параболического цилиндра функции

ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА ФУНКЦИИ - ф-ции, удовлетворяющие ур-нию

к-рое после замены

переходит в уравнение Эрмита

где v - комплексный параметр.

Пусть - решение ур-ния (2), к-рое при v = п совпадает с полиномом Эрмитап = 0, 1,... (см. Ортогональные полиномы ).П. ц. ф. D_v(z)равна

Т. к. ур-ние (2) после замены переходит в ур-ние

решения к-рого можно выразить через вырожденные гипергеометрические функции F(a,c,x), то получаем

где Г(t) - гамма-функция Эйлера. Отсюда легко получить разложения в степенные ряды и асимптотич. представления для ф-ций D_v(z). Наряду с ф-цией D_v(z)ур-нию (1) удовлетворяют также ф-ции D_v( - z), Ф-ции D_v(z)вещественны при вещественных v, z. П. ц. ф. иногда наз. функциями Вебера. Для функции Эрмита имеются интегральное представление

ф-ла дифференцирования

и рекуррентное соотношение

Можно получить аналитич. продолжение ф-ции определяемой ф-лой (3), на область Re v 0. Ур-ние (1) возникает, напр., при разделении переменных в волновом ур-нии, записанном в цилиндрич. координатах, при рассмотрении гармонич. осциллятора в квантовой механике и в др. задачах.

Лит.: Бейтмен Г., Эрдейн А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1974; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Специальные функции математической физики, 2 изд., М., 1984; Справочник по специальным функциям, пер. с англ., М., 1979.

А. Ф. Никифоров.