орбитальный момент

ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ (момент количества движения) - динамич. характеристика движения частицы или механич. системы, связанная с вращением. В классич. механике О. м. системы частиц (материальных точек) относительно центра О равен

где индекснумерует частицы,и - радиус-вектор (проведённый из начала координат О)и импульс-й частицы ( - масса и скорость частицы). Из изотропии пространства следует, что при произвольном движении замкнутой системы вектор L сохраняется по величине и направлению (закон сохранения момента). Значение О. м. зависит, вообще говоря, от выбора начала координат. А именно, при сдвиге на вектор имеем L = L' + [аP], (2) где - полный импульс системы. На законе сохранения О. м. эта неоднозначность не сказывается, т. к. у замкнутой системы полный импульс Р также сохраняется. В этом случае, когда Р = 0 (т. е. система как целое покоится), её О. м. не зависит от выбора начала координат.
Компоненты О. м. имеют след. скобки Пуассона:

где e_ijk - полностью антисимметричный тензор (е₁₂₃ = 1; значения i = 1,2,3 соответствуют осям х, у, z). Для системы частиц, находящейся под действием внеш. сил, изменение О. м. во времени связано с полным моментом внеш. сил N:

где - сила, приложенная к-й частице. В этой сумме должны учитываться только внеш. силы, т. к. сумма моментов всех сил, действующих внутри замкнутой системы, всегда равна нулю.
При переходе к квантовой механике переменные заменяются операторами причём где а О. м. - оператором Соотношение (3) заменяется коммутатором

из к-рого следует, что разл. компоненты оператора О. м. не коммутируют между собой и поэтому, в соответствии с общими принципами квантовой механики, компоненты момента L_i не являются одновременно измеримыми величинами (за исключением случая L = 0, когда все компоненты О. м. также имеют нулевые значения). Поскольку то одновременно измеримы квадрат О. м. и одна из его компонент, в качестве к-рой обычно выбирают L_z. Возможные наблюдаемые значения этих величин совпадают с собств. значениями соответствующих операторов и определяются из ур-ний

где и - углы в сферич. системе координат, причём - угол поворота вокруг оси z ( - собств. ф-ции операторов и общие для обоих операторов). Однозначные и всюду ограниченные (на единичной сфере) решения этих ур-ний существуют только при

где l (т. н. орбитальное, или азимутальное, квантовое число) принимает значения l = 0, 1, 2, 3,..., а т (магн. квантовое число) определяет величину проекции О. м. на ось z и принимает 2l + 1 значений: m = l, l - 1, ..., - l, что даёт кратность вырождения уровней энергии с данным l, равную 2l + 1. Т. о., в квантовой механике возникает квантование О. м.
Решения ур-ния (6) совпадают со сферическими функциями

где - присоединённые полиномы Лежандра. В простейших случаях l = 0 (S-состояние) и l = 1 (P-состояние) Y_lm выражаются след. образом:

[в литературе встречаются и др. определения Y_lт, отличающиеся от (8а) фазовыми множителями]. Сферич. ф-ции образуют ортонормированную систему:

где - элемент телесного угла, а интегрирование ведётся по единичной сфере ( ), - символ Кронекера. Величина определяет угловую зависимость плотности вероятности пространственного распределения для частицы, находящейся в состоянии с квантовыми числами l, т.
О. м. и квантовое число l играют важную роль в классификации состояний квантовых систем. Электрон в атоме движется в результирующем, самосогласованном поле, к-рое возникает при сложении кулоновского поля ядра и полей остальных электронов. Приближённо можно считать, что это ноле является сферически-симметричным, и пренебречь спин-орбитальным взаимодействием (что справедливо для не слишком тяжёлых атомов). В этом случае квантовые состояния электрона в атоме характеризуются определ. значениями l. В сферич. ядре состояния нуклона, движущегося в усреднённом поле остальных нуклонов, также характеризуются значениями l (ядерные оболочки). Даже в тех случаях, когда потенциал взаимодействия не является сферически-симметричным и, следовательно, О. м. не сохраняется (т. е. не имеет вполне определ. значения), состояния с определёнными l, т часто используются в качестве базиса для разложения волновой ф-ции. Во мн. случаях это является эфф. методом численного решения Шрёдингера уравнения для потенциалов, не обладающих сферич. симметрией.
Классификация квантовых состояний частицы по значениям l встречается в теории атома, теории ядра и ядерных реакций, теории столкновений, физике элементарных частиц и др.
О. м. микрочастицы (электрон, атом, ядро и т. д.) связан с её движением в пространстве. Помимо О. м., микрочастица, как правило, обладает внутренним, или спиновым, моментом s, имеющим чисто квантовое происхождение (спин исчезает при переходе к пределу и не допускает классич. интерпретации). При наличии спина из изотропии пространства следует, что сохраняются не l и s по отдельности, а лишь полный момент j = l + s (см. Квантовое сложение моментов). При этом собств. значения оператора равны Волновая ф-ция с определ. значениями j² и j_z может быть построена из координатной и спиновой волновых ф-ций с помощью Клебша - Гордана коэффициентов. Имеются отбора правила для переходов между состояниями с определёнными l и j, к-рые играют важную роль в теории эл--магн. переходов в атомах и ядрах, при рассмотрении распадов элементарных частиц и т. д.

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика. Нерелятивистская теория, 4 изд., М., 1989; их же, Механика, 4 изд., М., 1988; Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К., Квантовая теория углового момента, Л., 1975.

В. С. Попов.