ортогональная система функций

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ (от греч. orthogonios - прямоугольный) - конечная или счётная система ф-ций , принадлежащих (сепара-бельному) гильбертову пространству L²(a, b)(квадратично интегрируемых ф-ций) и удовлетворяющих условиям

Ф-ция g(x)наз. весом О. с. ф., * означает комплексное сопряжение. Если все = 1, то О. с. ф. наз. ортонормированной. О. с. ф. наз. полной, если для любой ф-ции f(x)L²(a, b)существует ряд Фурье сходящийся к f(х); такой ряд будет единственным, а его коэф. определяются ф-лами Фурье
Всякая линейно независимая (полная) система ф-ций приводится с помощью процедуры ортогонализации (см. Ортонормированная система векторов)к (полной) нормированной О. с. ф.
Для всякого ряда Фурье, построенного по О. с. ф. , выполняется неравенство Бесселя

а для полной О. с. ф. справедливо равенство Парсеваля

Примеры полных О. с. ф.:

1) тригонометрическая система ф-ций на отрезке [ - 1, 1], g(x) = 1:

2) системы ортогональных полиномов;

3)система Хаара

а т = 2^п+ k, 1k2ⁿ, т = 2, 3, ... .
О. с. ф. используют в разл. физ. задачах. Спектральный анализ в теории колебаний, акустике, радиофизике и оптике основан на разложении ф-ций в ряды по тригонометрич. системе. В любых задачах на собств. значения операторов также появляются О. с. ф., т. к. для эрмитова оператора собств. ф-ции, отвечающие разл. собств. значениям, ортогональны между собой. В квантовой механике, где квадрат модуля волновой ф-ции играет роль плотности распределения вероятности, свойство ортонормируемости отражает тот факт, что полная вероятность найти частицу в данном состоянии равна 1, если известно, что система находится в состоянии с определённым квантовым числом.

Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; Шилов Г. Е., Математический анализ. Функции одного переменного, ч. 3, М., 1970; Рихтмайер Р., Принципы современной математической физики, пер. с англ., т. 1, М., 1982.

Л. О. Чехов.

   <<      Предметный указатель      >>