паде аппроксимация

ПАДЕ АППРОКСИМАЦИЯ - метод суммирования расходящихся рядов с помощью рациональных ф-ций. Понятие П. а. сформировалось в кои. 19 в. в рамках классич. теории непрерывных дробей в работах Г. Фробениуса (G. Frobenius) и А. Паде (H. Pade).
Для аналитической функции f(z), определённой разложением в ряд Тейлора

П. а. f^[N,M](z)(или просто [N,M]) наз. рациональная ф-ция

где P_N(Z) и Q_M(Z) - полиномы степеней N и М соответственно. Если N = М, то f^[N,M] наз. диагональной П. а. Фундам. результаты о диагональных П. а. были получены П. Л. Чебышевым, А. А. Марковым и Т. Стплтьесом (Th. Stieltjcs) в терминах непрерывных дробей. Вычисление П. а. f^[N,M] сводится к решению системы линейных ур-ний, коэф. которых выражаются через коэф.f_п.
П. а. (1) обладает след. свойствами. 1) При фиксированных N и М f^[N,M] единственна. 2) Класс ф-ций, к-рый можно аппроксимировать методом П. а., включает в себя ф-ции, имеющие особенности в виде полюсов; это отличает П. а. от аппроксимации с помощью полиномов, несправедливой в окрестности полюса. 3) Поскольку П. а. осуществляет гладкое аналитическое продолжение неизвестных членов ряда Тейлора, начиная с N + М + 1, она имеет смысл, если члены ряда медленно меняются с ростом п. Это всегда справедливо, если ряд имеет ненулевой радиус сходимости. 4) Для любой мероморфной ф-ции f(z) и для любых R > О, > 0 и> 0 существует номер N, такой, что при пN диагональные П. а. [п, п] удовлетворяют условию

при |z| R за исключением области D_n меры менее . Это свойство обычно называют сходимостью по мере. Тот же результат справедлив и для [n + k, п] П. а. 5) Недостатком П. а. является то, что в нек-рых случаях ф-ция f^[N,M] при фиксированных N и М может иметь особенности, отличные от особенностей ф-ции f(z). В этом смысле наилучшее описание обычно дают диагональные П. а.
Метод П. а. применяют в разл. физ. задачах для улучшения свойств решений, полученных приближёнными методами. Метод позволяет ускорить сходимость ряда теории возмущений по малому параметру, аналитически продолжить полученное решение за пределы круга сходимости исходного ряда, осуществить численное решение ур-ний, в этом случае П. а. имеет преимущество по сравнению с методом Ньютона.
Метод П. а. можно также применить для суммирования асимптотич. разложений, имеющих нулевой радиус сходимости. В атом случае П. а. следует использовать в комбинации с др. методами, улучшающими сходимость исходного ряда, напр. с методом преобразования Бореля. Разработано много алгоритмов для машинного вычисления П. а., что существенно для разл. приложений. Метод П. а. применяют к задачам статистич. механики, физики твёрдого тела, физики элементарных частиц, теории критич. явлений, квантовой механики - ко всем задачам, где имеется разложение по малому параметру.

Лит.: Бейкер Дж. (мл.), Грейвс-Моррис П., Аппроксимации Паде, пер. с англ., М., 1986.

Д. И. Казаков.