пенлеве уравнения

ПЕНЛЕВЕ УРАВНЕНИЯ - общее название группы из шести обыкновенных дифференц. ур-ний. Введены П. Пенлеве (P. Painleve, 1900) и Б. Гамбье (В. Gambier, 1910) при классификации ур-ний типа= R(z, ), где R - ф-ция аналитическая по z и рациональная по и
Обычно П. у. записывают в след. виде:

П. у. возникают при сведении к обыкновенным дифференц. ур-ниям нек-рых нелинейных уравнений математической физики, в частности Картевега - де Фриса уравнения (П. у. II), синус-Гордона уравнения (П. у. III), Шрёдингера уравнения нелинейного (П. у. IV).
Решения П. у. (трансцендентные функции Пенлеве - спец. ф-ции, не сводящиеся к известным) обладают свойством Пенлеве: не имеют др. подвижных (т. е. зависящих от постоянных интегрирования или нач. данных) особенностей, кроме полюсов. Так, решения П. у. I - IV не имеют вообще никаких особенностей, кроме полюсов; решения П. у. V имеют неподвижные логарифмич. точки ветвления при z = 0 и z = а решения П. у. VI - при z = 0, z = = 1 и z = Установление свойства Пенлеве позволяет находить интегрируемые варианты разл. моделей нелинейных явлений и мн. нелинейных ур-ний, решаемых при помощи обратной задачи рассеяния метода.

Лит.: Айнc Э. Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., Хар., 1939; Голубев В. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 2 изд., М. - Л., 1950; Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, Т. 1, М., 1985.

Ю. А. Данилов.