парастатистика

ПАРАСТАТИСТИКА - статистика тождественных частиц, когда их число в симметричном (парафермистатистика) или антисимметричном ( парабозе-статистика) состоянии не превосходит нек-рое заданное целое число р > 1, называемое порядком парастатистики. П. является обобщением ферми- и бозе-статистик (см. Ферми - Дирака статистика, Бозе - Эйнштейна статистика), к-рые также можно определить как статистики, когда число частиц в симметричном состоянии для ферми-статистики и в антисимметричном состоянии для бозе-статистики не
может превосходить число р = 1; отсюда следует, что волновые ф-ции п тождеств. частиц для ферми-статистики могут быть только антисимметричными, а для бо-зе-статистики - только симметричными, что совпадает с обычным определением этих статистик. Для П. каждому состоянию системы п тождеств. частиц отвечает не одна, а неск. волновых ф-ций, образующих векторы одного из многомерных неприводимых представлений группы перестановок S_n. Среднее от к--л. наблюдаемой определяется как след по данному представлению. При этом перестановки аргументов тождеств. частиц не приводят к наблюдаемым эффектам. Однако определённые линейные комбинации операторов перестановок - характеры - являются наблюдаемыми и неприводимые представления S_nклассифицируются по их собств. значениям.
Для системы тождеств. частиц должен выполняться т. н. кластерный закон: при удалении одной или неск. частиц на достаточно большое расстояние подсистема из оставшихся частиц должна описываться волновой ф-цией, допустимой данной статистикой частиц. Пределу соответствуют бесконечные статистики, к-рые описываются произвольными неограниченными Юнга схемами. Конечным статистикам (р ограничено) отвечают схемы Юнга либо с ограниченным числом столбцов (фермиподобные статистики), либо с ограниченным числом строк (бозеподобные статистики). Существует недоказанное предположение, что бесконечным статистикам отвечает классич. статистика Максвелла - Больцмана. Конечные параферми-статистики (1 < р <) занимают промежуточное положение между ферми- и бозе-статистиками, и по этой причине их наз. также промежуточными статистиками Джентиле [по имени Д. Джентиле (D. Gentile), впервые предложившего их в 1940]. Соответствующему гипотетич. парагазу свойственно наличие как ферми-энергии, так и Бозе - Эйнштейна конденсации.
При вторичном квантовании парастатистикам соответствуют квантовые параполя, удовлетворяющие в общем случае т. н. паракоммутац. соотношениям Грина [X. С. Грин (Н. S. Green), 1953]. Эти соотношения имеют трилинейную форму. Напр., для спинорного Дирака поля , квантуемого по Грину:

и т. д., при одинаковых временах х₀ = у₀ - z₀, где - Дирака функция, квадратные скобки означают коммутатор, а крест - эрмитово сопряжение [х = (х₀, х), у = (y₀, у), z = (z₀, z) - точки пространства-времени; используется система единиц, в к-рой h = с = 1]. Можно показать, что для этих соотношений при фиксированном р существует представление, характеризуемое единств. вакуумным состоянием, хотя (при р > 1) имеется и бесконечное множество др. неприводимых представлений, основанных на вырожденных векторах состояния с отличным от нуля мин. числом частиц.
С гриновскпми соотношениями (1) связаны Ли алгебры ортогональной (в случае параферми-статистики) и симплектической (в случае парабозе-статистики) групп в бесконечномерных пространствах [С. Камефути (S. Kamefuchi), Акахаси (Y. Akahashi), 1962]. Обычным статистикам соответствуют спинорные представления этих групп, тогда как П. - представления с р спи-норными индексами. На этой основе параполе любого порядка можно представить в виде суммы обычных фермионных или бозонных полей, удовлетворяющих, однако, аномальным взаимным коммутац. соотношениям (т. н. анзац Грина):

при равных временах х₀ = у₀. Индекс означает коммутатор, если он равен - 1, и антикоммутатор, если он равен +1; = - 1 или +1 соответственно для параферми- и парабозе-статистич; - символ Кронекера. На основе такого представления параполей доказана теорема о том, что любая теория параполей эквивалентна теории р- кратно вырожденных совокупностей обычных полей, обладающих в общем случае глобальной внутренней симметрией SO(p), a при ограниченном выборе допустимых наблюдаемых - SU(p). На этой основе для конечных П. доказана также обобщённая Паули теорема о связи спина со статистикой: частицы с полуцелым спином подчиняются парафермистатистике, а частицы с целым спином - парабозестатистнке. Т. о., теория П. и параполей приводится к случаю обычных статистик и обычных полей, вырожденных по нек-рой внутр. степени свободы. Обратное утверждение в общем случае несправедливо: не всякая внутр. симметрия может быть переформулирована на языке параполей. В особенности это относится к калибровочным симметриям (симметриям относительно калибровочных преобразований).
Теория параполей получила особое развитие в связи с созданием кварковой модели строения адронов. Для решения проблемы помещения трёх кварков в одно и то же квантовомеханич. состояние О. У. Гринберг (О. W. Greenberg, 1964) выдвинул гипотезу о подчинении кварков параферми-статистике 3-го порядка. Однако оказалось, что последоват. переход к калибровочной симметрии в рамках параполей приводит к теории, эквивалентной калибровочной симметрии SO(3), к-рая отличается от квантовой хромодинамики наличием только трёх глюонов и возможностью существования бесцветных дикварковых состояний, экспериментально не обнаруженных. По этой причине гипотеза паракварков либо должна быть полностью заменена гипотезой о физ. цветовой кварковой симметрии SU(3)(см. Цвет ),либо для включения последней в рамки параполей их теория должна быть существенно расширена. Такое расширение достигается включением в анзац Грина произведения обычных фермионных (или бозонных) полей на элементы комплексной Клиффорда алгебры:

В силу последнего свойства (нильпотентности) в такой теории нельзя непосредственно рассматривать системы с более чем р частиц, но можно рассматривать неск. систем с числом частиц, не большим р в каждой из них. Иное обобщение параполей основывается на аналогичной конструкции, где в качестве е_А берутся элементы неассоциативной алгебры октонионов. В этом случае однозначно фиксируется порядок П. ("цвет") р = 3, однако возникает проблема построения гильбертова пространства векторов состояний.

Лит.: Дирак П., Принципы квантовой механики, пер. с англ., 2 изд., М., 1979, с. 280 - 96; Говорков А. В., Парастатистика и внутренние симметрии, "ЭЧАЯ", 1983, т. 14, в. 5, с. 1229.

А. Б. Говорков.