оптический резонатор

ОПТИЧЕСКИЙ РЕЗОНАТОР - совокупность неск. отражающих элементов, образующих открытый резонатор (в отличие от закрытых объёмных резонаторов, применяемых в диапазоне СВЧ). Для длин волн < 0,1 см использование закрытых резонаторов, имеющих размеры d ~ затруднительно из-за малости d и больших потерь энергии в стенках. Использование же объёмных резонаторов с d >также невозможно из-за возбуждения в них большого числа собств. колебаний, близких по частоте, в результате чего резонансные линии перекрываются и резонансные свойства практически исчезают. В О. р. отражающие элементы не образуют замкнутой полости, поэтому большая часть его собств. колебаний сильно затухает и лишь малая часть их затухает слабо. В результате спектр образовавшегося О. р. сильно разрежен.
О. р. - резонансная система лазера ,определяющая спектральный и модовый состав лазерного излучения, а также его направленность и поляризацию. От О. р. зависит заполненность активной среды лазера полем излучения и, следовательно, снимаемая с неё мощность излучения и кпд лазера.
Простейшим О. р. является интерферометр Фабри - Перо, состоящий из двух плоских параллельных зеркал. Если между зеркалами, расположенными на расстоянии d друг от друга, нормально к ним распространяется плоская волна, то в результате отражения её от зеркал в пространстве между ними образуются стоячие волны (собств. колебания). Условие их образования где q - число полуволн, укладывающихся между зеркалами, наз. продольным индексом колебания (обычно q ~ 10⁴ - 10⁶). Собств. частоты О. р. образуют арифметич. прогрессию с разностью c/2d (эквидистантный спектр). В действительности из-за дифракции на краях зеркал поле колебаний зависит и от поперечных координат, а колебания характеризуются также поперечными индексами т, п, определяющими число обращений поля в 0 при изменении поперечных координат. Чем больше т и п, тем выше затухание колебаний, обусловленное излучением в пространство (вследствие дифракции света на краях зеркал). Моды с т = п = 0 наз. продольными, остальные - поперечными.
Т. к. коэф. затухания колебания растёт с увеличением т и п быстрее, чем частотный интервал между соседними колебаниями, то резонансные кривые, отвечающие большим т и п, перекрываются и соответствующие колебания не проявляются. Коэф. затухания зависит также от числа N зон Френеля, видимых на зеркале диам. R из центра др. зеркала, находящегося от первого на расстоянии d:(см. Френеля зоны). При N ~ 1 остаётся 1 - 2 колебания, сопутствующих осн. колебанию (q = 1).

Двухзеркальные резонаторы. О. р. с плоскими зеркалами чувствительны к деформациям и перекосам зеркал, что ограничивает их применение. Этого недостатка лишены О. р. со сферич. зеркалами (рис. 1), в к-рых лучи, неоднократно отражаясь от вогнутых зеркал, не выходят за пределы огибающей поверхности - каустики. Поскольку волновое поле быстро убывает вне каустики, излучение из сферич. О. р. с каустикой гораздо меньше, чем излучение из плоского О. р.

Рис. 1. Двухзеркальный резонатор.

Разрежение спектра в этом случае реализуется благодаря тому, что размеры каустики растут с ростом т и n. Для колебаний с большими т и п каустика оказывается расположенной вблизи края зеркал или вовсе не формируется. Сферич. О. р. с каустикой наз. устойчивыми, т. к. параксиальный луч при отражении не уходит из приосевой области (рис. 2,а). Устойчивые О. р. нечувствительны к небольшим смещениям и перекосам зеркал, они применяются с активными средами, обладающими небольшим усилением (10% на один проход). Для сред с большим усилением используются неустойчивые О. р., в к-рых каустика образоваться не может; луч, проходящий вблизи оси резонатора под малым углом к ней, после отражений неограниченно удаляется от оси. На рис. 2(б)дана диаграмма устойчивости О. р. при разл. соотношениях между радиусами R₁ и R₂ зеркал и расстоянием d между ними. Незаштрихованные области соответствуют наличию каустик, заштрихованные - их отсутствию. Точки, соответствующие резонатору с плоскими (П) и концентрическими (К) зеркалами, лежат на границе заштрихованных областей. На границе между устойчивыми и неустойчивыми О. р. расположен также конфокальный О. р. (R₁ = R₂ = d). Из устойчивых О. р. наиб. часто используется полуконфокальный (R₁ = х R₂ = 2d), из неустойчивых - телескопический О. р. (R₁+ R₂ = 2d). Потери на излучение в неустойчивых О. р. для колебаний высших типов значительно больше, чем для осн. колебания. Это позволяет добиться одномодовой генерации лазера и связанной с ней высокой направленности излучения.

Рис. 2. Образование каустики (а)и диаграмма устойчивости двухзеркальных резонаторов (б): знаком плюс отмечены области устойчивости; минусом - области неустойчивости; сплошные линии - границы этих областей; П - резонатор с плоскими зеркалами; Конф. - конфокальный резонатор; К - концентрический резонатор; пунктир - линия телескопических резонаторов.

Теория. Распределение электрич. поля Е устойчивого О. р. в плоскости, перпендикулярной оси О. р. (z), описывается выражением

Здесь Е₀ - коэф., определяющий амплитуду поля; Н_т,п - полиномы Эрмита (см. Ортогональные полиномы) т-й и n-й степеней: Н₀(х) = 1, Н₁(x) = 2х, Н₂(х) = 4x² - 2, Н₃(х) = 8х³ - 12x; W - поперечный радиус продольной моды (на расстоянии от оси О. р., равном W, плотность энергии продольной моды уменьшается в е раз). Зависимость W(z)имеет вид

где а z отсчитывается от т. н. перетяжки продольной моды, т. е. от той точки на оси резонатора, где её радиус имеет наим. значение, равное W₀(рис. 2,а). Расстояние от перетяжки до зеркала R₁

радиус продольной моды в перетяжке

Частотный спектр двухзеркального О. р. задаётся условием

Распределение поля на зеркале показано на рис. 3. Т. к. частотный спектр двухзеркального О. р. вырожден (зависит лишь от суммы т + n, но не от каждого из индексов в отдельности), то Е(х,у)может отличаться от (1). Конкретный вид распределений зависит от слабых возмущающих действий со стороны диафрагм или др. объектов в области, занимаемой пучком. В частности, при осевой симметрии возможны распределения полей (рис. 4), описываемые в цилиндрич. координатах (r,, z)выражением

Здесь l, p - индексы колебания, определяющие число обращений поля в 0 при изменении r иW(z) - радиус продольной моды; - обобщённый полином Лагерра:

Спектр О. р. при осевой симметрии определяется соотношением (2), где (т + п + 1) следует заменить на (2р + l+ 1).

Рис. 3. Распределение поля на зеркале при прямоугольной симметрии.

Рис. 4. Распределение поля на зеркале при осевой симметрии; * соответствует распределению поля при сложении двух ортогонально поляризованных мод.

Составной резонатор. Кроме зеркал О. р. часто содержит т. н. активные элементы (пластинки, линзы и др.). Составной О. р. может работать в двух режимах в зависимости от того, используется или теряется излучение, отражённое от промежуточных поверхностей. Если отражённое излучение используется, то О. р. наз. согласованным. Каждая часть согласованного О. р., заключённая между двумя соседними поверхностями раздела, может рассматриваться как отд. резонатор, причём поперечные моды этих резонаторов подбирают так, чтобы они совпадали на границах раздела. Условие согласования (рис. 5) имеет вид

Рис. 5.

Согласованный О. р. обладает неэквидистантным спектром и может быть использован для разрежения продольного спектра О. р. (см. ниже).
Важной проблемой в случае составного О. р. является эфф. заполнение активной среды лазера полем выбранной моды. Если составной О. р. обладает осью или плоскостью симметрии, то продольная мода (как и у двухзеркального О, р.) является гауссовым пучком (см. Квазиоптика ).Его прохождение через оптич. элементы описывается матрицами этих элементов (см. Матричные методы в оптике), а прохождение через О. р. описывается матрицей, являющейся произведением матриц составляющих его оптич. элементов. При этом комплексный параметр гауссова пучка q определяется ур-нием

Cq² + (D - A)q - B = 0.

Коэф. А, В, С, D образуют матрицу О. р. Это ур-ние, а также соотношения R = [Re(^l/q)]^-l,= [kIm(¹/q)]^-1 позволяют определить поперечный радпус пучка и радиус кривизны волнового фронта R в любом сечении резонатора.

Селекция продольных мод. Для разрежения (селекции) продольных мод, имеющих одинаковое поперечное распределение поля, но отличающихся частотой, используются резонаторы, содержащие дисперсионные элементы (призмы, дифракц. решётки, интерферометры и др.). В частности, в качестве дисперсионного элемента применяют дополнит. О. р., связанные с основным и образующие т. н. эквивалентное зеркало, коэф. отражения к-рого r зависит от частоты v. Для удаления из спектра одной из продольных мод наиб. пригоден линейный трёхзеркальный О. р. (рис. 6,а), для выделения в спектре одной продольной моды - резонатор Фокса - Смита (рис. 6,б) и Т-образный (рис. 6,в). В нек-рых случаях удобен О. р. Майкельсона (рис. 6,г).

Рис. 6. Различные типы связанных резонаторов (I) и зависимость коэффициента отражения эквивалентного зеркалаот частоты v(II).

В лазерах на красителях применяется комбинация дифракц. решётки и интерферометра Фабри - Перо (рис. 7). При этом интерферометр выделяет одну продольную моду, а решётка предотвращает генерацию на др. порядках интерферометра. Линзы Л₁ и Л₂, образующие т. н. телескоп, согласуют узкий пучок, проходящий через активную среду А, с широким пучком, попадающим на интерферометр и решётку .Активная среда в таком О. р. играет также роль диафрагмы, выделяющей осн. поперечную моду. Такие О. р. позволили создать перестраиваемые в широком диапазоне одночастотные лазеры на красителях.

Рис. 7. Резонатор, содержащий дисперсионные элементы (используемый в лазерах на красителях). А - кювета с активной средой; З - непрозрачное или частично прозрачное зеркало; И - интерферометр Фабри - Перо; Д - дифракционная решётка.

Селекция поперечных мод основана на различии в распределении полей поперечных мод с разными т и п. Т. к. обычно требуется выделить осн. моду, к-рая имеет мин. угл, расходимость, гауссово распределение и мин. протяжённость в поперечном направлении, то применяется диафрагмирование пучка внутри О. р. Радиус диафрагмы ориентировочно должен быть равен поперечному радиусу моды, следующей за основной. При этом потери всех мод, кроме основной, сильно увеличиваются.
При селекции поперечных мод необходимо, чтобы оставшаяся единств. мода эффективно заполняла активную среду. Поэтому важны границы зон устойчивости (рис. 2,6), где поперечные размеры мод увеличиваются: 1) радиус моды увеличивается во всём объёме, если расстояние d между зеркалами постоянно, а радиусы крпвизны зеркал R_lи R₂(при этом сильно увеличивается чувствительность резонатора к разъюстировкам); 2) радиус моды увеличивается на 1-м зеркале и уменьшается на 2-м, если dR₁(R₂ >R₁); 3) радиус моды увеличивается на 2-м зеркале и уменьшается на 1-м, если d R₂; 4) радиус моды увеличивается на обоих зеркалах и уменьшается в области их центров кривизны, если d (R₁ + R₂).
При необходимости выделения к--л. высшей моды на нулевой линии распределения поля этой моды помещают тонкую рассеивающую нить, к-рая не оказывает влияния на избранную моду и подавляет др. моды, не обращающиеся в 0 на этой линии.
Резонаторы с анизотропными элементами. Поляризация лазерного излучения определяется т. н. анизотропными элементами, находящимися в О. р. Такими элементами являются двулучепреломляющие пластины, поляризаторы ,вещества, обладающие оптической активностью, и др., а также пластины Брюстера и диэлектрич. зеркала при наклонном падении на них излучения. Определение поляризации производится матричным методом Джонса. При этом поляризац. матрица всего О. р. является произведением матриц входящих в него элементов, расположенных в том порядке, в к-ром через эти элементы проходит излучение начиная с того места, где требуется определить состояние поляризации. Собств. векторы поляризац. матрицы являются векторами Джонса Е(Е_х,Е_у) полей, генерируемых в О. р. Степень поляризации е и направление гл. оси эллипса поляризации а определяются соотношениями

где R = |Е_х| / |Е_у|,= arcig(E_y/E_x).

Модули собств. значений матрицы Джонса определяют потери О. р., обусловленные поляризаторами, а фазы собств. значений - поляризац. поправки к частотам соответствующих мод. Подбирая анизотропные элементы, можно добиться требуемого состояния поляризации. Учитывая, что обычно анизотропные элементы обладают заметной дисперсией, можно использовать их также для разрежения продольного спектра.

Кольцевые резонаторы. Спектр собств. частот кольцевого О. р., образованного тремя одинаковыми сферич. зеркалами радиуса R, расположенными в вершинах равностороннего треугольника со стороной а (рис. 8), определяется соотношением

Рис. 8. Кольцевые оптические резонаторы.

Перетяжки мод находятся на серединах сторон треугольника; поперечные протяжённости мод в области перетяжки в плоскости осевого контура равны:

Если у резонатора лишь одно зеркало сферическое, а два плоских (рис. 8,6), то его спектр определяется соотношением

Поперечные протяжённости мод в области перетяжки, к-рая находится на середине стороны треугольника, противолежащей сферич. зеркалу в плоскости резонатора, равны:

Оптич. система, образующая О. р. с неплоским контуром, напр. система из 4 зеркал, расположенных в вершинах тетраэдра (рис. 8,в), характеризуется тем, что изображение того или иного предмета, построенное с помощью этой системы, повёрнуто относительно самого предмета на нек-рый свойственный этой системе угол. Для тетраэдра этот угол равен где - углы между соседними плоскостями падения лучей на зеркала (грани тетраэдра), к-рые отсчитываются так, что тетраэдр лежит внутри угла. Продольной модой О. р. с неплоским контуром является пучок, у к-рого гл. оси эллиптич. амплитудного распределения развёрнуты на нек-рый угол относительно гл. линий кривизны волнового фронта. Благодаря этому амплитудное распределение при распространении пучка в свободном пространстве испытывает поворот, к-рый компенсирует поворот, обусловленный объёмным расположением зеркал. Кольцевые О. р. с неплоским контуром применяются, напр., в лазерных гироскопах. Они позволяют, в частности, избавиться от анизотропии, свойственной кольцевым О. р. с плоским контуром.

Неустойчивые резонаторы обладают высокими потерями на излучение во внеш. пространство (см. выше). Потери возрастают с увеличением т и п, благодаря этому неустойчивые О. р. обеспечивают одномодовую (по т и п)генерацию. Достоинством неустойчивых О. р. является большая поперечная протяжённость осн. моды, вследствие чего они могут быть использованы с активными средами большого поперечного сечения. Вывод энергии из неустойчивого О. р., как правило, осуществляется не сквозь зеркала, как в устойчивых О. р., а за краями одного из зеркал. В неустойчивых О. р. существенную (отрицат.) роль играет волна, отражённая от края зеркала и сходящаяся к оси О. р. Для уменьшения такого отражения применяют сглаживание края зеркала, к-рому придаётся звездообразная форма, скругляются края и т. п.
Осн. мода неустойчивого О. р. образована двумя сферич. волнами, распространяющимися между зеркалами навстречу друг другу. В случае телескопич. неустойчивого О. р. (рис. 9) одна из волн может быть плоской. Центр сферич. волны лежит на расстоянии х = R₂/2 за выпуклым зеркалом с радиусом кривизны R₂. Вогнутое зеркало должно обладать при этом радиусом кривизны |R₁| = R₂ + 2d (R_l < 0). При достаточно больших поперечных размерах 1-го зеркала пучок излучения кольцевой формы выводится в сторону выпуклого зеркала с волновым фронтом, близким к плоскому.
Неустойчивые О. р. с вращением поля образуются де-фокусирующей системой зеркал, расположенных в вершинах неплоского многоугольника. Однако наиб. важны О. р., образуемые двумя двугранными уголковыми отражателями (рис. 10), рёбра к-рых развёрнуты друг относительно друга на угол. Если одна или неск. граней отражателей являются выпуклыми, то О. р. неустойчив.

Рис. 9. Неустойчивый телескопический резонатор.

Рис. 10. Линейный резонатор с вращением поля, образованный уголковыми отражателями.

Поле при полном обходе такого резонатора испытывает поворот на угол Достоинством неустойчивого О. р. с вращением поля является возможность вывода излучения в виде не кольцевого пучка, как в обычном неустойчивом О. р., а односвязного компактного пучка (рис. 11).

Рис. 11. Вывод энергии в виде компактного односвязного пучка из неустойчивого резонатора с вращением поля наАС - ребро уголкового отражателя зеркала, вблизи которого выводится пучок излучения (заштрихован), НН' - обрез того же зеркала, GG' - ребро второго уголкового отражателя.

Лит.: Вайнштейн Л. А., Открытые резонаторы и открытые волноводы, М., 1966; Ананьев Ю. А., Оптические резонаторы и проблема расходимости лазерного излучения, М., 1979; Справочник по лазерам, пер. с англ., под ред. А. М Прохорова, т. 2, М., 1978, гл. 22, 23; Карлов Н. В., Лекции по квантовой электронике, 2 изд., М., 1988.

В. П. Быков