ортонормированная система векторов

ОРТОНОРМИРОВАННАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ - множество ненулевых вектороввекторного пространства X со скалярным произведением, где символы Кронекера = 0 при и = 1 при. О. с. в. наз. полной, если для любого fX рядсходится по норме к f. Полная О. с. в. наз. базисом пространства X. Числа наз. коэф. Фурье f относительно О. с. в. . Для полной О. с. в. выполнено равенство Парсеваля:Гильбертово пространство является сепарабельным (т. е. содержит всюду плотное счётное подмножество) тогда и только тогда, когда в нём существует полная О. с. в.
Для всякой линейно независимой системы векторов {a_j} сепарабельного гильбертова пространства можно построить базис {b_j}. Процесс построения О. с. в. наз. ортогоналязацией системы {a_j}, он применим к конечной и к счётной системе векторов: b_l = a₁,

где

Нормируя полученную систему {b_j}, получим искомую О. с. в. Др. источником О. с. в. являются эрмитовы линейные операторы, т. к. собств. векторы эрмитова оператора, соответствующие разл. собств. значениям, ортогональны. Поэтому для каждого эрмитова оператора существует О. с. в., состоящая из его собств. векторов.
Важный пример О. с. в. - базис гильбертова пространства l², состоящего из векторов х вида ,

где . Т. к. любое сепарабельное гильбертово пространство изоморфно либо конечномерному евклидову пространству, либо пространству l², для О. с. в. l² выполнены те же свойства, что и для ортогональной системы функций.

Л. О Чехов.