особая точка

ОСОБАЯ ТОЧКА аналитической функции - точка, в к-рой нарушаются условия аналитичности. Если аналитическая функция f(z)задана в нек-рой окрестности точки z₀ всюду, кроме этой точки, и не имеет там другой О. т., то z₀ наз. изолированной О. т. ф-ции f(z). Если существует конечный предел f(z) при z z₀, то изолированная О. т. наз. устранимой; если предел равен бесконечности или не существует, то z₀ наз. полюсом или существенно особой точкой. Устранимая О. т. характеризуется тем, что разложение f(z) в Лорана ряд в окрестности z₀ не содержит членов с отрицат. степенями (z - z₀) [так что z₀ фактически не является О. т. ф-цип f(z)]. В случае полюса разложение f(z) в ряд Лорана содержит лишь конечное число таких членов, а в случае существенно особой точки - бесконечное. Если ф-ция f(z) допускает аналитическое продолжение вдоль любого контура, содержащегося в нек-рой окрестности точки z₀, но не проходящего через z₀, причём в результате однократного обхода точки z₀ получаются др. значения f(z), то z₀ наз. ветвления точкой.
В аналитической теории дифференциальных уравнений О. т. ур-ния наз. точка комплексной плоскости, к-рая является О. т. хотя бы для одного из коэф. ур-ния. Такие О. т. являются особыми и для решений (неподвижные О. т.). Имеются также подвижные О. т., положение к-рых определяется нач. условиями.

Лит. см. при ст. Аналитическая функция.

Б. И. Завьялов.