Стартовая Предметный указатель Новости науки и техники
Новости науки и техники
Математика - оптимизация мозга и развитие творческого мышления
Инновационная статья по образованию, мышлению, принятия нужных и оптимальных решений
«Почему некоторые люди думают иначе? Почем люди думают лучше? Почему люди думают быстрее? Почему у некоторых людей творческие идеи ярче и интереснее, и как они придумывают ЭТО ВСЕ!» Далее...

Решение математических задач

ортонормированная система векторов

ОРТОНОРМИРОВАННАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ - множество ненулевых векторов15024-196.jpgвекторного пространства X со скалярным произведением15024-197.jpg, где символы Кронекера15024-198.jpg = 0 при15024-199.jpg и15024-200.jpg = 1 при15024-201.jpg. О. с. в. наз. полной, если для любого f15024-202.jpgX ряд15024-203.jpgсходится по норме к f. Полная О. с. в. наз. базисом пространства X. Числа15024-204.jpg наз. коэф. Фурье f относительно О. с. в.15024-205.jpg . Для полной О. с. в. выполнено равенство Парсеваля:15024-206.jpgГильбертово пространство является сепарабельным (т. е. содержит всюду плотное счётное подмножество) тогда и только тогда, когда в нём существует полная О. с. в.
Для всякой линейно независимой системы векторов {aj} сепарабельного гильбертова пространства можно построить базис {bj}. Процесс построения О. с. в. наз. ортогоналязацией системы {aj}, он применим к конечной и к счётной системе векторов: bl = a1,

15024-208.jpg где15024-207.jpg

Нормируя полученную систему {bj}, получим искомую О. с. в. Др. источником О. с. в. являются эрмитовы линейные операторы, т. к. собств. векторы эрмитова оператора, соответствующие разл. собств. значениям, ортогональны. Поэтому для каждого эрмитова оператора существует О. с. в., состоящая из его собств. векторов.
Важный пример О. с. в. - базис гильбертова пространства l2, состоящего из векторов х вида15024-209.jpg ,

где15024-210.jpg . Т. к. любое сепарабельное гильбертово пространство изоморфно либо конечномерному евклидову пространству, либо пространству l2, для О. с. в. l2 выполнены те же свойства, что и для ортогональной системы функций.

Л. О Чехов.

  Предметный указатель