносится на О. динамич. величин:

15013-312.jpg ур-ние движения для к-рых имеет вид15013-313.jpg
Для построения взаимодействия представление существенно разделение15013-314.jpg на части,15013-315.jpg связанное обычно с применением теории возмущений. В атом временном представлении зависимость15013-316.jpgот t определяется с помощью нулевого гамильтониана:

15013-317.jpg а эволюция волновой ф-ции15013-318.jpg определяется О.15013-319.jpg

15013-320.jpg

причём формальное решение этого ур-ния можно записать как

15013-321.jpg

где оператор S-матрицы (наз. матрицей рассеяния)

15013-322.jpg

Матрица плотности, матрица рассеяния и другие О.

Наряду с О., непосредственно связанными с определёнными физ. переменными, в квантовой теории используются О., к-рые определяют все свойства системы, включая её состояние, или ряд её свойств. Выше предполагалось, что состояние кваитовомеханич. системы фиксируется с помощью волновой ф-ции, представляемой вектором Ф(t) = {Фn(t)}. Если этому т. н. чистому состоянию поставить в соответствие О.15013-323.jpg с матричными элементами <n|р| т> = Фn*(t)Фm(t), то ср. значения физ. величины F запишутся как

15013-324.jpg

а сам О. p(t) в соответствии с ур-нием Шрёдингера для Ф(t)будет удовлетворять ур-нию

15013-325.jpg

и иметь формальное решение в виде

15013-326.jpg

О. р наз. матрицей плотности. Он характеризует систему и в случаях, когда она находится в т. н. смешанном состоянии, что существенно, напр.. при рассмотрении статистич. систем. Матричное представление О. р может быть определено в смешанном представлении (напр., в координатно-импульсном), что невозможно в традиц. квантовой механике, оперирующей с чистыми квантовомеханич. состояниями. О.15013-327.jpg допускает помимо шрёдиигеровского и иные временные представления.
О. S-матрицы (и его модификаций, включая температурные варианты) определяет изменение свойств системы по отношению к нек-рому известному "исходному" состоянию, напр. к состоянию с "выключенным" взаимодействием частиц15013-328.jpg (для этого в15013-329.jpg добавляют фактор ехр{ -15013-330.jpg |t|}, 15013-331.jpg> 0,15013-332.jpg - > 0, обеспечивающий выключение взаимодействия при t - >15013-333.jpg). Тогда для конечного t (t0 - > -15013-334.jpg) введённый ранее О. можно представить как бесконечный ряд, записываемый условно в виде т. н. Т-экспоненты, т. е. упорядоченного по временным аргументам (см. Хронологическое произведение)степенного её разложения:

15013-335.jpg

Этот ряд служит основой для построения приближений в рамках теории возмущений по15013-336.jpg
О. t-матрицы, родственной О. S, на простейшем примере задачи двух тел (задачи рассеяния) модифицирует падающую из бесконечности на рассеивающий центр H1 = Ф(r)плоскую волну15013-337.jpg в расходящуюся волну15013-338.jpg (в соответствии с граничными условиями квантовомеханич. задачи рассеяния), так что15013-339.jpg Ур-ние Шрёдингера, записанное в терминах t-О., и его формальное решение имеют вид

15013-340.jpg15013-341.jpg

В случаях, когда потенциал Ф(r) не имеет фурье-образа (напр., прп взаимодействии твёрдых сфер конечного радиуса), а использование импульсного варианта представления вторичного квантования всё же рационально, импульсное представление t-О.заменяет несуществующую величину v(q), причём при малых передачах импульса |q| матричный элемент t-О. выходит на константу, пропорц. длине рассеяния а:

15013-342.jpg

О. преобразований. В квантовой теории такие О. широко используются для осуществления переходов к др. представлениям и координатам, для трансляций и поворотов в разл. пространствах, сдвига во времени, дискретных преобразований самого разного физ. содержания. Рассмотрим нек-рые из них.
Пусть15013-343.jpg - система базисных ф-ций, определяющих нек-рое n-представление О. и волновых ф-ций, а15013-344.jpg - др. базисная система, соответствующая15013-345.jpg-представлению. Переход от одной системы к другой

15013-346.jpg

где15013-347.jpg можно символически записать с помощью линейного унитарного О. U, матричное представление к-рого приведено выше, как15013-348.jpg Условие унитарности U+U = I является следствием ортонормироваиности базисных ф-ций15013-349.jpg и15013-350.jpg Т. к. обратный О. U-1 = U+, то обратное преобразование имеет вид15013-351.jpgОбозначая символом F матричное представление О.15013-352.jpg в т-представлепии <n|F|n'> и символом15013-353.jpg матрицу15013-354.jpg , будем иметь в компактной записи правило преобразования О. динамич. переменной от одного представления к другому в виде F'= U+FU. Преобразование ф-ции состояния, определяемой в n-представлении совокупностью компонент Ф = {Фn}, а в15013-355.jpg-представлении - совокупностью штрихованных компонент Ф' =15013-356.jpg записывается как Ф' = U+Ф.
Унитарные преобразования U сохраняют нормировку волновых ф-ций, свойство их ортогональности, порядок действия О. дниамич. величин, сумму их диагональных элементов

15013-357.jpg

и т. д. Проблему определения собств. значений О. F можно свести к проблеме построения такого О. U, к-рый превращал бы матрицу <n|F|n'> в диагональную:

15013-358.jpg

Примеры О. преобразований приводились выше. Так, переход к представлению Гейзенберга осуществлялся с помощью О.15013-359.jpg к представлению взаимодействия - с помощью15013-360.jpg переход от координатного представления к импульсному (в одномерном случае) производится с помощью непрерывной матрицы15013-361.jpg и т. д.
О. U используются при преобразовании систем координат. При рассмотрении непрерывных преобразований (сдвиг, вращение) достаточно ограничиться бесконечно малым преобразованием данного типа. Напр., О. бесконечно малого смещения координат непосредственно определяется первыми членами разложения ф-ции15013-362.jpg в ряд Тейлора:

15013-363.jpg

откуда для О. конечной трансляции15013-364.jpg получаем15013-365.jpg Аиалогичная процедура с бесконечно малым смещением во времени приводит для конечного сдвига на15013-366.jpgt к известному результату:

15013-367.jpg

[в представлении взаимодействия15013-368.jpg где S(t1, t2) - S-матрица]. При бесконечно малом повороте на угол15013-369.jpg на скалярную ф-цию15013-370.jpg(r)действует О.15013-371.jpg а для частицы со спиом О.15013-372.jpg
О. конечного поворота, как видно из этих ф-л, представляются матрицами (2j + 1)-го ранга. В релятивистской теории при бесконечно малых поворотах в четырёхмерном пространстве на угол15013-373.jpg (при Лоренца преобразованиях)15013-374.jpgО. преобразования ф-ции состояния можно записать как U = 1/215013-375.jpg где для четырёхкомпонентной ф-ции фермиона15013-376.jpg О.15013-377.jpg целиком выражается с помощью Дирака матриц15013-379.jpg в виде15013-380.jpg15013-378.jpg
Дискретные преобразования U
связаны не только с преобразованиями типа отражений в пространстве и времени, но и с изменением дискретных величин, таких как электрич. заряд, барионное число, странность, очарование, цвет и т. д. Приведём примеры О. дискретных преобразований, использующихся в теории релятивистских фермн-частиц, к-рые несложным образом выражаются через15013-381.jpg: пространственная инверсия ( r' - > - r, х'0= х0) - U =15013-382.jpg обращение времени (r' - r, х' = - х0)- U =15013-383.jpgполная инверсия (r' - > - r, х'о = - х0) - U -15013-384.jpgгде15013-385.jpg Возможны и др. законы преобразования кси при отражениях; напр., при r' - > - r возможны (помимо упомянутого) ещё три варианта преобразования волновой ф-ции:15013-386.jpgU =15013-387.jpg(так преобразующиеся при отражениях15013-388.jpg-функции наз. псевдоспинорами). Аналогичные варианты существуют и для законов преобразований при др. отражениях. К дискретным преобразованиям примыкает операция зарядового сопряжения, имеющая вид15013-389.jpg

О. перестановок. Такие О. необходимы при рассмотрении систем двух и более одинаковых частиц. С помощью простейшего О. перестановки индексов двух частиц
15013-390.jpg

можно построить любой О. перестановки15013-391.jpg этих индексов, представив его как произведение парных перестановок:15013-392.jpg Оператор15013-393.jpgлинеен,

15013-394.jpg

симметричен,15013-395.jpg совпадает с обратным,15013-396.jpg15013-397.jpg унитарен,15013-398.jpg Т. к. в системе одинаковых частиц О. перестановки их индексов не изменяет ни О. динамич. величии (в частности, гамильтониана системы15013-399.jpg, т. е.15013-400.jpg =0), ни граничных и др. дополнит. условий, то волновые ф-ции15013-401.jpg и15013-402.jpg отличающиеся расположением двух индексов частиц у их аргументов, удовлетворяющие одной и той же системе ур-ний и дополнит. условий, описывают одно и то же микроскопия, состояние, т. е.15013-403.jpg где15013-404.jpg = схр {i15013-405.jpg} - фазовый множитель. Повторное применение к этому соотношению О.15013-406.jpg определяет для собств. значения15013-407.jpg О.15013-408.jpgусловие15013-409.jpg = 1, т. е.15013-410.jpg - ф-ция состояния системы одинаковых частиц по отношению к перестановкам их индексов либо симметрична,15013-411.jpg (случай системы бозе-частиц), либо антисимметрична,15013-412.jpg (случай системы ферми-частиц), где15013-413.jpg - число парных перестановок15013-414.jpg на к-рые распадается данная перестановка15013-415.jpg При этом ввиду того, что15013-416.jpg= 0, характер симметрии волновой ф-ции является пост. свойством данной системы.
Для двух ферми-частиц О. перестановки имеет вид15013-417.jpg где15013-418.jpg - соответственно О. обмена спинами, зарядами и координатами. Т. к. для ферми-систем15013-419.jpg= -1, то для О. перестановки фермионов местами15013-420.jpg
где15013-421.jpg15013-422.jpg15013-423.jpg - матрицы Паули, действующие на спиновые переменные каждой из частиц, а15013-424.jpg,15013-425.jpg - совпадающие по виду с матрицами Паули операторы изотопического спина.
О. проектирования вводятся при необходимости выделить из всего класса допустимых волновых ф-ций15013-426.jpg(х) подпространство ф-ций15013-427.jpg(х), удовлетворяющих определённым дополнит. требованиям (напр., подпространство ф-ций с к--л. дополнит. ограничением на числа заполнения или ф-ций, ортогональных к заданной, и т. д.). Вследствие принципа суперпозиции любую15013-428.jpg(х)можно представить как15013-429.jpg и выделить первое слагаемое с помощью проекционного О.15013-430.jpg определив его как15013-431.jpgгде

15013-432.jpg

Из свойств15013-433.jpg отметим его линейность и свойство15013-434.jpg15013-435.jpg Ввиду отсутствия взаимной однозначности в сопоставлении15013-436.jpg О. проектирования15013-437.jpg не имеет обратного себе О.15013-438.jpg Следует отметить, что О. матрицы плотности15013-439.jpg по природе своей является проекционным О. - для чистого состояния Ф, когда <п'15013-440.jpgп> = =15013-441.jpg он просто совпадает с О. проектирования на это состояние: РФ =15013-442.jpg

Лит. см. при ст. Квантовая механика, Квантовая теория многих частиц, Квантовая теория поля, Квантовая хромодинамика.

И. А. Квасников.

  Предметный указатель