определитель

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ (детерминант) квадратной матрицы А = ||a_ij|| порядка n, detA - многочлен, каждый член к-рого является произведением п элементов матрицы А, причём из каждой строки и каждого столбца матрицы в произведение входит лишь один сомножитель, т. е. многочлен вида detA = где сумма берётся по всем перестановкам чисел 1, 2, ..., n; число равно числу инверсий в перестановке j₁, j₂, ..., j_n, т. е. числу случаев, когда большее число стоит перед меньшим. O. содержит n! членов, из к-рых половина берётся со знаком + и половина со знаком - . Число п наз. порядком О. Определитель матрицы А обозначается также |А| или |a_ij|. О. обладают рядом важных свойств, к-рые облегчают их вычисление. 1) Величина det A не изменяется: а) если строки и столбцы А поменять местами, т. е. det A = det A', где А' - матрица, транспонированная к А; б) при чётном числе перемен местами любых двух строк (столбцов) А; в) если к элементам любой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (соответственно столбца), умноженные на одно и то же число. 2) О. меняет знак, если в А произвести нечётное число перемен местами любых двух строк (столбцов). 3) О. равен нулю, если:
а) все элементы к--л. строки (столбца) равны нулю;
б) соответствующие элементы к--л. двух строк (столбцов) равны или пропорциональны. 4) Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак О. 5) Если каждый элемент к--л. строки (столбца) есть сумма двух слагаемых, то О. равен сумме двух О., причём в одном из них соответствующая строка (столбец) состоит из первых слагаемых, а в другом - из вторых слагаемых. 6) О. можно разложить по элементам к--л. строки (столбца). Напр., разложение О. по элементам i-й строки имеет вид: |А| = а_i1А_i1 + а_i2A_i2+ ... + a_inA_in. Коэф. A_ij, стоящий при элементе а_ijв этом разложении, наз. алгебраическим дополнением элемента а_ij, A_ij = д|А|/dа_ij, А_ij равен произведению ( - 1)^i+j на О. порядка п - 1, полученный из данного О. вычёркиванием i-й строки и j-го столбца. 7) Из определения произведения матриц следует, что det (АВ)= detAdetB, где А и В - квадратные матрицы одного и того же порядка. 8) detA⁺ = detA * = (detA)*, detA^-1 = (detA)^-1 при det A0 (A⁺ - матрица, эрмитово сопряжённая к А, * - комплексное сопряжение).
Нек-рые спец. О.: для ф-ции f(x_l ,..., х_п)гессианом наз. ||д²f /дx_iдx_k||, для п ф-ций f_i(х₁, .... х_п) (i = 1, 2, ..., п)якобианом наз. О. ||дf_i /дx_j||, определителем Вронского наз. О. матрицы, в к-рой элементами первой строки являются п функций v₁(x), v₂(х), ..., v_n(x), а их k-e производные являются элементами (k + 1)-й строки (k = 1, 2, ..., п - 1). Определителем Грама наз. О. матрицы, элементы к-рой - скалярные произведения (u_iu_j) п векторов u₁, u₂, ..., и_пв пространстве размерности п.

Лит. см. при ст. Матрица.

С. И. Азаков.